S = VI * / 2 đạo hàm

Tôi đã tự hỏi nơi tôi có thể tìm thấy đạo hàm cho công thức năng lượng phức tạp, S = VI * / 2, trong đó S, V và tôi là các pha phức tạp.

Tôi đã thấy một loạt các xác minh trong đó mọi người đăng công cụ vào phương trình để cho thấy rằng nó xảy ra để làm việc.

Đây là những gì tôi biết cho đến nay, Nếu và và , thì và và S = Vm∠ø_v * Im∠ø_i / 2 $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$
$V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$ $I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$ $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

power

— người dùng968243
nguồn

Bạn sẽ phải định nghĩa S, V, I và bất cứ điều gì "* /" có nghĩa là gì.

— Olin Lathrop

@OlinLathrop, đó là I * cho liên hợp phức của I (hiện tại) và chia cho hai, vì cả hai đều là sóng sin (V và I *) nên cả hai đều có chuyển đổi RMS.

— Kortuk

Đặt V và I là điện áp tức thời và dòng điện trên một tải. Từ định nghĩa về công suất, điện áp và dòng điện, chúng ta có mối quan hệ với công suất tức thời:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

Điều đó có nghĩa là công suất trên một tức thời đã cho bằng với tích của điện áp và dòng điện chính xác trên tức thời đó. $t$

Tôi sẽ cho rằng bạn quen thuộc với ý nghĩa của đại diện phasor. Chỉ cần nói rõ rằng: một phasor là một tốc ký toán học để biểu diễn một hình sin ở một tần số chưa biết.

Vì vậy, là viết tắt của . Tương tự như vậy: có nghĩa là . $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Nhân cho tất cả các , cho chúng ta dạng sóng của điện tức thời cho mọi . Làm việc trên phép nhân đó: $v(t) \cdot i(t)$ $t$ $t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Như , vớivà, chúng ta có thể đơn giản hóa phương trình trên để: $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ $u = \omega t+ \phi _{V}$ $v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Dạng sóng này khá thú vị đối với chính nó: nó là một giá trị không đổi tóm tắt bằng một hình sin $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ . $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Điều này rõ ràng cho thấy rằng sức mạnh tức thời không phải là hằng số theo thời gian.

Dựa trên kết quả đó, chúng ta có thể thấy rằng công suất trung bình bằng với thành phần không thay đổi của (khá đơn giản để chứng minh rằng về mặt toán học, người ta chỉ cần giải tích phân $s(t)$ ) $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

Thúc đẩy bởi kết quả này, và bởi việc giải thích hình học khá ngọt ngào của , giá trị đã được định nghĩa là quyền lực thực sự , có nghĩa là, sức mạnh đó là thực sự cung cấp cho tải. Bây giờ bạn biết rằng cái gọi là sức mạnh thực sự này không có gì khác hơn sức mạnh trung bình ở tải. $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

Đi sâu vào khái niệm này một chút (thật đáng tiếc tôi không thể vẽ ở đây, nhưng tôi sẽ thử):

Đặt v là vectơ có độ lớn | | v | | và pha , và tôi là một vectơ có độ lớn | | i | | và pha Nếu bạn nhân | | i | | bởi bạn có chiếu của tôi hơn v . Mặt khác, được cho là thành phần của i trong phương trình bậc hai với v $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ .

Bây giờ bạn có thể hiểu tại sao công suất trung bình có một giải thích hình học thú vị: công suất trung bình là điện áp nhân với phép chiếu của dòng điện qua điện áp, trên không gian pha.

Điều này thúc đẩy việc tạo ra sức mạnh phức tạp S như:

S = P + jQ

Với định nghĩa này, phần thực của vectơ chính xác là công suất trung bình được cung cấp cho tải và phần phức là công suất được gọi là bậc hai , được gọi là công suất phản kháng (google cho Power Triangle để xem giải thích hình học của kết quả này) .

Ok, bây giờ trở lại định nghĩa , chúng ta thấy rằng $s(t)$ và, theo định nghĩa, và để phù hợp với định nghĩa của S, tương đương với $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

Vì vậy, như chúng tôi muốn chứng minh lúc đầu:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

Vì vậy, có bạn đi, những gì bạn muốn thấy;)

chỉnh sửa : diễn giải vật lý của Q là gì?

