Khi nào được yêu cầu hoặc được phép lấy mẫu dưới tỷ lệ Nyquist

Tôi đã tìm kiếm các câu hỏi và câu trả lời trong quá khứ trên nền tảng này nhưng không có câu trả lời nào cho câu hỏi này. Một giáo sư cho biết có thể lấy mẫu dưới tỷ lệ Nyquist trong một số điều kiện nhất định. Tôi sẽ muốn biết, đầu tiên, nếu có thể làm điều này, nếu có, khi nào?

Trước hết, chúng ta hãy thoát khỏi quan niệm sai lầm về tỷ lệ Nyquist.

Mọi người thường được dạy rằng tần số lấy mẫu tối thiểu cần phải gấp đôi tần số của tần số cao nhất trong tín hiệu. Điều này là hoàn toàn sai!

Điều gì đúng là nếu bạn có phổ "đầy đủ" và đầy đủ, ý tôi là nó sử dụng hoàn toàn tất cả các tần số giữa cạnh dưới của băng thông và cạnh trên của băng thông, thì bạn cần phải có tần số lấy mẫu đó là ít nhất gấp đôi băng thông của tín hiệu.

Vì vậy, trong hình ở đây, tần số lấy mẫu cần ít nhất là 2 * (Fh-Fl) để có được phổ.

Bạn cũng cần lưu ý rằng, sau khi bạn lấy mẫu, tất cả thông tin về tần số thực sẽ bị mất trong tín hiệu được lấy mẫu. Đây là nơi toàn bộ câu chuyện về tần số Nyquist phát huy tác dụng. Nếu tần số lấy mẫu cao gấp hai lần tần số tín hiệu, thì chúng ta có thể giả định một cách an toàn (vì chúng ta thường được đào tạo để làm theo tiềm thức) rằng tất cả các tần số trong tín hiệu được lấy mẫu nằm trong khoảng từ 0 đến một nửa tần số lấy mẫu.
Trong thực tế, phổ của tín hiệu được lấy mẫu là định kỳ quanh Fs / 2 và chúng ta có thể sử dụng tính tuần hoàn đó để đạt được tốc độ lấy mẫu thấp hơn.
Hãy nhìn vào bức tranh sau đây:
Vùng nằm giữa 0 và Fs / 2 là vùng được gọi là vùng Nyquist đầu tiên. Đây là khu vực chúng tôi đang thực hiện lấy mẫu "truyền thống". Tiếp theo hãy xem khu vực giữa Fs / 2 và Fs. Đây là khu vực Nyquist thứ hai. Nếu chúng ta có bất kỳ tín hiệu nào trong khu vực này, phổ của chúng sẽ được lấy mẫu và phổ của nó sẽ bị lật, nghĩa là, tần số cao và thấp sẽ bị đảo ngược. Tiếp theo, chúng ta có vùng Nyquist thứ ba, giữa Fs và 3Fs / 2. Tín hiệu ở đây, khi được lấy mẫu, sẽ trông như thể chúng đến từ vùng đầu tiên và phổ của chúng sẽ bình thường. Điều tương tự cũng xảy ra với tất cả các khu vực khác, với quy tắc là phổ của các khu vực số lẻ là bình thường và phổ của các khu vực số chẵn được đảo ngược.

Bây giờ điều này đi ngược lại các quy tắc "truyền thống" về khử răng cưa, vì răng cưa thường được dạy khi một con quái vật xấu xa nào đó ăn tín hiệu của bạn và bạn phải sử dụng các bộ lọc khử răng cưa thông thấp để loại bỏ nó. Trong cuộc sống thực, đây không phải là cách mọi thứ thực sự hoạt động. Các bộ lọc khử răng cưa thực sự không thể ngăn răng cưa, chúng chỉ đưa nó xuống mức độ không còn quan trọng nữa.
Thay vào đó, điều chúng tôi thực sự muốn làm là loại bỏ bất kỳ tín hiệu mạnh nào khỏi các vùng Nyquist không được quan tâm và cho phép các tín hiệu từ vùng Nyquist mà chúng tôi quan tâm. Nếu chúng tôi ở khu vực đầu tiên, thì bộ lọc thông thấp vẫn ổn, nhưng đối với tất cả các khu vực khác, chúng tôi cần bộ lọc band-pas cho phép chúng tôi nhận được các tín hiệu hữu ích từ khu vực đó và loại bỏ rác mà chúng tôi không Không cần đến từ các khu vực khác.

