Tại sao bình phương trung bình gốc được sử dụng khi tính công suất trung bình, và không chỉ đơn giản là trung bình của điện áp / dòng điện?

28

P = = {tôi}_{hiệu}^{2} \times R

$P = I_{\text{eff}}^2 \times R$ trong đó là dòng điện hiệu dụng. Để công suất ở mức trung bình phải là dòng điện trung bình, vì vậy tôi cho rằng dòng điện hiệu dụng là dòng điện trung bình.

I_{eff}

$I_{\text{eff}}$

I

$I$

Trong trường hợp đó, tại sao không chỉ đơn giản là $I_{\text{eff}}$

{tôi}_{hiệu} = = \frac{1}{t} \int_{0}^{t} | tôi | d t

$I_{\text{eff}} = \frac{1}{t}\int_{0}^{t} |i|dt$

Thay vào đó, nó được định nghĩa như vậy:

I_{eff} = \sqrt{\frac{1}{t} \int_{0}^{t} i^{2} d t}

$I_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{t}\int_{0}^{t} i^2dt}$

Do đó, sử dụng hai biểu thức này để tính kết quả $P$ trong các câu trả lời khác nhau.

Tại sao cái này rất? Nó làm cho không có ý nghĩa với tôi. Tôi chỉ có thể đoán rằng tôi đang hiểu sai dòng điện hiệu dụng là dòng điện trung bình. Tuy nhiên, nếu đây không phải là trường hợp, tôi không thấy $P$ có thể là công suất trung bình khi $I_{\text{eff}}$ không phải là dòng điện trung bình.

power-supply power circuit-analysis

— Tên vàng
nguồn

50

Đối với AC, điện áp / dòng trung bình bằng không.

— Roger Rowland

9

Công suất tỷ lệ với bình phương hiện tại, không phải cường độ hiện tại.

— Chu

26

Bởi vì nếu bạn muốn công suất trung bình , bạn phải tính công suất và tính trung bình, không phải thứ gì đó không phải là công suất .

— Neil_UK

4

"Để sức mạnh ở mức trung bình $ I $ phải là dòng điện trung bình" - đó là nơi bạn sai.

— dùng253751

6

@drobertson "Root có nghĩa là bình phương" = gốc của trung bình của hình vuông, không giống với trung bình của căn bậc hai, và do đó không giống với giá trị trung bình tuyệt đối.

— dùng253751

56

Lấy một ví dụ đơn giản trong đó các khoản tiền là tầm thường. Tôi có một điện áp là trên 50% thời gian và giảm 50% thời gian. Nó là 10V khi nó bật. Do đó, điện áp trung bình là 5V. Nếu tôi kết nối điện trở 1 ohm qua nó, nó sẽ tiêu tan 100W khi bật và 0W khi tắt. Công suất trung bình là 50W.

Bây giờ để lại điện áp mọi lúc nhưng làm cho nó 5V. Điện áp trung bình vẫn là 5V, nhưng công suất trung bình chỉ 25W. Rất tiếc.

Hoặc giả sử tôi chỉ có điện áp trên 10% thời gian, nhưng nó là 50V. Điện áp trung bình là 5V một lần nữa, nhưng công suất là 2500W khi bật và 0W khi tắt, vì vậy trung bình 250W.

Trong thực tế để tính công suất nói chung, bạn phải tích hợp (điện áp tức thời) * (dòng điện tức thời) trong một khoảng thời gian của dạng sóng để lấy trung bình (hoặc từ 0 đến một thời điểm như trong ví dụ của bạn để tìm công suất trong một khoảng thời gian) .

Nếu (và nó lớn nếu) tải là một điện trở R cố định, bạn có thể nói rằng v = i * R, vì vậy công suất tức thời là i ^ 2 * R và do đó bạn có thể tích hợp i ^ 2 trong khoảng thời gian để có được " Dòng RMS "và nhân với R sau này (vì nó đã cố định nên nó không nhập vào tích phân).

Dòng điện RMS không đặc biệt hữu ích nếu tải là thứ gì đó phi tuyến như diode. Nó có thể hữu ích trong việc phân tích tổn thất trong một cái gì đó như tụ điện với ESR nhất định. Các tổn thất (và dẫn đến hiệu ứng làm nóng làm giảm tuổi thọ tụ điện) sẽ tỷ lệ thuận với dòng RMS, không phải là trung bình.

— Spehro Pefhany
nguồn

34

Để công suất ở mức trung bình tôi phải là dòng điện trung bình, vì vậy tôi cho rằng dòng điện hiệu dụng là dòng điện trung bình.

Tóm lại, điện áp trung bình x dòng trung bình chỉ bằng công suất trung bình khi điện áp và dòng điện là đại lượng DC. Hãy nghĩ về ví dụ sau: -

Nếu bạn áp dụng 230 V AC từ ổ cắm điện tiện ích của bạn cho bộ phận làm nóng, nó sẽ nóng lên hoặc thậm chí nóng. Đó là lấy sức mạnh mà bạn có thể được lập hóa đơn. 230 V AC là sóng hình sin và tất cả các sóng hình sin có giá trị trung bình bằng không. Dòng điện kết quả chảy qua phần tử gia nhiệt cũng là một sóng hình sin có giá trị trung bình bằng không.

