Chứng minh rằng mỗi mạch có điốt có chính xác một giải pháp

11

Hãy xem xét một mạch điện tử bao gồm các thành phần tuyến tính cộng với một số điốt lý tưởng. Theo "lý tưởng", ý tôi là chúng có thể được phân cực thuận (nghĩa là và ) hoặc phân cực ngược (tức là và ). $v_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $i_D=0$

Các mạch này có thể được tính bằng cách khai báo tùy ý từng diode hoặc phân cực thuận hoặc phân cực thuận và đặt cho mỗi diode phân cực thuận và cho mỗi diode phân cực ngược. Sau khi tính toán mạch tuyến tính kết quả, chúng ta phải kiểm tra xem tại mọi diode và tại mọi diode có được thỏa mãn hay không. Nếu có, đó là giải pháp của chúng tôi. Nếu không, chúng ta phải thử một loạt các lựa chọn khác cho điốt. Vì vậy, đối với điốt , chúng ta có thể tính toán mạch bằng cách tính tối đa mạch tuyến tính (thường là ít hơn nhiều). $v_D=0$ $i_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $N$ $2^N$

Tại sao điều này làm việc? Nói cách khác, tại sao luôn có một lựa chọn dẫn đến một giải pháp hợp lệ và (thú vị hơn) tại sao không bao giờ có hai lựa chọn dẫn đến các giải pháp hợp lệ?

Có thể chứng minh rằng trên cùng một mức độ nghiêm ngặt, ví dụ như định lý Thevenin được chứng minh trong sách giáo khoa.

Một liên kết đến một bằng chứng trong tài liệu cũng sẽ là một câu trả lời chấp nhận được.

circuit-analysis diodes

— Stefan
nguồn

1

Bởi vì một mạch vật lý có thể chỉ ở một trạng thái duy nhất. Đó không phải là cơ học lượng tử ...

— Eugene Sh.

3

@EugeneSh.: Điều đó đúng, nhưng đó không phải là những gì OP đang hỏi. Một số mạch có thể ở bất kỳ một trong số các trạng thái khác nhau với các điều kiện bên ngoài giống hệt nhau. Câu hỏi là để chứng minh rằng chỉ có một trạng thái như vậy cho lớp mạch mà OP đang mô tả.

— Dave Tweed

5

@Eugene Sh.: Vd: flip flop (hoặc bất kỳ mạch ổn định bi nào) là một ví dụ của một mạch có nhiều hơn một giải pháp. Nếu không có "tình trạng bẩm sinh giống nhau" được đưa ra, bạn phải thừa nhận bất kỳ điều kiện nào và xem xét các giải pháp ổn định nào có sẵn và sau đó bạn thấy rằng một số mạch chỉ có một cho dù điều kiện ban đầu là gì (ví dụ: mạch tuyến tính) và các điều kiện khác có nhiều hơn một .

— Sữa đông

1

@EugeneSh. Vấn đề ở đây là chứng minh rằng hành vi trạng thái ổn định của mạch diode không phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu, chỉ có một giải pháp ổn định. Không giống như flip-flop, có nhiều giải pháp ổn định và có thể được sử dụng làm phần tử bộ nhớ ("điều kiện ban đầu" là ghi bộ nhớ).

— Evan

2

@EugeneSh. Vấn đề không phải là một mạch phi tuyến tính có thể ở trạng thái được xác định rõ với các điều kiện ban đầu, mà chỉ ngược lại. Định lý mà OP đề cập đảm bảo rằng chỉ có một giải pháp bất kể điều kiện ban đầu , điều này khá đặc biệt đối với mạch phi tuyến.

— Lorenzo Donati - Codidact.org

3

Tôi giả sử đây là một vấn đề khó khăn trong đó có một mạch với các thụ động đã biết và một số I và V được đưa ra và các điểm được đánh dấu cho điốt không xác định hướng. Câu trả lời của tôi là:

Hy vọng rằng những người tạo ra các vấn đề đã hạn chế bản thân trong các trường hợp mà các giả định của họ dẫn đến kết luận của họ.