Vì vậy, hãy xem ví dụ này: Ở đây chúng ta có một tín hiệu trong vùng Nyquist thứ ba đang được lọc qua bộ lọc thông dải. ADC của chúng ta sẽ chỉ cần có tần số lấy mẫu gấp đôi băng thông của tín hiệu để tái tạo tín hiệu, nhưng chúng ta luôn cần lưu ý rằng đây thực sự là tín hiệu từ vùng thứ ba, khi chúng ta cần tính toán tần số bên trong tín hiệu. Thủ tục này thường được gọi là lấy mẫu băng thông hoặc lấy mẫu.

Bây giờ, sau tất cả các giải trình này, để trả lời câu hỏi của bạn khi nào:
Chà, hãy xem đài phát thanh, có lẽ là thứ gì đó trong phổ vi sóng, có thể là WiFi. Một kênh WiFi kiểu cũ điển hình có thể có băng thông 20 MHz, nhưng tần số sóng mang sẽ vào khoảng 2,4 GHz. Vì vậy, nếu chúng ta thực hiện phương pháp ngây thơ của mình để lấy mẫu tín hiệu trực tiếp, chúng ta sẽ cần một ADC 5 GHz để xem tín hiệu của mình, mặc dù chúng ta chỉ quan tâm đến phổ tần 20 MHz cụ thể. Bộ chuyển đổi tương tự sang kỹ thuật số 5 GHz là một thứ rất phức tạp và đắt tiền và nó cũng đòi hỏi thiết kế rất phức tạp và đắt tiền. Mặt khác, ADC 40 MHz là thứ không "huyền diệu" như ADC 5 GHz.
Một điều cần lưu ý là, mặc dù về lý thuyết chúng ta có thể thu được tín hiệu với ADC 40 MHz, chúng ta cần các bộ lọc khử răng cưa rất sắc nét, vì vậy trong thực tế, chúng ta không thực sự muốn chạy lấy mẫu tần số quá gần với băng thông. Một điều khác cũng bị bỏ qua là mạch của ADC ngoài đời thực tự hoạt động như một bộ lọc. Các hiệu ứng lọc của ADC cần được tính đến khi thực hiện lấy mẫu băng thông. Thông thường, có các ADC đặc biệt có băng thông rộng hơn nhiều so với tốc độ lấy mẫu được thiết kế đặc biệt với ý định lấy mẫu băng thông.

Cuối cùng, có một khía cạnh khác của câu chuyện cũng được gọi là cảm biến nén. Tôi không phải là một chuyên gia về điều đó, và đó là một điều vẫn còn hơi mới, nhưng ý tưởng cơ bản là nếu các giả định nhất định được đáp ứng (chẳng hạn như phổ tần), chúng ta có thể lấy mẫu ở tần số thấp hơn hai lần băng thông của tín hiệu.

Vì vậy, nhiều người, bao gồm cả các giáo sư, bối rối về tỷ lệ Nyquist là gì:

Tốc độ Nyquist là tốc độ mẫu mà bạn cần phải lấy mẫu tín hiệu để tránh làm hỏng tín hiệu bằng cách khử răng cưa

Điều đó có nghĩa là đối với các tín hiệu có giá trị thực và lấy mẫu có giá trị thực, tốc độ lấy mẫu phải lớn hơn hai lần băng thông của tín hiệu tương tự.

Điều đó có nghĩa là với tốc độ lấy mẫu 6 kHz, bạn có thể nhận được đại diện 100% cho bất kỳ băng tần rộng 3 kHz nào.

Điều đó không có nghĩa là tốc độ lấy mẫu cần phải cao gấp đôi tần số cao nhất trong tín hiệu. Ví dụ, nếu 3 kHz của bạn là dải giữa 9 kHz và 12 kHz, bạn không phải lấy mẫu ở 2 · 12 kHz = 24 kHz; 6 kHz là hoàn toàn đủ để thể hiện rõ ràng tín hiệu kỹ thuật số. Bạn vẫn cần phải biết rằng 3 kHz của bạn tập trung vào khoảng 10,5 kHz, nếu sau đó bạn muốn liên hệ nó với các tín hiệu khác, nhưng thông thường, điều đó không thành vấn đề.

