Chính xác thì vai trò của việc giữ không thứ tự trong một hệ thống dữ liệu lấy mẫu tương tự / kỹ thuật số lai là gì?

Tôi sẽ thừa nhận, tôi đang hỏi câu hỏi này một cách khoa trương. Tôi tò mò câu trả lời nào sẽ trở lại từ đây.

Nếu bạn chọn trả lời điều này, hãy chắc chắn rằng bạn hiểu rõ định lý lấy mẫu của Shannon-Nyquist. Đặc biệt tái thiết. Ngoài ra, hãy cẩn thận của "gotchas" trong sách giáo khoa. Khái niệm kỹ thuật của hàm xung dirac delta là đủ. Bạn không cần phải lo lắng về tất cả các công cụ "phân phối", xung dirac như một chức năng delta mới sinh là đủ tốt:

$$\delta(t) = \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau} \operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau} \right)$$

Ở đâu

$$\mathrm{rect}(t) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$$

Các vấn đề liên quan đến độ chính xác, độ rộng bit của các từ mẫu và lượng tử hóa được thực hiện trong chuyển đổi không liên quan đến câu hỏi này. Nhưng rộng từ đầu vào đến đầu ra là có liên quan.

Tôi sẽ viết câu trả lời của riêng mình cho nó cuối cùng trừ khi người khác trình bày một câu trả lời chính xác và có ích về mặt sư phạm. Tôi thậm chí có thể đặt tiền thưởng cho việc này (cũng có thể dành những gì tôi có ít).

Có tại đó.

Thiết lập

Chúng tôi xem xét một hệ thống có tín hiệu đầu vào $x(t)$ và để rõ ràng, chúng tôi gọi các giá trị của $x(t)$ là điện áp, khi cần thiết. Chu kỳ lấy mẫu của chúng tôi là $T$ , và tỷ lệ mẫu tương ứng là $f_s \triangleq 1/T$ .

Đối với biến đổi Fourier, chúng tôi chọn các quy ước đưa ra biến đổi Fourier ngược x ( t ) = F - 1 ( X ( i 2 π f ) ) ≜

$$X(i 2 \pi f) = \mathcal{F}(x(t)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}t,$$ Lưu ý rằng với những công ước,Xlà một hàm của biến Laplaces=iω=i2πf. $$x(t) = \mathcal{F}^{-1}(X(i 2 \pi f)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty X(i 2 \pi f) e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}f.$$ $X$$s = i \omega = i 2 \pi f$

Lấy mẫu và tái thiết lý tưởng

Chúng ta hãy bắt đầu từ lấy mẫu lý tưởng: theo định lý lấy mẫu Nyquist-Shannon , đưa ra tín hiệu được giới hạn trong phạm vi f < $x(t)$,tức làX(i2πf)=0$f < \frac{1}{2} f_s$ sau đó các tín hiệu ban đầu có thể được tái tạo một cách hoàn hảo từmẫux[n]≜x(nT), nơin∈Z. Nói cách khác, với điều kiện về băng thông của tín hiệu (được gọi làtiêu chí Nyquist), đủ để biết các giá trị tức thời của nó tại các điểm rời rạc tương đương theo thời gian.

$$X(i 2 \pi f) = 0,\qquad \mathrm{when }\, |f| \geq \frac{1}{2}f_s,$$ $x[n] \triangleq x(n T)$$n\in \mathbb{Z}$

Định lý lấy mẫu cũng đưa ra một phương pháp rõ ràng để thực hiện tái thiết. Chúng ta hãy chứng minh điều này theo cách có ích trong những điều sau: chúng ta hãy ước tính biến đổi Fourier của tín hiệu x ( t ) bằng tổng Riemann của nó với bước T : X ( i 2 π f ) ∼ ∞ ∑ n = - ∞ x ( n Δ t ) e - i 2 π $X(i 2 \pi f)$$x(t)$$T$ nơiΔt=T. Chúng ta hãy viết lại này như một không thể thiếu, để định lượng các lỗi chúng tôi làm là: ∞ Σ n = - ∞ x ( n T ) e - i 2 π f n T

