Tại sao, trong một mạch thụ động với đầu vào hình sin, tất cả các điện áp và dòng điện có hành vi hình sin giống như đầu vào?

Tôi quen thuộc rằng trong bất kỳ mạch nào gồm các phần tử thụ động tuyến tính và đầu vào hình sin, tất cả các điện áp và dòng điện qua và trên bất kỳ phần tử nào sẽ thể hiện hành vi và tần số hình sin giống như đầu vào; đó là cách các bộ lọc thụ động hoạt động trong thực tế. Nhưng tôi không thể tìm ra hoặc tìm một bằng chứng cụ thể / đơn giản cho lý do tại sao điều này xảy ra, nếu không quan sát rõ ràng.

Tôi đã trút bỏ bộ não của mình và cuối cùng tôi đã tìm thấy một phương pháp toán học hay để chứng minh điều này và quyết định trả lời câu hỏi của riêng tôi. Trong một mạch như vậy, việc giải bất kỳ điện áp / dòng điện qua / qua bất kỳ thành phần nào (tôi sẽ gọi ) sẽ luôn dẫn bạn xây dựng một phương trình vi phân luôn luôn tuyến tính, với các hệ số không đổi (do tính chất tuyến tính của các thành phần thụ động) và không đồng nhất (do đầu vào hình sin). Phương trình vi phân như vậy sẽ luôn có dạng này: a d n$f$trong đóa. . . klà hằng số (kết hợp của điện cảm, điện trở, vv),nlà thứ tự của các phương trình vi phân (phản ánh số phần tử lưu trữ năng lượng trong mạch), vàCsin(ωt+θ)là một hàm sin tổng quát mô tả đầu vào. Một giải pháp chung cho phương trình vi phân này sẽ luôn có dạng này:f=

$$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$$ $a...k$$n$$C\sin{(\omega t+\theta)}$ mà giải pháp cụ thể = Một sin ( ω t + θ ) + B cos ( ω t + θ ) là một hàm sin của tần số tương tự! Bây giờ, trong phân tích mạch điện xoay chiều, chúng ta luôn nhìn vào mạch ở trạng thái ổn định, khi dung dịch đồng nhất tiến đến 0 (điều này chắc chắn xảy ra do điện trở trong mạch). $$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$$ $=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$

Điều này chỉ đúng với các mạch LTI (Thời gian bất biến tuyến tính). Nếu bạn có một thành phần không lý tưởng (và tất cả chúng đều ở mức độ này hay mức độ khác), bạn sẽ thấy các sóng hài của tần số đầu vào trong đầu ra. Cuộn cảm có xu hướng tồi tệ nhất trong số rất nhiều, nhưng tất cả các bộ phận thụ động đều có hành vi như vậy. Ví dụ, các tụ điện có thể biểu hiện hệ số điện áp mạnh và không phải là bất biến thời gian vì sự hấp thụ điện môi.

Để có một bằng chứng toán học đơn giản (giả sử đại học năm thứ 2), bạn có thể đọc các ghi chú về khóa học Berkeley này (EECS20N: Tín hiệu và Hệ thống). Bạn có thể tải xuống toàn bộ văn bản ở đây .

Nó xảy ra bởi vì một hình sin chỉ là một dòng trong phổ tần số và bất kể bạn làm gì với nó bằng bộ lọc tuyến tính hoặc bộ khuếch đại, tất cả những gì xảy ra là sự thay đổi pha hoặc biên độ.

Nếu đó là sóng vuông (sóng hài vô hạn) thì việc áp dụng bộ lọc sẽ làm giảm hoặc tăng một số tần số nhiều hơn các tần số khác và sóng vuông sẽ mất hình dạng vuông có thể nhận ra.

Sóng hài vuông: -

Nguồn Gif

Lý do cơ bản là các phương trình cấu thành của các thành phần R, L và C lý tưởng là tuyến tính, phương trình bất biến thời gian chỉ liên quan đến các đạo hàm và tích phân (cả hai phép toán tuyến tính) và sin và cosin thay đổi thành các sin và cosin khác khi tác động lên các toán tử tuyến tính đó.