Vì vậy, sử dụng điện áp trung bình x dòng trung bình tạo ra công suất trung bình bằng không và rõ ràng đó là sai. Đó là điện áp RMS x RMS hiện tại sẽ đưa ra một câu trả lời có ý nghĩa (không phân biệt là DC hay AC).

Bạn phải quay trở lại vấn đề cơ bản và tự hỏi sức mạnh của nó là gì - đó là điện áp x hiện tại và đây là những giá trị tức thời được nhân với nhau. Điều này dẫn đến một dạng sóng công suất như thế này: -

Do hoạt động của phép nhân, dạng sóng công suất hiện có giá trị trung bình khác không . Tiến lên một bước nữa, nếu điện trở tải là 1 ohm thì biên độ của dòng điện sẽ bằng biên độ của điện áp ứng dụng, do đó, công suất trở thành trung bình của . $v^2$

Điều này dẫn đến việc chúng ta nói rằng công suất là the mean of the square of voltage(hoặc dòng điện) và, do chúng ta đã chọn 1 ohm trong ví dụ này, chúng ta cũng có thể nói rằng điện áp hiệu dụng tạo ra công suất này là square root of the mean of the voltage squaredgiá trị "RMS".

Vì vậy, đối với sóng hình sin có biên độ cực đại , đỉnh của sóng công suất là và, vì sóng công suất được tạo bởi bình phương sóng hình sin cũng là sóng hình sin (với tần số gấp đôi), trung bình giá trị (trung bình) là: - $v_{pk}$ $v^2_{pk}$

. Sau đó lấy căn bậc hai để có đượchiệu quảđiện áp chúng tôi nhận $\dfrac{v^2_{pk}}{2}$ hoặc $\sqrt{\dfrac{v^2_{pk}}{2}}$ $\dfrac{v_{pk}}{\sqrt{2}}$

Trong thực tế, giá trị RMS của điện áp xoay chiều (hoặc dòng điện) là giá trị tương đương của điện áp DC (hoặc dòng điện) tạo ra hiệu ứng đốt nóng tương tự trong tải điện trở.

Vì vậy, không, điện áp trung bình hoặc dòng điện trung bình là không liên quan nhưng công suất trung bình là vua.

— Andy aka
nguồn

Giải thích tốt

— crowie 7/12/2016

Lưu ý rằng công suất trung bình bằng điện áp RMS lần dòng RMS khi và chỉ khi điện áp và dòng điện tỷ lệ thuận.

— Peter Green

Liệu phép nhân này có nghĩa là tải không điện trở có đường cong công suất đôi khi âm? Điều này có nghĩa là trung bình ngây thơ của sức mạnh khác với VRMS * IRMS? Là sự khác biệt liên quan đến các yếu tố sức mạnh?

— Random832

1

@ Random832 - có vẻ như bình luận của bạn nên đến sau tôi nhưng đúng vậy, tôi đã cẩn thận với những từ không ngụ ý bất kỳ yếu tố sức mạnh nào để tránh sự phức tạp không cần thiết trong câu trả lời. Công suất chỉ bằng Vrms x I rms trong mạch điện xoay chiều cho các tải có PF là 1.

— Andy aka

1

@anhnha vâng, trường hợp chung luôn là sản phẩm của v và i tức thời. Trong thực tế, yếu tố sức mạnh không bao giờ (một từ dũng cảm để sử dụng) được sử dụng để tính toán sức mạnh một cách hợp lý. Tôi đã để lại rất nhiều câu trả lời khác về chủ đề này mà bạn có thể đã thấy.

— Andy aka

16

Ma quỷ là trong các chi tiết khi bạn làm toán.

Cho rằng năng lượng tức thời , sau đó công suất trung bình là: $P_\text{inst} = i^2 \cdot R$

P_{avg} = \bar{P_{inst}} = \bar{i^{2} \cdot R} = \bar{i^{2}} \cdot R = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2} d t \cdot R

$P_\text{avg}= \overline{P_\text{inst}} = \overline{i^2 \cdot R} =\overline{i^2} \cdot R = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2dt \cdot R$

Dòng điện một chiều hiệu dụng là công suất tiêu tán cùng công suất sau đó:

P_{avg} = I_{eff}^{2} \cdot R

$P_\text{avg}=I_\text{eff}^2 \cdot R$

I_{eff}^{2} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2} d t

$I_\text{eff}^2 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt$

I_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2} d t}

$I_\text{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2 \ dt}$

\int_{a}^{b} i^{2} d t \neq [\int_{a}^{b} i d t]^{2}

$\int_{a}^{b}i^2 \ dt \neq\Big[\int_{a}^{b}i \ dt\Big]^2$

$\frac{1}{T}$

Tóm lại, đó là vì toán học không diễn ra theo cách đó.