Về mặt lý thuyết nó có thể không thể giải quyết được bằng cách có một diode không liên quan; xem xét nối đất cả hai mặt của một diode. Có thể có những trường hợp không tầm thường sử dụng các căn cứ ảo hoặc các điện áp bằng nhau khác có thể khó phát hiện ra.

Chắc chắn có thể tồn tại các mạch hợp lệ chỉ khác nhau theo hướng của một diode cho bất kỳ giá trị nào của "mạch hợp lệ" bao gồm các điốt. Xem xét mô hình hóa các công tắc sử dụng các quy tắc diode lý tưởng đó, làm thế nào bạn có thể quyết định xem một công tắc có nghĩa là bật hay tắt? Hy vọng rằng các dòng điện và điện áp nhất định cho đủ gợi ý. Và hy vọng họ không cho bạn gợi ý mâu thuẫn.

Điều này chuyển câu hỏi thành "Làm thế nào bạn có thể biết nếu một cá thể có đủ thông tin là duy nhất?" Tôi nhớ câu trả lời giống như bạn cần một độc lập được đưa ra cho mỗi ẩn số độc lập, nhưng tôi chắc chắn rằng tôi không thể chứng minh điều đó hoặc đưa ra một bài kiểm tra chung về tính độc lập của một trong hai.

2

Đối với điốt lý tưởng, có thể có nhiều giải pháp.

Ví dụ tầm thường: Lấy bất kỳ mạch nào chứa điốt lý tưởng mà bạn đã giải quyết. Bây giờ thay thế một trong các điốt lý tưởng bằng, nếu tiến lên phía trước, một cặp điốt được kết nối song song hoặc nếu phân cực ngược, một cặp nối tiếp, duy trì hướng trong cả hai trường hợp. Làm thế nào để bạn giải quyết việc phân phối dòng điện hoặc điện áp giữa hai? Bạn không thể, mô hình diode lý tưởng dẫn đến một nhóm các giải pháp có giá trị như nhau.

— Bến Vọng
nguồn

1

Bạn đang thực sự kéo dài định nghĩa về "mạch" ở đây. Hai điốt lý tưởng phân cực ngược trong chuỗi tạo ra một nút cách ly giữa chúng và hai điốt lý tưởng phân cực thuận song song tạo ra một vòng lặp bị cô lập. Điều này không hữu ích trong bối cảnh của câu hỏi.

— Dave Tweed

@DaveTweed: Làm thế nào để sửa đổi sau mạch ít hơn một mạch so với trước khi thay đổi được thực hiện?

— Ben Voigt

2

Không, nhưng sửa đổi của bạn không tạo ra sự khác biệt hữu ích. Nếu hai điốt lý tưởng tham gia một cặp nút mạch, điều duy nhất quan trọng là tổng điện áp hoặc tổng dòng giữa các nút đó; sự phân phối điện áp hoặc dòng điện giữa các điốt riêng lẻ không có hậu quả gì. Và ném vào một thuật ngữ không liên quan như "vỏ lồi" chỉ là công nghệ thuần túy.

— Dave Tweed

Điều này rất hữu ích, vì nó cho thấy không có hy vọng về một bằng chứng về tính độc đáo mà không có giả định nào thêm. Tất nhiên, câu hỏi tiếp theo là liệu có đủ để loại trừ hai điốt liên tiếp và hai điốt song song hay không, nếu có các phản ứng có độ phức tạp lớn hơn.

— Stefan

1

Tôi không có bằng chứng nghiêm ngặt, nhưng ý tưởng chung là miễn là các thành phần của mạch có các đường cong VI là các hàm có giá trị đơn (điều này bao gồm các điốt cũng như các thành phần tuyến tính), chỉ có thể có một giải pháp cho các mạch tổng thể.