Tôi đã trình bày ở trên những gì diễn giải vật lý của phần thực của sức mạnh phức tạp, P, nghĩa là công suất trung bình được cung cấp cho tải. Nhưng chính xác thì Q, làm sao người ta có thể hình dung ra nó? Nó dựa trên thực tế rằng cos và sin là trực giao và nguyên tắc chồng chất có thể được áp dụng cho quyền lực nếu hai dạng sóng liên quan đến tính toán là trực giao. Chúng ta hãy đi vào toán học, bởi vì đó thực sự là những gì quan trọng.

Sử dụng kết quả thu được ở trên: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Trường hợp đầu tiên: tải hoàn toàn điện trở, do đó

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Đó là một hình sin tập trung vào với cùng biên độ (giá trị tối thiểu của nó là 0 và giá trị tối đa của nó là). Hãy gọi nó làP $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ $V_{M}I_{M}$

Trường hợp thứ hai: tải thuần túy quy nạp, do đó

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Đó là một dạng sóng thuần túy dao động với giá trị trung bình bằng 0. Hãy gọi kết quả này Q .

Trường hợp thứ ba: các chung trường hợp

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

Trong trường hợp này, s (t) chính xác là phương trình tổng quát mà chúng ta đã tìm thấy trong cuộc thảo luận ở trên. Nhưng chúng ta có thể viết lại để sử dụng kết quả của hai trường hợp trước, như thế này:

Đầu tiên, chúng ta viết lại phương trình về (lưu ý rằng ): $\theta$ $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ Biết rằng: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ , Cho phép và $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Sắp xếp lại các điều khoản:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Sử dụng kết quả của hai trường hợp đầu tiên ở trên:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

Một kết quả tuyệt vời, phải không? Điều đó nghĩa là gì?

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

$i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$

Hãy thử:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$

$\omega t + \phi_V = u$ $\theta = v$

Với mối quan hệ:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

Chúng ta có:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

Chỉ là những gì chúng ta muốn, để viết lại i (t) dưới dạng tổng của hai thành phần: một trong pha với v (t) và một trong hình cầu với v (t)!

Bây giờ là kết quả của vụ án 3 có thể được giải thích: i (t) có thể được chia thành hai thành phần, như trình bày ở trên, và sức mạnh được tạo ra bởi i (t) là tương đương với sức mạnh được tạo ra bởi mỗi một trong những thành phần riêng rẽ . Whoa, giống như chồng chất nhưng vì quyền lực! ( Hãy nhớ rằng điều này chỉ đúng và nó đã được chứng minh ở trên, vì cos và sin là trực giao )

Vậy Q là lượng năng lượng được tạo ra bởi thành phần của i (t) có dạng cầu phương với v (t). Nó hoàn toàn dao động và không có giá trị trung bình.

P là lượng năng lượng được tạo ra bởi thành phần của i (t) cùng pha với v (t). Nó là dao động nhưng có giá trị trung bình bằng công suất trung bình được cung cấp cho tải.

Và công suất phức S , tổng công suất, chính xác là tổng của hai thành phần này

— Castilho
nguồn

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$

Vâng. bạn nói đúng, đó không phải là Q. Công suất phản kháng chỉ được xác định theo độ lệch pha giữa điện áp và lực căng, và đó là một giá trị liên quan trực tiếp đến định nghĩa của S là một pha. Đó là năng lượng sẽ được cung cấp bởi dòng điện trong hình cầu với điện áp. Thành phần thay đổi thời gian không được tính đến, bởi vì theo nghĩa này, điều thực sự quan trọng là công suất trung bình tại tải. Phần EXISTS khác nhau, thực sự ở đó (ví dụ, xem một bóng đèn sợi đốt), nhưng, theo thời gian, năng lượng chỉ liên quan đến phần tĩnh của s (t). ;)

— Castilho

Được rồi, vì vậy phần khác nhau này có một tên đặc biệt? Dù sao đi nữa, vì vậy nếu tôi hiểu chính xác, lượng I theo hướng của V là sức mạnh thực sự và lượng I, vuông góc với V là sức mạnh phức tạp.

— user968243

gần như vậy, lượng I theo hướng V nhân với V là công suất thực P, lượng I vuông góc với V nhân với V là công suất REACTIVE Q, P + jQ là công suất phức, hoặc công suất biểu kiến;)

— Castilho

Được rồi, điều đó có ý nghĩa! Trên thực tế trong nhận xét trước đây của tôi, tôi đã hỏi tên của nó là gì: −VMIM2cos (2ωt + V + I) Tôi thực sự nghĩ rằng đó là sức mạnh phản ứng ... Nhân tiện, tôi rất biết ơn!

— user968243