$$X(i 2 \pi f) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty x(n \Delta t)e^{-i 2 \pi f n \Delta t} \Delta t,$$ $\Delta t = T$ nơi mà chúng tôi sử dụngđịnh lý chậptrên sản phẩm củax(t)vàchức năng lấy mẫuΣ ∞ n = - ∞ Tδ(t-nT), các thực tế là biến đổi Fourier của hàm lấy mẫu làΣ ∞ n = - ∞ delta(f- $$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty x(n T)e^{-i 2 \pi f n T}T &= \int_{-\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty x(t)e^{-i 2 \pi f t}T \delta(t - n T)\mathrm{d}t\\ &= X(i 2 \pi f) * \mathcal{F}(T \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(t - nT)) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty X(f - k/T), \tag{1} \label{discreteft} \end{align}$$ $x(t)$ $\sum_{n = -\infty}^\infty T \delta(t - n T)$ và thực hiện tích phân trên các hàm delta.$\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(f - k/T)$

Lưu ý rằng ở phía bên tay trái là chính xác , nơi X 1 / T ( i 2 π f T ) là thời gian rời rạc biến đổi Fourier của tương ứng lấy mẫu tín hiệu x [ n ] ≜ x ( n T ) , với f T tần số thời gian rời rạc không thứ nguyên.$T X_{1/T}(i 2 \pi f T)$$X_{1/T}(i 2 \pi f T)$$x[n] \triangleq x(n T)$$f T$

Ở đây chúng ta thấy lý do thiết yếu đằng sau tiêu chí Nyquist: đó chính xác là những gì được yêu cầu để đảm bảo rằng các điều khoản của tổng không trùng nhau. Với tiêu chí Nyquist, tổng trên giảm xuống phần mở rộng định kỳ của phổ từ khoảng cho toàn bộ dòng thực.$[-f_s/2, f_s/2]$

Do DTFT trong có cùng biến đổi Fourier trong khoảng [ - f s / 2 , f s / 2 ] như tín hiệu ban đầu của chúng tôi, chúng tôi chỉ có thể nhân nó với hàm hình chữ nhật r e c t ( f / f s ) và lấy lại tín hiệu ban đầu. Thông qua định lý tích chập , điều này có nghĩa là kết hợp tổ hợp Dirac với biến đổi Fourier của hàm hình chữ nhật, trong các quy ước của chúng tôi là F ( r e c t ( $\eqref{discreteft}$$[-f_s/2, f_s/2]$$\mathrm{rect}(f/f_s)$ nơihàm sinc bình thườnglà s i n c ( x ) ≜ sin ( π x

$$\mathcal{F}(\mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T \mathrm{sinc}(t/T),$$ Chập sau đó chỉ cần thay thế từng vùng đồng bằng Dirac trong lược Dirac với một -function sinc chuyển sang vị trí của đồng bằng, cho x ( t ) = ∞ Σ n = - ∞ x [ n ] s i n c ( t / T - n ) . Đây làcông thức nội suy Whittaker-Shannon. $$\mathrm{sinc}(x) \triangleq \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$ $$x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] \mathrm{sinc}(t/T - n). \tag{2} \label{sumofsinc}$$

Lấy mẫu không lý tưởng

Để dịch lý thuyết trên sang thế giới thực, phần khó nhất là đảm bảo tính băng thông, phải được thực hiện trước khi lấy mẫu. Đối với mục đích của câu trả lời này, chúng tôi cho rằng điều này đã được thực hiện. Nhiệm vụ còn lại sau đó là lấy các mẫu của các giá trị tức thời của tín hiệu. Do một ADC thực sự sẽ cần một lượng thời gian hữu hạn để hình thành xấp xỉ cho mẫu, nên việc thực hiện thông thường sẽ lưu trữ giá trị của tín hiệu vào một vòng tròn mẫu và giữ, từ đó hình thành xấp xỉ kỹ thuật số được hình thành.