— Dave Tweed
nguồn

Loại cảm ứng trên một chồng chất. Trường hợp cơ sở sẽ là một mạch đơn diode, dễ dàng cho thấy có giải pháp duy nhất. Sau đó, bước cảm ứng để hiển thị sự kết hợp của các mạch cơ sở đang có giải pháp duy nhất.

— Eugene Sh.

1

Tuy nhiên, diode lý tưởng được thảo luận trong phương trình không có đường cong IV có giá trị đơn.

— Ben Voigt

@BenVoigt: Khi làm việc với các thành phần lý tưởng và các số không và vô số liên quan, bạn phải cẩn thận. Khái niệm về các giới hạn là rất quan trọng: điện trở thuận là vô hạn nhưng không phải là không, và độ dẫn ngược cũng là vô hạn nhưng không phải là không. Khi được xem xét trong thời trang này, phương trình thực sự là giá trị đơn.

— Dave Tweed

1

Tôi nghĩ rằng tôi khá đơn giản:

bạn có thể coi các điốt lý tưởng thiên về phía trước như quần short và các điốt lý tưởng thiên vị đảo ngược như các mạch mở. Vì vậy, trong mọi trường hợp, bạn nhận được các mạch chỉ có các thành phần tuyến tính (vì tất cả các điốt đều phân giải thành mạch mở hoặc quần short) và các mạch tuyến tính đó được biết là có chính xác một giải pháp.

— Đông lại
nguồn

3

Nhưng mỗi mạch đó sẽ có một giải pháp - làm thế nào để bạn chứng minh rằng chỉ có một là tự ổn định?

— Ben Voigt

@Ben Voigt: ok, tôi hiểu. Điều đó chưa được chứng minh (và có lẽ là công việc chính)

— Curd

1

Từ mục nhập dòng tải Wikipedia

Chỉ có một giải pháp duy nhất vì bản chất của vấn đề. Điều này được minh họa tốt nhất bằng đồ họa, dưới dạng các dòng tải. Diode có một phương trình mô tả mối quan hệ giữa dòng điện qua nó (trục y) và điện áp trên nó (trục x). Ở đây, trục x là điện áp trên diode.

Hãy nhìn những gì xảy ra với dòng điện trên điện trở khi điện áp trên diode thay đổi. Nếu điện áp là Vdd trên diode, thì sẽ không có sụt áp trên điện trở, vì điện áp trên điện trở và diode phải tổng hợp với Vdd), và do đó sẽ có dòng điện bằng 0 trên điện trở (Định luật Ohm). Tương tự, nếu có sự sụt giảm điện áp bằng 0 trên diode, sẽ có Vdd trên điện trở và dòng điện qua điện trở sẽ là Vdd / R.

Bây giờ, chúng ta biết đó là những tình huống không thực tế, vì dòng điện trong diode và điện trở phải bằng nhau. Cho phương trình của điện trở (tuyến tính) và phương trình của diode (tăng phi tuyến tính, nhưng tăng đơn điệu), chúng ta có thể thấy trên biểu đồ rằng điều này chỉ có thể xảy ra tại một điểm duy nhất, giao điểm của hai đường cong.

Do đó, giải pháp đồng thời của ba phương trình (điện trở, diode và thực tế là hai dòng điện phải bằng nhau) sử dụng một giải pháp duy nhất.

Phương pháp này sẽ làm việc cho tất cả các yếu tố mạch.

Có một chút khác biệt đối với điốt ngược dòng, vì dòng điện trở đi theo hướng khác và một góc phần tư cần được thêm vào biểu đồ.

— Scott Seidman
nguồn

Đường cong IV diode bạn hiển thị không phải là đường cong IV của một diode lý tưởng .

— Sữa đông

@Curd: Do thiếu các yếu tố tỷ lệ, nó đủ gần. Xem bình luận của tôi cho Ben Voigt.

— Dave Tweed

1

Đây là một lời giải thích tốt cho trường hợp với một diode, nhưng vấn đề thực tế của tôi là trường hợp với một vài điốt.

