Tại sao chúng ta sử dụng xấp xỉ đặc biệt này cho biến đổi song tuyến?

Theo tôi hiểu, cho một tín hiệu $f(t)$ trong thời gian, biến đổi Laplace của nó $\mathfrak{L}\left\{f(t)\right\}=F_1(s)$ và biến đổi Z $\mathfrak{Z}\left\{f(t)\right\}=F_2(z)$ có liên quan bởi một sự chuyển đổi $z=e^{sT}\leftrightarrow s=1/T\,\log(z)$ Ở đâu $T$ là khoảng thời gian lấy mẫu (vì biến đổi Z rời rạc theo thời gian).

Trong thực tế, điều này gần đúng với mức độ đầu tiên như sau

$$\begin{align*}z&=e^{sT}\\&=\frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}\\&\approx\frac{1+sT/2}{1-sT/2}\end{align*}$$ và như vậy $(1-sT/2)z\approx1+sT/2$ vì thế $sT/2\approx(z-1)/(z+1)$ và cuối cùng $s\approx\frac2T\frac{z-1}{z+1}=\frac2T\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$.

Bây giờ, tôi đã hiểu cho đến đây, nhưng tôi không hiểu tại sao chúng ta sử dụng xấp xỉ thứ tự đặc biệt này, nói, $z=e^{sT}\approx1+sT\leftrightarrow s\approx(z-1)/T=\frac{1-z^{-1}}{Tz^{-1}}$.

Liệu sự gần đúng này 'hành xử' theo một cách nào đó kém hơn đáng kể cho hầu hết các mục đích?

---

Xin lỗi về các thẻ - Tôi đã thử nhiều thứ như 'biến đổi song tuyến' nhưng chúng không tồn tại và tôi thiếu các điểm để tạo ra chúng.

Chuyển đổi Euler chuyển tiếp

$$z=e^{sT}\approx1+sT\leftrightarrow s\approx(z-1)/T=\frac{1-z^{-1}}{Tz^{-1}}$$ dễ hiểu ở chỗ nó là bản dịch trực tiếp và nhân rộng từ $s$-domain đến miền z. Nhưng bản dịch có thể chuyển đổi ổn định$s$cực -domain vào không ổn định $z$cực -domain.

Để xem điều này hãy xem xét sơ đồ dưới đây.

Nửa máy bay bên trái trong $s$-domain (bóng mờ) được thu nhỏ bởi $T$ và được dịch bởi $1$ để $z$-miền. Cần phải thấy rõ rằng một cực X ổn định trong$s$ có thể không ổn định trong $z$ bằng cách chuyển đổi Euler chuyển tiếp.

Ngược lại, biến đổi song tuyến

$$s\approx\frac2T\frac{z-1}{z+1}=\frac2T\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$ dịch toàn bộ LHP của miền s trong vòng tròn đơn vị của $z$-domain bằng cách vênh tần số thông qua một mặt phẳng trung gian.

Nhắc đến sơ đồ bên dưới (ref: Ogata.K, Hệ thống thời gian rời rạc, 1995, Prentice-Hall), bạn có thể thấy rằng toàn bộ LHP của $s$-domain (a) được chuyển thành vòng tròn đơn vị (b) thông qua tỷ lệ mặt phẳng w (c).

Vì vậy, đó là lý do tại sao Bilinear được ưa thích trong thực tế đối với Forward Euler. Tuy nhiên, có những lựa chọn khác như khớp cực không (mà tôi thích), có thể được sử dụng trên Bilinear do sự cong vênh tần số liên quan đến Bilinear.

Tôi chỉ có thể trả lời câu hỏi của bạn trong ngữ cảnh với kỹ thuật tụ điện chuyển đổi (S / C) sử dụng các công cụ toán học xử lý tín hiệu số. Ở đây có bốn phép tính gần đúng khác nhau được sử dụng:

(1) Euler chuyển tiếp (EF), (2) Euler lùi (EB), (3) song tuyến (BI) và (4) LDI (tích phân rời rạc).

Đối với các mạch S / C, thông thường sử dụng các mạch S / C dựa trên các bộ tích hợp. Dưới đây là những khác biệt quan trọng:

(1) Bộ tích hợp EF: Đối với tần số tăng, phép tính gần đúng gây ra lỗi pha POSITIVE

(2) Bộ tích hợp EB: Đối với tần số tăng, phép tính gần đúng gây ra lỗi pha NEGECT

(3) BI -integrator: Không có lỗi về pha và biên độ, tuy nhiên, đối với các tần số tăng, có một loại "thu nhỏ" của trục tần số dựa trên hàm arctan . Đối với tất cả các hàm lowpass và bandpass, hiệu ứng này tạo ra một số 0 thực cho tần số hữu hạn w = 0,5 * wcl (wcl: tần số xung nhịp). Hiệu ứng này được đánh giá cao vì tất cả các lần lặp lại quang phổ định kỳ không trùng nhau và do đó, không làm phiền nhau.

(4) Tích hợp LDI: Kết hợp hai tích hợp với xấp xỉ EF và EB tương ứng.

Tôi hy vọng điều này sẽ giúp trả lời một phần câu hỏi của bạn.

EDIT: Giá trị gần đúng (z-1) / T như bạn đã đề cập tương đương với phép biến đổi EF .

Ngoài điểm tuyệt vời về sự ổn định được tạo ra bởi akellyirl, một ưu điểm khác của phép biến đổi song tuyến (hay phương pháp Tustin) so với sự khác biệt về phía trước và phía sau là nó dẫn đến một xấp xỉ tốt hơn cho tích phân.

Xem hình ảnh sau:

từ http://scilab.ninja/study-modules/scilab-control-engineering-basics/module-7-continupt-to-discittle-conversion-methods/