Mặc dù điều này rất giống với việc giữ không thứ tự, nhưng đó là một quá trình riêng biệt: giá trị thu được từ việc giữ mẫu thực sự chính xác là giá trị tức thời của tín hiệu, cho đến khi gần đúng tín hiệu không đổi cho thời gian cần thiết để sạc tụ giữ giá trị mẫu. Điều này thường đạt được bởi các hệ thống trong thế giới thực.

Do đó, chúng ta có thể nói rằng một ADC thế giới thực, bỏ qua vấn đề băng bó, là một phép tính gần đúng với trường hợp lấy mẫu lý tưởng, và cụ thể là "cầu thang" đến từ việc giữ mẫu không gây ra bất kỳ lỗi nào trong tự lấy mẫu .

Tái thiết không lý tưởng

Để tái thiết, mục tiêu là tìm ra một mạch điện tử hoàn thành tổng số sin xuất hiện trong . Vì sự chân thành có một khoảng thời gian vô hạn, nên khá rõ ràng rằng điều này không thể được nhận ra chính xác. Hơn nữa, việc hình thành một tổng số tín hiệu như vậy thậm chí đến một xấp xỉ hợp lý sẽ đòi hỏi nhiều mạch phụ và nhanh chóng trở nên rất phức tạp. Do đó, thông thường sử dụng xấp xỉ đơn giản hơn nhiều: tại mỗi thời điểm lấy mẫu, một điện áp tương ứng với giá trị mẫu là đầu ra và được giữ cố định cho đến lần lấy mẫu tiếp theo (mặc dù xem điều chế Delta-sigma để biết ví dụ về phương pháp thay thế). Đây là mức giữ không thứ tự và tương ứng với việc thay thế chân mà chúng ta đã sử dụng ở trên bằng hàm hình chữ nhật 1 $\eqref{sumofsinc}$ . Đánh giá chập ( 1 / T r e c t ( t / T - 1 / 2 ) ) * ( ∞ Σ n = - ∞ T x [ n ] δ ( t - n T ) )$1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2)$

$$(1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2))*\left(\sum_{n = -\infty}^\infty T x[n] \delta(t - n T)\right),$$ bằng cách sử dụng thuộc tính xác định của hàm delta, chúng ta thấy rằng điều này thực sự dẫn đến dạng sóng cầu thang thời gian liên tục cổ điển. Hệ số nhập để hủy T được giới thiệu trong (1) . Rằng một yếu tố như vậy là cần thiết cũng rõ ràng từ thực tế là các đơn vị của một phản ứng xung là 1 / lần.$1/T$$T$$\eqref{discreteft}$

$-1/2 T$$1/T \mathrm{rect}(1/T)$

$\eqref{discreteft}$$1/T \mathrm{rect}(t/T)$

$$\mathrm{sinc}(f/f_s).$$

Lưu ý rằng logic có phần bị đảo ngược so với trường hợp lý tưởng: ở đó chúng tôi đã xác định mục tiêu của mình, đó là xóa các hình ảnh, trong miền tần số và dẫn đến hậu quả trong miền thời gian. Ở đây, chúng tôi đã định nghĩa cách tái cấu trúc trong miền thời gian (vì đó là những gì chúng tôi biết cách thực hiện) và dẫn đến hậu quả trong miền tần số.

Vì vậy, kết quả của việc giữ không thứ tự là thay vì cửa sổ hình chữ nhật trong miền tần số, chúng tôi kết thúc với sự chân thành như một chức năng cửa sổ. Vì thế:

• $1/f$
• $1/2 f_s$

Nhìn chung, việc giữ không thứ tự được sử dụng để xấp xỉ hàm chân trong miền thời gian xuất hiện trong công thức nội suy Whittaker-Shannon . Khi lấy mẫu, việc giữ và giữ mẫu trông tương tự là một giải pháp kỹ thuật cho vấn đề ước tính giá trị tức thời của tín hiệu và không tự tạo ra bất kỳ lỗi nào.

