Một sóng tam giác sẽ có các thành phần hình sin hữu hạn hay vô hạn?

Sự gián đoạn làm cho tín hiệu có các thành phần hình sin vô hạn, nhưng sóng tam giác là liên tục, tôi đã tham gia một lớp trong đó một người hướng dẫn nói rằng vì sóng tam giác liên tục nên nó có thể được biểu thị bằng một số hữu hạn các thành phần sin và cũng cho thấy sự bổ sung hữu hạn của nhiều tần số hình sin đã tạo ra hình dạng của sóng tam giác thuần.

Vấn đề duy nhất tôi có trong đầu là đạo hàm của sóng tam giác không liên tục vì nó là sóng vuông và do đó sẽ cần tổng số sin vô hạn vì vậy nếu một dẫn xuất cả hai mặt của công thức của chuỗi Fourier của sóng tam giác , chúng ta sẽ có được một sóng vuông được hiển thị dưới dạng tổng của số sin hữu hạn. Điều đó sẽ không chính xác?

một sóng tam giác là liên tục

Trích dẫn từ đây : -

Sóng tam giác không có các bước nhảy không liên tục, nhưng độ dốc thay đổi liên tục hai lần mỗi chu kỳ

Có sự thay đổi độ dốc không liên tục cũng có nghĩa là một phạm vi vô hạn của các thành phần hình sin.

Chẳng hạn, nếu bạn tích hợp thời gian một sóng vuông, bạn tạo ra sóng tam giác, nhưng tất cả các hamon của sóng vuông ban đầu vẫn hiện diện sau thời gian tích hợp: -

người hướng dẫn nói rằng vì sóng tam giác liên tục nên nó có thể được biểu diễn bằng một số hữu hạn của sin

Bạn không có quyền này hoặc người hướng dẫn sai chính tả. Nó không đủ để bản thân tín hiệu liên tục, nhưng tất cả các dẫn xuất cũng phải liên tục. Nếu có bất kỳ sự gián đoạn trong bất kỳ đạo hàm nào, thì tín hiệu lặp lại sẽ có một chuỗi sóng hài vô hạn.

Một tam giác là liên tục, nhưng đạo hàm đầu tiên của nó là một sóng vuông, không liên tục. Do đó, một sóng tam giác có một chuỗi sóng hài vô hạn.

Bằng chứng toán học:

Lấy một hàm tạo thành tổng trọng số của một chuỗi hữu hạn các thành phần sin / cos.

Đạo hàm của nó cũng là tổng của một loạt các thành phần sin / cos hữu hạn. Tương tự nếu bạn dẫn xuất bất kỳ số lần.

Vì sin và cos là liên tục, nên hàm và tất cả các dẫn xuất của nó là liên tục.

Do đó, một hàm có sự gián đoạn trong bất kỳ dẫn xuất nào của nó không thể được xây dựng với một loạt các thành phần sin / cosin hữu hạn.

Câu trả lời tốt có rất nhiều ở đây, nhưng nó thực sự phụ thuộc vào cách giải thích của bạn về "có thể được đại diện bởi" .

Người ta phải hiểu rằng sóng tam giác là một cấu trúc toán học lý thuyết không thể thực sự tồn tại trong thực tế.

Về mặt toán học, để có được sóng tam giác thuần túy, bạn sẽ cần vô số sóng hình sin hài, nhưng để có được một đại diện của sóng tam giác, hầu hết các thành phần đó đều quá nhỏ, bị lạc trong nhiễu nền của hệ thống, hoặc có tần số cao như vậy để không còn có thể truyền được.

Như vậy, trong thực tế, bạn chỉ cần một số hữu hạn để có được một đại diện có thể sử dụng được. Làm thế nào tốt bạn muốn đại diện đó chỉ ra bao nhiêu hài hòa bạn cần sử dụng.

Cách tiếp cận khác.

Hãy gọi x (t) sóng tam giác và y (t) nó là đạo hàm, là sóng vuông, do đó không liên tục.

Nếu x (t) là một tổng hữu hạn của tín hiệu hình sin, thì đạo hàm của nó, theo tính tuyến tính của phép toán đó, sẽ là tổng các hữu hạn của các tín hiệu hình sin, tức là lại là một tổng hữu hạn của tín hiệu hình sin.

Nhưng tín hiệu sau này không thể là sóng vuông y (t), bởi vì tổng các tín hiệu hình sin hữu hạn là liên tục. Do đó chúng ta có một mâu thuẫn.

Do đó x (t) phải có các thành phần Fourier vô hạn.

Tôi đề xuất một bài kiểm tra đơn giản hơn nhiều sẽ được sử dụng trong thực tế. Nếu sóng có bất kỳ góc nhọn nào, nó đòi hỏi các thành phần hình sin vô hạn để xây dựng.

Tại sao? Bởi vì một loạt các sinus hữu hạn không thể tạo ra một góc nhọn. Điều này được chứng minh từ quy nạp trên quy tắc phân rã của tổng (nghĩa là (a + b) = a + b cho tất cả các phép tính tổng hữu hạn và tất cả các phép tính vô hạn hội tụ vô điều kiện).

Tập hợp các hàm có thể biểu thị bằng một chuỗi Fourier hữu hạn là:

Đối với tất cả các bộ hữu hạn của chỉ số N . Hạn bởi hạn sự khác biệt cho thấy rằng đạo hàm là (1) liên tục và (2) còn ở F . Kể từ khi đạo hàm của sóng tam giác là không liên tục, chức năng của sóng tam giác không có trong F .

Bằng chứng này được dựa tắt của gián đoạn, nhưng hầu hết các chức năng liên tục cũng không thuộc về F . Vì không có hàm đa thức hoặc hàm mũ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn của sin và cosin, nên các thành viên duy nhất của F là những hàm được viết rõ ràng theo mẫu ở trên.