— Stefan

1

'Bằng chứng' về điều này sẽ chỉ hoạt động đối với các mạch nhất định. Nếu bạn có một số lợi ích và các phần tử phi tuyến duy nhất là các điốt, bạn có thể có nhiều trạng thái có thể. Ví dụ (có thể không phải là ví dụ đơn giản nhất có thể).

Mạch này sẽ hoạt động với một op-amp tuyến tính hoàn hảo lý tưởng và đầu ra không bao giờ tắt đến vô cực hoặc bão hòa, nhưng với 0V trong nó có thể là khoảng +6 hoặc khoảng -6 ở đầu ra, với một cặp hoặc một điốt khác đang tiến hành . Nó cũng sẽ hoạt động với các điốt 'gần như lý tưởng' có mức giảm về phía trước khi bật và không có bất thường nào khác.

sơ đồ

(và tất nhiên điốt đường hầm là một trường hợp đặc biệt với đường cong IV không đơn điệu của chúng).

Bằng chứng có lẽ sẽ chỉ yêu cầu các yếu tố thụ động như điện trở (không có nguồn điện áp hoặc nguồn phụ thuộc). Hoặc có lẽ chỉ với điốt lý tưởng với 0V Vf.

— Spehro Pefhany
nguồn

Không rõ ràng rằng loại mạch mà chúng ta đang nói ở đây không bao gồm bất cứ thứ gì có được, chẳng hạn như bất kỳ thiết bị 3 cực hoặc thiết bị kháng âm nào?

— Dave Tweed

@DaveTweed Không, không. Câu hỏi ban đầu nói rằng "các thành phần tuyến tính" không đủ hạn chế, ít nhất là đối với các điốt có chuyển tiếp giảm. Các câu hỏi trong sách giáo khoa điển hình chỉ có điện áp và nguồn hiện tại và điện trở độc lập và điốt lý tưởng hoặc hơi lý tưởng. Các mạch thực và hữu ích thường liên quan đến op-amps, IME.

— Spehro Pefhany

Tôi đã có nghĩa là những gì bạn mô tả như các câu hỏi sách giáo khoa điển hình.

— Stefan

1

Bạn nói đúng, câu hỏi sẽ nói "thụ động" nếu nó có nghĩa là loại trừ các yếu tố hoạt động nhưng tuyến tính.

— Ben Voigt

0

Đây không phải là một bằng chứng hoàn chỉnh, nhưng có lẽ nó sẽ giúp bạn đi đúng hướng:

Nếu có nhiều giải pháp, có ít nhất một diode có thể phân cực thuận hoặc ngược. Hãy xem xét một diode như vậy. Trong một giải pháp nhất định, nó là xu hướng thuận hoặc ngược. Hãy xác định các điện áp tại các cực của nó, Va và Vb, sao cho nếu nó bị phân cực thuận, Va> = Vb và nếu nó bị phân cực ngược, Vb> = Va. Trong trường hợp phân cực thuận hoặc ngược, phần còn lại của Mạch (RotC) tạo ra các điện áp này tại các cực của diode.

Vì bạn đã nói rằng mạch bao gồm các phần tử và điốt tuyến tính, hoặc RotC là một mạng tuyến tính thuần túy hoặc nó bao gồm nhiều điốt hơn.

Nếu RotC là một mạng tuyến tính thuần túy, nó chỉ có một giải pháp và giải pháp duy nhất cho các ràng buộc Va> = Vb và Vb> = Va là Va = Vb.

Nếu RotC bao gồm nhiều điốt hơn với nhiều giải pháp có thể, hãy xem xét các diode tiếp theo như vậy. Một lần nữa, nó được kết nối với mạng tuyến tính hoặc mạng có nhiều điốt hơn với nhiều giải pháp khả thi.

Nếu chúng ta giả sử có một số lượng điốt hữu hạn trong mạch ...

— PProteus
nguồn