Lưu ý rằng không có thông tin nào bị mất trong quá trình tái tạo, vì chúng ta luôn có thể lọc ra các hình ảnh tần số cao sau khi giữ không thứ tự ban đầu. Mất mát cũng có thể được bù bằng bộ lọc chân ngược, trước hoặc sau bộ xử lý. Vì vậy, từ quan điểm thực tế hơn, giữ không thứ tự được sử dụng để xây dựng một xấp xỉ có thể thực hiện ban đầu để tái thiết lý tưởng, sau đó có thể được cải thiện hơn nữa, nếu cần thiết.

Nắm giữ không thứ tự có vai trò xấp xỉ đồng bằng và $\mathrm{sinc}$ -chức năng xuất hiện trong định lý lấy mẫu, tùy theo trường hợp nào là phù hợp.

Với mục đích rõ ràng, tôi xem xét một hệ thống ADC / DAC có tín hiệu điện áp. Mặc dù vậy, tất cả những điều sau đây áp dụng cho bất kỳ hệ thống lấy mẫu nào với sự thay đổi đơn vị thích hợp. Tôi cũng cho rằng tín hiệu đầu vào đã được giới hạn một cách kỳ diệu để đáp ứng tiêu chí Nyquist.

Bắt đầu từ lấy mẫu: lý tưởng nhất, người ta sẽ lấy mẫu giá trị của tín hiệu đầu vào ngay lập tức. Do ADC thực sự cần một lượng thời gian hữu hạn để hình thành xấp xỉ của chúng, nên điện áp tức thời được xấp xỉ bằng cách giữ mẫu (tức thời được xấp xỉ bởi thời gian chuyển mạch được sử dụng để sạc tụ điện). Vì vậy, về bản chất, tổ chức chuyển đổi vấn đề áp dụng hàm delta cho tín hiệu thành vấn đề đo điện áp không đổi.

Note here that the difference between the input signal being multiplied by an impulse train or a zero-order hold being applied at the same instants is merely a question of interpretation, since the ADC will nonetheless store only the instantaneous voltages being held. One can be reconstructed from the other. For the purposes of this answer, I will adopt the interpretation that the sampled signal is the continuous-time signal of the form

$$x(t) = \frac{\Delta t V_\mathrm{ref}}{2^n}\sum_k x_k \delta(t - k \Delta t),$$ where $V_\mathrm{ref}$ is the reference voltage of the ADC/DAC, $n$ is the number of bits, $x_k$ are the samples represented in the usual way as integers, and $\Delta t$ is the sampling period. This somewhat unconventional interpretation has the advantage that I am considering, at all times, a continuous-time signal, and sampling here simply means representing it in terms of the numbers $x_k$, which are indeed the samples in the usual sense.

In this interpretation, the spectrum of the signal in the baseband is the exact same as that of the original signal, and the effective convolution by the impulse train has the effect of replicating that signal such as to make the spectrum periodic. The replicas are called images of the spectrum. That the normalization factor $\Delta t$ is necessary can be seen, for example, by considering the DC-offset of a 1 volt pulse of duration $\Delta t$: its DC-offset defined as the $f = 0$ -component of the Fourier transform is

$$\hat{x}(0) = \int_0^{\Delta t} 1\mathrm{V}\mathrm{d}t = 1\mathrm{V} \Delta t.$$ In order to get the same result from our sampled version, we must indeed include the factor of $\Delta t$.*

Ideal reconstruction then means constructing an electrical signal that has the same baseband spectrum as this signal, and no components at frequencies outside this range. This is the same as convolving the impulse train with the appropriate $\mathrm{sinc}$-function. This is quite challenging to do electronically, so the $\mathrm{sinc}$ is often approximated by a rectangular function, AKA zero-order hold. In essence, at each delta function, the value of the sample is held for the duration of the sampling period.

In order to see what consequences this has for the reconstructed signal, I observe that the hold is exactly equivalent to convolving the impulse train with the rectangular function

$$\mathrm{rect}_{\Delta t}(t) = \frac{1}{\Delta t}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\Delta t}\right).$$ The normalization of this rectangular function is defined by requiring that a constant voltage is correctly reproduced, or in other words, if a voltage $V_1$ was measured when sampling, the same voltage is output on reconstruction.

