Ba Lan và lô Bode

Tôi có ba câu hỏi đã gây phiền toái cho tôi trong một thời gian dài:

1. Chúng tôi nói rằng, trong một âm mưu Bode, mức tăng 20 dB mỗi thập kỷ giảm xuống bất cứ khi nào gặp phải một cực. Nhưng các cực không được định nghĩa là các giá trị của làm cho hàm truyền vô hạn? Vậy tại sao lợi ích không tăng lên vào thời điểm này thay vì đi xuống?$s$

2. Về mặt vật lý điều gì xảy ra khi chúng ta nuôi một hệ thống với tần số cực?

3. Ngoài ra, hãy xem xét hàm truyền . Hệ thống có cực tại . Đó là, đối với cực, và . Nhưng khi chúng ta áp dụng tín hiệu hình sin vào đầu vào của nó và vẽ biểu đồ Bode, tại sao chúng ta lại nói rằng có một cực ở 2 rad / giây (mặc dù, đối với cực,$1/(s+2)$$s=(-2+j0)$$\sigma=-2$$\omega=0$$\omega=0$ và $\sigma =-2$ )?

Biểu đồ Bode không phải là biểu đồ vẽ đồ thị hàm truyền ( ) theo s . H ( s ) là một hàm phức tạp và biểu đồ cường độ của nó thực sự đại diện cho một bề mặt trong hệ tọa độ Descartes. Và bề mặt này sẽ có các cực đại sẽ đến vô cùng ở mỗi cực như trong hình:$H(s)$$s$$H(s)$

Biểu đồ Bode thu được bằng cách thay thế đầu tiên trong H ( s ) và sau đó biểu diễn nó ở dạng cực H ( j ω ) = | H ( ω ) | ∠ ϕ ( ω ) . H ( ω ) cung cấp cho các âm mưu cường độ điềm và φ ( ω ) cung cấp cho các âm mưu giai đoạn điềm.$s= j\omega$$H(s)$$H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$$H(\omega)$$\phi(\omega)$

Biểu đồ cường độ Bode là xấp xỉ tiệm cận của độ lớn của hàm truyền ( ) so với logarit của tần số tính bằng radian / giây ( log 10 | ω | ) với | H ( s ) | (tính bằng dB) trên trục y và log 10 | ω | trên trục x.$|H(\omega)|$$\log_{10}|\omega|$$|H(s)|$$\log_{10}|\omega|$

Đến với các câu hỏi:

1. Ở cực, bề mặt phức tạp của đỉnh đến vô cùng không | H ( ω ) | .$|H(s)|$$|H(\omega)|$

2. Khi một hệ thống được cung cấp với tần số cực, đầu ra đồng phát sẽ có cùng tần số nhưng biên độ và pha sẽ thay đổi. Giá trị có thể được xác định bằng cách thay thế tần số tính bằng radian / giây bằng và φ ( ω ) tương ứng.$|H(\omega)|$$\phi(\omega)$

3. Một cực ở -2 rad / giây và 2 rad / giây có cùng tác dụng với . Và quan tâm của chúng tôi là đáp ứng tần số. Vì vậy, chúng tôi chỉ cần một phần tích cực của nó.$|H(\omega)|$

Khi cố gắng hiểu các chức năng chuyển, tôi nghĩ rằng "tương tự tấm cao su" là rất hữu ích. Hãy tưởng tượng một đàn hồi cao su tấm bao gồm các phức tạp -plane, và tưởng tượng rằng ở mọi zero của hàm truyền các tấm được tacked xuống đất, và tại mỗi cột có một cực mỏng đen đẩy cao su tấm lên. Tầm quan trọng của phản ứng tần số là chiều cao của cao su tấm dọc theo j ω trục.$s$$j\omega$

1. Từ sự tương tự ở trên, tất nhiên mức tăng đi về phía cực. Nhưng di chuyển ra khỏi cực, sự đóng góp của cực làm cho chức năng chuyển đi đi xuống (ví dụ như đi về số 0 tiếp theo). Hãy tưởng tượng hệ thống đơn giản mà bạn đã đưa ra làm ví dụ trong câu hỏi thứ ba của bạn. Nó có một cực thực có giá trị từ , và - do cực này - nó cũng có một số không ít s 0 = ∞ . Vì vậy, di chuyển ra khỏi cực với tần số ngày càng tăng, chức năng chuyển xuống vì tấm cao su bị dính xuống đất ở vô cực. Về mặt toán học, điều này cũng dễ thấy: H ( s ) = $s_{\infty}=-2$$s_0=\infty$ Trong decibel, chúng tôi nhận được 10log10| H(jω)| 2=-10log10(4)-10log10[(

   $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ Đối vớiω»2nhiệm kỳ thứ hai ở phía bên tay phải của (1) có thể được xấp xỉ bằng -10log10( $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ $\omega\gg 2$ mà là một đường thẳng có độ dốc- $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ mỗi thập kỷ.$-20\,\text{dB}$

2. $H(s)=\frac{1}{s+2}$$x(t)=e^{-2t}$$y(t)=te^{-2t}$$t$$0$$t$

3. $2$$2$$-20$$\omega\gg 2$$2$

$s$$j\omega$$\omega_p=1000$$Q_p=1.3$

"S" trong phương trình của bạn là hằng số trong hàm exp (s * t). Vì vậy, khi s là một số thực, hàm thời gian này là hàm tăng hoặc giảm theo cấp số nhân. Ví dụ của bạn với s = -2 là hàm giảm theo cấp số nhân. Đối với bất kỳ "số" cực nào, đầu ra sẽ tăng lên khi bạn áp dụng đầu vào tại "số" đó. Nếu bạn áp dụng tín hiệu giảm theo cấp số nhân cho mạch ví dụ của mình, tín hiệu đầu ra sẽ chuyển sang vô cùng. (Tuy nhiên, lưu ý rằng không thể tạo ra tín hiệu luôn giảm theo cấp số nhân, vì tín hiệu như vậy rất lớn tại các thời điểm trong quá khứ). Khi bạn nói về tần số như 2 radian / giây, bạn đang nói về các cực ở j * 2 chứ không phải 2, vì vậy những tín hiệu đó là hình sin. Có thể tạo ra các tín hiệu là sóng hình sin (ít nhất là trong một thời gian khá dài).