Tại sao tốc độ dữ liệu Nyquist thấp hơn tốc độ dữ liệu Shannon?

Trong cuốn sách Computer Networks , tác giả nói về tốc độ dữ liệu tối đa của một kênh. Ông trình bày công thức Nyquist:

C = 2H log V (bit / giây)$_2$

Và đưa ra một ví dụ cho một đường dây điện thoại:

kênh 3 kHz ồn ào không thể truyền tín hiệu nhị phân (tức là hai mức) với tốc độ vượt quá 6000 bps.

Sau đó, ông giải thích phương trình Shannon:

C = H log (1 + S / N) (bit / giây)$_2$

Và đưa ra (một lần nữa) một ví dụ cho một đường dây điện thoại:

một kênh có băng thông 3000 Hz với tỷ lệ nhiễu tín hiệu / nhiệt là 30 dB (thông số điển hình của phần tương tự của hệ thống điện thoại) không bao giờ có thể truyền nhiều hơn 30.000 bps

Tôi không hiểu tại sao tỷ lệ Nyquist thấp hơn nhiều so với tỷ lệ Shannon, vì tỷ lệ Shannon tính đến tiếng ồn. Tôi đoán họ không biểu thị cùng tốc độ dữ liệu nhưng cuốn sách không giải thích điều đó.

Để hiểu điều này trước tiên bạn phải hiểu rằng các bit được truyền không phải hoàn toàn là nhị phân, như được đưa ra trong ví dụ về khả năng Nyquist. Hãy nói rằng bạn có tín hiệu nằm trong khoảng từ 0 đến 1V. Bạn có thể ánh xạ 0v đến [00] .33v đến [01] .66v đến [10] và 1v đến [11]. Vì vậy, để giải thích điều này trong công thức của Nyquist, bạn sẽ thay đổi 'V' từ 2 mức riêng biệt thành 4 mức riêng biệt, do đó thay đổi công suất của bạn từ 6000 thành 12000. Điều này có thể được thực hiện cho bất kỳ số lượng giá trị riêng biệt nào.

Có một vấn đề với công thức của Nyquist. Vì nó không giải thích được nhiễu, nên không có cách nào để biết có bao nhiêu giá trị rời rạc có thể. Vì vậy, Shannon đã xuất hiện và đưa ra một phương pháp về cơ bản đặt tối đa lý thuyết về số lượng mức độ riêng biệt mà bạn có thể đọc không có lỗi.

Vì vậy, trong ví dụ của họ về việc có thể nhận được 30.000 bps, bạn sẽ phải có 32 giá trị riêng biệt có thể được đọc để có nghĩa là các biểu tượng khác nhau.

Tốc độ dữ liệu Nyquist (không phải tần số Nyquist) là tốc độ tối đa cho tín hiệu nhị phân (2 mức riêng biệt).

Tốc độ Shannon tính đến các mức tín hiệu, vì tốc độ dữ liệu tối đa không chỉ là một chức năng của băng thông - nếu có thể sử dụng vô số mức tín hiệu thì tốc độ dữ liệu có thể là vô hạn bất kể băng thông.
Vì mức tăng nhỏ nhất có thể sẽ phụ thuộc vào tỷ lệ tín hiệu / nhiễu, đây là lý do tại sao nó được đưa vào tỷ lệ Shannon. Vì vậy, với ví dụ trên, nó được hiển thị cho băng thông 3000kHz và SNR 30dB, bạn có thể truyền các mức đại diện cho 5 bit thông tin mỗi mức.

Tỷ lệ công suất 30dB = 1000 đến 1 có thể được chuyển đổi trở lại điện áp bằng sqrt (1000) = ~ 32 mức phân biệt (5 bit). Nếu chúng ta áp dụng điều này cho định lý đơn giản hơn của Hartley, chúng ta sẽ nhận được 2B * log2 (32) = 30kHz cho B = 3Khz. Vì vậy, 5 bit thông tin nhân với tốc độ dữ liệu Nyquist là 2B (= 6000 trong ví dụ này) bằng 30.000 bit / giây.

Một mô tả tốc độ lấy mẫu của bạn, còn lại là bạn có thể truyền bao nhiêu dữ liệu. Tỷ lệ mẫu yêu cầu tối thiểu chỉ là một hàm có tần số cao nhất bạn muốn biểu diễn chính xác. Đó là độc lập với lượng tiếng ồn trên kênh. Tuy nhiên, với ít tiếng ồn hơn, bạn có thể chuyển nhiều thông tin hơn trên mỗi mẫu. Nói cách khác, Nyquist cho biết tốc độ mẫu cần là bao nhiêu và Shannon nói bạn nhận được bao nhiêu bit trên mỗi mẫu.