In the frequency domain, this amounts to multiplying the frequency response with the Fourier transform of the rectangular function, which is

$$\hat{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(f) = \mathrm{sinc}(\pi \Delta t f).$$ Note that the gain at DC is $1$. At high frequencies, the $\mathrm{sinc}$ decays like $1/f$, and therefore attenuates the images of the spectrum.

In the end, the $\mathrm{sinc}$-function resulting from the zero-order hold behaves as a low-pass filter on the signal. Note that no information is lost in the sampling phase (assuming the Nyquist criterion), and in principle, neither is anything lost when reconstructing: the filtering in the baseband by the $\mathrm{sinc}$ could be compensated for by an inverse filter (and this is indeed sometimes done, see for example https://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/3853). The modest $-6\mathrm{dB/octave}$ decay of the $\mathrm{sinc}$ usually requires some form of filtering to further attenuate the images.

Note also that an imaginary impulse generator that could physically reproduce the impulse train used in the analysis would output an infinite amount of energy in reconstructing the images. This would also cause some hairy effects, such as that an ADC re-sampling the output would see nothing, unless it were perfectly synchronized to the original system (it would mostly sample between the impulses). This shows clearly that even if we cannot bandlimit the output exactly, some approximate bandlimiting is always needed to regularize the total energy of the signal, before it can be converted to a physical representation.

To summarize:

• in both directions, the zero-order-hold acts as an approximation to a delta function, or it's band-limited form, the $\mathrm{sinc}$ -function.
• from the frequency domain point of view, it is an approximation to the brickwall filter that removes images, and therefore regulates the infinite amount of energy present in the idealized impulse train.

---

*This is also clear from dimensional analysis: the units of a Fourier transform of a voltage signal are $\mathrm{V}\mathrm{s} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Hz}},$ whereas the delta function has units of $1/\mathrm{s}$, which would cancel the unit of time coming from the integral in the transform.

Biến đổi Fourier :

$$X(j 2 \pi f) = \mathscr{F}\{x(t)\} \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{-j 2 \pi f t} \ \text{d}t$$

Biến đổi Fourier ngược:

$$x(t) = \mathscr{F}^{-1}\{X(j 2 \pi f)\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} X(j 2 \pi f) \ e^{j 2 \pi f t} \ \text{d}f$$

Hàm xung hình chữ nhật :

$$\operatorname{rect}(u) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |u| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |u| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$$

"Sinc" function ("sinus cardinalis"):

$$\operatorname{sinc}(v) \triangleq \begin{cases} 1 & \mbox{if } v = 0 \\ \frac{\sin(\pi v)}{\pi v} & \mbox{if } v \ne 0 \\ \end{cases}$$

Define sampling frequency, $f_\text{s} \triangleq \frac{1}{T}$ as the reciprocal of the sampling period $T$.

Note that:

$$\mathscr{F}\left\{\operatorname{rect}\left( \frac{t}{T} \right) \right\} = T \ \operatorname{sinc}(fT) = \frac{1}{f_\text{s}} \ \operatorname{sinc}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$$

Dirac comb (a.k.a. "sampling function" a.k.a. "Sha function"):

$$\operatorname{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT)$$

Dirac comb is periodic with period $T$. Fourier series:

$$\operatorname{III}_T(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t}$$

Sampled continuous-time signal:

$$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \\ & = x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \right) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align}$$

where $x[n] \triangleq x(nT)$.

This means that $x_\text{s}(t)$ is defined solely by the samples $x[n]$ and the sampling period $T$ and totally loses any information of the values of $x(t)$ for times in between sampling instances. $x[n]$ is a discrete sequence of numbers and is a sorta DSP shorthand notation for $x_n$. While it is true that $x_\text{s}(t) = 0$ for $nT < t < (n+1)T$, the value of $x[n]$ for any $n$ not an integer is undefined.