Chúng tôi gọi kỹ thuật này là gạch dưới , và nó hoạt động rất đẹp, và là một kỹ thuật tiêu chuẩn 100% với nhiều ứng dụng kỹ thuật. Tất cả những gì bạn cần chắc chắn là mọi thứ mà ADC (bộ chuyển đổi tương tự sang số) của bạn nhìn thấy được giới hạn ở một nửa tốc độ lấy mẫu của nó - điều đó có nghĩa là, trong ví dụ đã nói ở trên, bạn phải chắc chắn rằng không có tín hiệu nào dưới 9 kHz và không tín hiệu trên 12 kHz.

dải cơ sở phức tạp

Lưu ý rằng điều này chỉ đúng với lấy mẫu có giá trị thực. Nếu bạn đã sử dụng những thứ như bộ giải mã IQ (còn được gọi là bộ trộn chuyển đổi trực tiếp , bộ giải điều chế bậc hai ) để cung cấp cho bạn dải cơ sở tương đương, phức tạp , bạn sẽ nhận được hai luồng mẫu đồng bộ. Trong trường hợp đó, yếu tố 2 giảm đi. Đây là một khía cạnh rất quan trọng đối với đài phát thanh được xác định bằng phần mềm .

cấu trúc polyphase

Nếu bạn đang ở các phần sau của khóa học DSP, giáo sư của bạn có thể đã gợi ý về thực tế rằng bạn có thể thực hiện những thứ như bộ chỉnh sửa hợp lý, trong đó bạn thường phải thay đổi theo hệ số M, sau đó lọc để xóa tất cả hình ảnh (bộ lọc chạy ở tốc độ đầu vào · M), sau đó lọc để tránh tất cả các bí danh (bộ lọc chạy ở tốc độ đầu vào · M) trước khi lấy mẫu xuống bởi N, với một bộ lọc duy nhất chạy hiệu quả ở mức 1 / N của tốc độ đầu vào - thực sự là phụ Lấy mẫu -Nyquist. Nhưng về cơ bản đó sẽ là một trong những điểm nổi bật của bài giảng về hệ thống đa pha / đa hệ thống, và tôi nghi ngờ rằng ông sẽ đưa nó ra ngoài đó trong khóa học của người mới bắt đầu - nó quá khó hiểu.

Không bao giờ. Nhưng bạn cần chắc chắn rằng bạn hiểu chính xác "tỷ lệ Nyquist" thực sự là gì.

Nyquist tuyên bố rằng bạn có thể tái tạo tín hiệu miễn là nó được lấy mẫu với tốc độ lớn hơn hai lần băng thông của tín hiệu. Băng thông đó có thể bắt đầu hoặc không ở DC, nhưng nhiều nguồn về chủ đề này cho rằng nó luôn luôn như vậy và thành phần tần số cao nhất của tín hiệu xác định tốc độ Nyquist.

Ví dụ: nếu bạn có tín hiệu phát sóng AM ở 1 MHz được giới hạn băng tần đến ± 10 kHz, tốc độ Nyquist cho nó là 2 × 20 kHz = 40 kHz, không phải 2 × 1.01 MHz = 2.02 MHz.

Một giáo sư cho biết có thể lấy mẫu dưới tỷ lệ Nyquist trong một số điều kiện nhất định.

Nếu tất cả những gì bạn quan tâm là tính toán giá trị RMS của dạng sóng thì bạn có thể lấy mẫu bên dưới nyquist: -

Dạng sóng màu xanh cũng là một hình sin có cùng giá trị RMS như bản gốc. Điều bạn nên tránh là đây: -

Chính xác là hai samp được thực hiện trong mỗi chu kỳ và không thể biết được tín hiệu bí danh trên thực tế là dạng sóng màu đỏ hay dạng sóng màu xanh lá cây.

Tiêu chí nyquist cho bạn biết tần suất bạn cần lấy mẫu để tái tạo tín hiệu bị giới hạn băng tần. Tuy nhiên, không có tín hiệu vật lý nào bị giới hạn băng tần, đây chỉ là một sự lý tưởng hóa. Các sơ đồ khác sẽ làm việc để lấy mẫu các tín hiệu lý tưởng hóa khác. Bằng cách cung cấp cho bạn thông tin tiên nghiệm về tín hiệu, (đó là giới hạn băng tần), Nyquist cho bạn biết cách tái tạo lại toàn bộ tín hiệu từ một vài mẫu. Nếu tôi cung cấp cho bạn thông tin a-prori khác nhau, bạn có thể làm tốt hơn nyquist. Đây là một ví dụ: tín hiệu lý tưởng hóa của tôi là mảnh tuyến tính khôn ngoan. Người ta chỉ cần lấy mẫu các tín hiệu này tại các điểm uốn của chúng: nhiều mẫu ít hơn một tín hiệu cho các tín hiệu giới hạn băng tần. Để tái tạo lại toàn bộ tín hiệu, vẽ các đường thẳng giữa các điểm mẫu. Bạn có thể gọi đây là tiêu chí "Linequist". :)

Một tín hiệu định kỳ có thể được lấy mẫu bằng cách sử dụng tốc độ lấy mẫu phụ Nyquist. Điều này được khai thác tốt trong máy hiện sóng. Có một mẫu được lưu cho mỗi lần lặp tín hiệu, nhưng tại một vị trí khác nhau trong khoảng thời gian. Cần 512 mẫu? sau đó cần 512 tín hiệu đầy đủ.