— Addison
nguồn

Đây là câu trả lời chính xác và chính xác hơn, IMO.

— hcabral

4

Công suất trung bình chỉ là tích phân của công việc, trong một khoảng thời gian hữu hạn, chia cho khoảng thời gian đó. Đối với trường hợp của bạn, mỗi công việc là:

d U = P_{t} \cdot d t = R_{t} \cdot I_{t}^{2} \cdot d t

$\textrm{d}U = P_t\cdot \textrm{d}t =R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$

So, you integrate that to get total work for some finite period and then, to convert that into an average power value, you just divide it by the finite period. Or:

\bar{P} = \frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} R_{t} \cdot I_{t}^{2} \cdot d t

$\overline{P}=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} R_t\cdot I_t^2\cdot \textrm{d}t$

If $R_t$ is a constant over time, then:

\bar{P} = R \cdot \frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} I_{t}^{2} \cdot d t

$\overline{P}=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t$

But if you want to now construct some kind of fictional effective current that fits the $R\cdot I_{eff}^2$ model, then by simple inspection of the above equation it must be the case that:

\begin{aligned} \bar{P} = R \cdot I_{e f f}^{2} = R \cdot \frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} I_{t}^{2} \cdot d t \\ ∴ I_{e f f}^{2} & = \frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} I_{t}^{2} \cdot d t \end{aligned}

$\begin{align*} \overline{P}=R\cdot I_{eff}^2=R\cdot\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \\ \therefore~~~~~~~~~~~~~ I_{eff}^2 &=\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t \end{align*}$

It's just an equivalent substitution, right?

And then obviously:

\begin{aligned} I_{e f f} & = \sqrt{\frac{1}{t_{1} - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t_{1}} I_{t}^{2} \cdot d t} \end{aligned}

$\begin{align*} I_{eff} &=\sqrt{\frac{1}{t_1-t_0}\int_{t_0}^{t_1} I_t^2\cdot \textrm{d}t} \end{align*}$

If you start things so that $t_0=0$ and set $t_1=t$ then you get your own equation. It's that easy, really.

— jonk
nguồn

Nice clean answer. I am sure you would appreciate some digression into 2-norm of Hilbert's spaces too...

— carloc

3

Imagine two currents flow simultaneously through your load:

DC current of 1A
AC current with 1A amplitude

The total current will look something like this:

Now, if we apply your formula for $I_{eff}$ , we will get 1A, as if the AC component produced zero power. I hope you agree that this makes even less sense than the original formula.

— Dmitry Grigoryev
nguồn

2

Consider $R=1\Omega$ and and a current of 1A for one second and 10A for another second. What's the average power?

Obviously, it is

\bar{P} = \frac{1 s \cdot 1 A^{2} \cdot 1 Ω + 1 s \cdot 10 A^{2} \cdot 1 Ω}{2 s} = 50.5 W

$\bar{P}=\frac{1s\cdot 1A^2\cdot 1\Omega+1s\cdot 10A^2\cdot 1\Omega}{2s}=50.5W$

Let's rewrite this:

\bar{P} = 1 Ω * \underset{= I_{e f f}^{2}}{\underset{⏟}{(\frac{1 s \cdot 1 A^{2} + 1 s \cdot 10 A^{2}}{2 s})}}

$\bar{P}=1\Omega*\underbrace{\left(\frac{1s\cdot 1A^2+1s\cdot 10A^2}{2s}\right)}_{=I_{eff}^2}$

On the other hand, the average current is 5.5A, which gives an "average power" of 30.25W.

The point is, the power formula contains the square of the current, so the effective current is higher than just the average of the (absolute value of) the current.

— sweber
nguồn

2

Let me put this in more general terms: Instant power P(t) dissipated over a load is a product (in mathematical sense as multiplication) of V(t) and I(t). Or I(t)*I(t)/R for that matter. Average power is therefore an average[I(t)*I(t)]/R. The paradox is in the well-known mathematical theorem that an average of a product of variable functions is not equal to product of their averages,

[(V(t)I(t)] != [V(t)]*[I(t)];

equivalently,

[I(t)^2] != [I(t)]*[I(t)]

To illustrate this basic calculus problem to some extreme, assume that you have a resistor load of 1 Ohm, and the voltage is pulsed as 10V for 10% duty cycle, 10% up, 90% no voltage. The real dissipated power is 10V*10A = 100W for 10% of the duty cycle, and zero for the rest of duty cycle. So the average power dissipated by this resistor is 10W.

Now, if you take (or even measure!) the averages separately using separate meters, the average [V] of this pulsed waveform will come up as 1V, and the average of I will come as 1A. Multiplying the measured results one might come to a conclusion that the power consumed by this "device" is only 1W, which will be totally wrong by a factor of 10!!!.

This is a typical mistake in many disciplines and applications. For example this mistake is in the basis of many bogus claims of some magical water heaters that produce more output than the "consumed electricity" usually explained by "cold fusion", or some other BS. There are even patents granted on these "pulsed heaters".

— Ale..chenski
nguồn