N.B.: The discrete signal $x[n]$ and all discrete-time operations on it, like the $\mathcal{Z}$-Transform, the Discrete-Time Fourier Transform (DTFT), the Discrete Fourier Transform (DFT), are "agnostic" regarding the sampling frequency or the sampling period $T$. Once you're in the discrete-time $x[n]$ domain, you do not know (or care) about $T$. It is only with the Nyquist-Shannon Sampling and Reconstruction Theorem that $x[n]$ and $T$ are put together.

The Fourier Transform of $x_\text{s}(t)$ is

$$\begin{align} X_\text{s}(j 2 \pi f) \triangleq \mathscr{F}\{ x_\text{s}(t) \} & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{ \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right) \\ \end{align}$$

Important note about scaling: The sampling function $T \cdot \operatorname{III}_T(t)$ and the sampled signal $x_\text{s}(t)$ has a factor of $T$ that you will not see in nearly all textbooks. That is a pedagogical mistake of the authors of these of these textbooks for multiple (related) reasons:

1. First, leaving out the $T$ changes the dimension of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ from the dimension of the signal getting sampled $x(t)$.
2. That $T$ factor will be needed somewhere in the signal chain. These textbooks that leave it out of the sampling function end up putting it into the reconstruction part of the Sampling Theorem, usually as the passband gain of the reconstruction filter. That is dimensionally confusing. Someone might reasonably ask: "How do I design a brickwall LPF with passband gain of $T$?"
3. As will be seen below, leaving the $T$ out here results in a similar scaling error for the net transfer function and net frequency response of the Zero-order Hold (ZOH). All textbooks on digital (and hybrid) control systems that I have seen make this mistake and it is a serious pedagogical error.

Note that the DTFT of $x[n]$ and the Fourier Transform of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ are, with proper scaling, virtually identical:

DTFT:

$$\begin{align} X_\mathsf{DTFT}(\omega) & \triangleq \mathcal{Z}\{x[n]\} \Bigg|_{z=e^{j\omega}} \\ & = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ e^{-j \omega n} \\ \end{align}$$

It can be shown that

$$X_\mathsf{DTFT}(\omega) = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) = \frac{1}{T} X_\text{s}(j 2 \pi f)\Bigg|_{f=\frac{\omega}{2 \pi T}}$$

---

The above math is true whether $x(t)$ is "properly sampled" or not. $x(t)$ is "properly sampled" if $x(t)$ can be fully recovered from the samples $x[n]$ and knowledge of the sampling rate or sampling period. The Sampling Theorem tells us what is necessary to recover or reconstruct $x(t)$ from $x[n]$ and $T$.

If $x(t)$ is bandlimited to some bandlimit $B$, that means

$$X(j 2 \pi f) = 0 \quad \quad \text{for all} \quad |f| > B$$

Consider the spectrum of the sampled signal made up of shifted images of the original:

$$X_\text{s}(j 2 \pi f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$$

The original spectrum $X(j 2 \pi f)$ can be recovered from the sampled spectrum $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ if none of the shifted images, $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$, overlap their adjacent neighbors. This means that the right edge of the $k$-th image (which is $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$) must be entirely to the left of the left edge of the ($k+1$)-th image (which is $X\left(j 2 \pi (f - (k+1) f_\text{s})\right)$). Restated mathematically,

$$k f_\text{s} + B < (k+1) f_\text{s} - B$$

which is equivalent to

$$f_\text{s} > 2B$$

If we sample at a sampling rate that exceeds twice the bandwidth, none of the images overlap, the original spectrum, $X(j 2 \pi f)$, which is the image where $k=0$ can be extracted from $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ with a brickwall low-pass filter that keeps the original image (where $k=0$) unscaled and discards all of the other images. That means it multiplies the original image by 1 and multiplies all of the other images by 0.

$$\begin{align} X(j 2 \pi f) & = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) \cdot X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ & = H(j 2 \pi f) \ X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ \end{align}$$

The reconstruction filter is

$$H(j 2 \pi f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$$

and has acausal impulse response:

$$h(t) = \mathscr{F}^{-1} \{H(j 2 \pi f)\} = f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}t)$$

Hoạt động lọc này, được biểu thị bằng phép nhân trong miền tần số tương đương với tích chập trong miền thời gian:

$$\begin{align} x(t) & = h(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \left(f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) \\ \end{align}$$

Điều đó nói lên rõ ràng như thế nào ban đầu $x(t)$ được xây dựng lại từ các mẫu $x[n]$ và kiến ​​thức về tỷ lệ lấy mẫu hoặc thời gian lấy mẫu.