Sự chính xác:

Thật dễ dàng để thấy rằng một hình sin đứng yên có thể được chụp theo cách này. Nhưng 512 mẫu đó phải bao gồm tín hiệu. Điều đó đúng nếu sóng hài thứ 256 và trên có thể được coi là số không.

Điều này đôi khi được thực hiện một cách có chủ ý, ví dụ như trong máy hiện sóng lấy mẫu (không giống như DSO, mặc dù một số DSO cũng đang lấy mẫu - nhưng máy hiện sóng lấy mẫu có thể là một thiết bị hoàn toàn tương tự và chúng đã được chế tạo từ những năm 1950), để đối phó với định kỳ các tín hiệu có tần số quá cao không thể kinh tế để khuếch đại hoặc xử lý bằng mạch tuyến tính - không tồn tại nhiều CRT dao động (ed) có thể xử lý tín hiệu thô 1GHz (một số tồn tại!), tuy nhiên 1GHz rất dễ xử lý nhấn mạnh ngay cả với công nghệ những năm 1960. Cuối cùng, toàn bộ hệ thống hoạt động tương tự (không giống hệt) với một máy thu dị. Mặc dù không có LO tần số cao sóng liên tục, vẫn có một thành phần tần số rất cao được ẩn (và được sử dụng) trong đồng hồ lấy mẫu được sử dụng:

Rõ ràng, tín hiệu không định kỳ có thể được kiểm tra theo cách đó và tín hiệu có thêm các thành phần tần số thấp hơn nhiều có thể được trình bày sai và / hoặc giải thích sai.

Tôi nghĩ rằng những gì [rackandboneman] nói là phù hợp với ý định của giáo sư. "Điều kiện nhất định" sẽ là tín hiệu gốc phải định kỳ.

Dưới đây là một mã để hiển thị cách tái tạo tín hiệu gốc từ tín hiệu được lấy mẫu. Tín hiệu ban đầu cần thời gian lấy mẫu 1/100 để xây dựng lại mẫu duy nhất của nó (mặc dù tần số cơ bản của nó là 8/100). Bằng cách lấy mẫu với thời gian lấy mẫu 1,5 / 100 giây, mẫu tín hiệu ban đầu được tái tạo gần như hoàn hảo với thời gian lấy mẫu tái tạo là 0,5 / 100. (Trong thời gian ngắn, thời gian lấy mẫu 0,5 / 100 được thực hiện từ thời gian lấy mẫu 1,5 / 100.)

dt = 1/1000;
t = 0:1/1000:1.28-1/1000;
x1 = 10000*t(1:20).^2;
x2 = -10000*(t(21:40)-0.04).^2+8;
x3 = 8*ones(1,20);
x4 = -800*t(61:70)+56;
x5 = zeros(1,10);

x = [x1 x2 x3 x4 x5] ; 
x = [x x x x];
x = [x x x x];  % make x to be periodic

dtz = 1.5/100;
tz = 0:dtz:1.28-1/1000;
z = x(1: round(dtz/dt) : end);
figure('Name', 'undersampled signal');
plot(tz,z,'o',t,x,'-')
legend('Under sampled signal', 'The original signal')

figure('Name', 'Reconstructed signal');
plot(t(1:5:160),z(mod((0:31)*11,16)+1), 'o-',t(1:160),x(1:160), '-');
legend('Reconstructed signal', 'The original signal')

Nếu tín hiệu được lấy mẫu ở tốc độ S, mọi nội dung có tần số f sẽ không thể phân biệt được với bất kỳ nội dung nào khác có tần số NS + f hoặc NS-f cho một số nguyên N.

Việc một tỷ lệ mẫu nhất định có đủ hay không sẽ tùy thuộc vào việc có tồn tại hai tần số mà nội dung của chúng cần được phân biệt hay không, nhưng không thể.

Nếu một người chỉ quan tâm đến các tín hiệu trong phạm vi 700-800Hz, đầu vào sẽ không có nội dung dưới 300Hz hoặc trên 1200 và sự hiện diện của các tín hiệu khác sẽ không gây ra sự cắt, tốc độ mẫu 1000Hz sẽ phù hợp mà không có bất kỳ trước nào lọc, mặc dù có sự hiện diện của nội dung có tổng băng thông là 900Hz. Nội dung trong phạm vi 300Hz-700Hz sẽ không thể phân biệt được với nội dung trong phạm vi 800Hz-1200Hz, nhưng nếu người ta không quan tâm đến bất kỳ nội dung nào như vậy sẽ không quan trọng.