---

Vì vậy, đầu ra từ Bộ chuyển đổi kỹ thuật số sang tương tự (DAC) thực tế là gì

$$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right)$$

không cần điều trị bổ sung để phục hồi $x(t)$, cũng không

$$x_\text{s}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ T \delta(t-nT)$$

trong đó, với một LPF brickwall lý tưởng phục hồi $x(t)$ bằng cách cách ly và giữ lại hình ảnh dải cơ sở và loại bỏ tất cả các hình ảnh khác.

Điều gì đến từ một bộ xử lý thông thường, nếu không có quá trình xử lý hoặc chia tỷ lệ được thực hiện cho tín hiệu số hóa, là giá trị $x[n]$được giữ ở một giá trị không đổi cho đến khi mẫu tiếp theo được xuất ra. Điều này dẫn đến một hàm hằng số piecewise :

$$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t-nT - \frac{T}{2}}{T} \right)$$

Lưu ý sự chậm trễ của $\frac{1}{2}$ giai đoạn mẫu áp dụng cho $\operatorname{rect}(\cdot)$chức năng. Điều này làm cho nó nhân quả. Nó có nghĩa đơn giản là

$$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{when} \quad nT \le t < (n+1)T$$

Nói cách khác

$$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{for} \quad n = \operatorname{floor}\left( \frac{t}{T} \right)$$

Ở đâu $\operatorname{floor}(u) = \lfloor u \rfloor$là hàm sàn , được định nghĩa là số nguyên lớn nhất không vượt quá$u$.

Đầu ra DAC này được mô hình hóa trực tiếp dưới dạng hệ thống bất biến thời gian tuyến tính (LTI) hoặc bộ lọc chấp nhận tín hiệu được lấy mẫu lý tưởng$x_\text{s}(t)$ và đối với mỗi xung trong tín hiệu được lấy mẫu lý tưởng, sẽ đưa ra đáp ứng xung này:

$$h_\text{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right)$$

Cắm vào để kiểm tra điều này ...

$$\begin{align} x_\text{DAC}(t) & = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h_\text{ZOH}(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h_\text{ZOH}(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h_\text{ZOH}(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ \end{align}$$

Đầu ra DAC $x_\text{DAC}(t)$, là đầu ra của một hệ thống LTI với đáp ứng xung $h_\text{ZOH}(t)$đồng ý với việc xây dựng liên tục piecewise ở trên. Và đầu vào của hệ thống LTI này là tín hiệu được lấy mẫu$x_\text{s}(t)$ thận trọng thu nhỏ để hình ảnh cơ sở của $x_\text{s}(t)$ hoàn toàn giống với phổ của tín hiệu gốc được lấy mẫu $x(t)$. Đó là

$$X(j 2 \pi f) = X_\text{s}(j 2 \pi f) \quad \quad \text{for} \quad -\frac{f_\text{s}}{2} < f < +\frac{f_\text{s}}{2}$$

Phổ tín hiệu ban đầu giống như phổ được lấy mẫu, nhưng với tất cả các hình ảnh, đã xuất hiện do lấy mẫu, bị loại bỏ.

Hàm truyền của hệ thống LTI này, mà chúng tôi gọi là giữ không thứ tự (ZOH) , là Biến đổi Laplace của đáp ứng xung:

$$\begin{align} H_\text{ZOH}(s) & = \mathscr{L} \{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ & \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h_\text{ZOH}(t) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_0^T \frac{1}{T} \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \frac{1}{T} \quad \frac{1}{-s}e^{-s t}\Bigg|_0^T \\ & = \frac{1-e^{-sT}}{sT} \\ \end{align}$$

Đáp ứng tần số có được bằng cách thay thế $j 2 \pi f \rightarrow s$

$$\begin{align} H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) & = \frac{1-e^{-j2\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{f_\text{s}}\right) \\ \end{align}$$

Điều này cho thấy bộ lọc pha tuyến tính với độ trễ không đổi trong khoảng thời gian một nửa mẫu,$\frac{T}{2}$và với mức tăng giảm theo tần số $f$tăng. Đây là một hiệu ứng bộ lọc thông thấp nhẹ. Tại DC,$f=0$, mức tăng là 0 dB và tại Nyquist, $f=\frac{f_\text{s}}{2}$mức tăng là -3,9224 dB. Vì vậy, hình ảnh dải tần cơ sở có một số thành phần tần số cao giảm đi một chút.

Như với tín hiệu được lấy mẫu $x_\text{s}(t)$, có hình ảnh trong tín hiệu được lấy mẫu $x_\text{DAC}(t)$ tại bội số nguyên của tần số lấy mẫu, nhưng những hình ảnh đó bị giảm đáng kể về biên độ (so với hình ảnh dải cơ sở) bởi vì $|H_\text{ZOH}(j 2 \pi f)|$ đi qua không khi $f = k\cdot f_\text{s}$ cho số nguyên $k$ đó không phải là 0, nằm ngay giữa những hình ảnh đó.

Kết luận:

1. Nắm giữ không thứ tự (ZOH) là mô hình bất biến theo thời gian tuyến tính của quá trình tái tạo tín hiệu được thực hiện bởi bộ chuyển đổi Digital-to-Analog (DAC) thực tế giữ hằng số đầu ra ở giá trị mẫu, $x[n]$, cho đến khi được cập nhật bởi mẫu tiếp theo $x[n+1]$.

2. Trái với quan niệm sai lầm phổ biến, ZOH không liên quan gì đến mạch giữ mẫu (S / H) mà người ta có thể tìm thấy trước bộ chuyển đổi Tương tự sang số (ADC) . Miễn là DAC giữ đầu ra ở một giá trị không đổi trong mỗi giai đoạn lấy mẫu, không có vấn đề gì nếu ADC có S / H hay không, hiệu ứng ZOH vẫn còn. Nếu DAC xuất ra thứ gì đó không phải là đầu ra không đổi piecewise (chẳng hạn như một chuỗi các xung hẹp nhằm mục đích xấp xỉ các xung dirac) được mô tả ở trên như$x_\text{DAC}(t)$, sau đó không có hiệu ứng ZOH (thay vào đó là một thứ khác) cho dù có mạch S / H trước ADC hay không.

3. Hàm truyền ròng của ZOH là

   $$H_\text{ZOH}(s) = \frac{1-e^{-sT}}{sT}$$ và đáp ứng tần số ròng của ZOH là $$H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT)$$ Nhiều sách giáo khoa bỏ ra $T$ yếu tố trong mẫu số của hàm truyền và đó là một sai lầm.

4. ZOH làm giảm hình ảnh của tín hiệu được lấy mẫu$x_\text{s}(t)$đáng kể, nhưng không loại bỏ chúng. Để loại bỏ hình ảnh, người ta cần một bộ lọc thông thấp tốt như trước đây. BrickF LPF là một lý tưởng hóa. LPF thực tế cũng có thể làm giảm hình ảnh dải tần cơ sở (mà chúng tôi muốn giữ) ở tần số cao và sự suy giảm đó phải được tính như với sự suy giảm dẫn đến ZOH (mức suy giảm nhỏ hơn 3.9224 dB). ZOH cũng làm chậm tín hiệu trong khoảng thời gian một nửa mẫu, có thể phải xem xét (cùng với độ trễ của LPF chống hình ảnh), đặc biệt nếu ZOH nằm trong vòng phản hồi.