Đạo hàm và tích phân của hàm hình sin là một hàm hình sin khác có cùng tần số (nó chỉ có thể thay đổi về biên độ và pha). KCL và KVL chỉ có thể dẫn đến tổng đại số của các hàm hình sin như vậy, và hoạt động đó chỉ có thể tạo ra một chức năng hình sin khác. Vì vậy, cuối cùng, khi bạn kết nối R, L và C trong một mạng, đầu vào hình sin sẽ luôn dẫn đến đầu ra hình sin.

Xem câu trả lời khác của tôi ở đây .

Tất cả điều này là hệ quả trực tiếp của sự tự tương tự của hàm số mũ (liên quan đến sin và cosin theo phương trình Euler). Bạn có thể muốn đọc chương đầu tiên trong Giorgi, The Chemistry of Waves để có được lời giải thích hoàn chỉnh cho điều đó.

$t=-\infty$$t=+\infty$$A \ x = \lambda \ x$$\lambda$là một vô hướng phức tạp mang thông tin về suy giảm và dịch pha) được gọi là các giải pháp đặc trưng hoặc phù hợp hoặc riêng của các hệ thống. Chúng có thể được sử dụng để xây dựng một cơ sở trực giao với đặc tính là bất kỳ chức năng (hoạt động tốt) nào khác có thể được phân tách thành tổng của các viên gạch cơ bản như vậy - và điều này sẽ đưa bạn thẳng vào lãnh thổ của chuỗi Fourier, nhưng đó là một câu chuyện khác).

Một lời giải thích ngắn gọn được đưa ra trong câu trả lời đầu tiên cho câu hỏi này trên Math SE: Tại sao chúng ta sử dụng các hàm lượng giác trong các phép biến đổi Fourier chứ không phải các hàm tuần hoàn khác?

$e^{iωx}$$S_h$$f(x)$$f(x−h)$$e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$$x∈R$

Điều này chỉ đúng khi hạn chế các yếu tố thụ động ở R, L, C và có thể các tinh thể được điều khiển đúng cách - và thậm chí sau đó, có hai trường hợp ngoại lệ, xem bên dưới. Điốt có chủ ý và không chủ ý, varistors, thermistors có khối lượng nhiệt và các yếu tố phi tuyến tính khác có thể nhanh chóng đưa ra các biến dạng cho đầu vào hình sin thuần túy. Các tinh thể quá mức hoặc bộ lọc gốm cũng có thể hoạt động khá phi tuyến. Nếu bao gồm các phần tử hai cực có điện trở âm (ống xả khí, điốt đường hầm) trong danh mục thụ động, thậm chí còn có nhiều khả năng tồn tại.

Các ngoại lệ:

Các bộ phận trong thế giới thực có xu hướng không hoàn hảo khiến chúng hoạt động hơi giống một số yếu tố phi tuyến. Các điện trở có thể có "nhiệt điện trở với một khối nhiệt" và thậm chí cả hành vi "varistor". Các tụ điện có thể có sự phụ thuộc điện áp vào giá trị của chúng do hiệu ứng áp điện, điện trường mang lại lực cơ học, hiệu ứng hóa học (trong điện phân). Ngoài ra, một số hiệu ứng giống như điện tử dường như được ghi nhận cho các tụ điện. Các khớp kim loại với kim loại có thể phát triển hành vi giống như diode. Cuộn cảm có thể trở thành phi tuyến thông qua độ bão hòa lõi, tương tác của từ trường với các vật kim loại gần đó, v.v ...

Tất cả các thành phần điện trở mang dòng điện thể hiện một số hành vi tạo ra tiếng ồn, giới hạn dưới được xác định bởi vật lý cứng.

Lưu ý rằng tất cả các tín hiệu lặp đi lặp lại dường như không phải hình sin, có thể được mô tả hoàn hảo như một tổng số sóng hình sin có tần số và pha khác nhau.

Tìm kiếm sự kết nối với thiên nhiên sẽ giúp bạn đi theo vòng tròn: Sóng hình sin là thành phần chính trong việc tạo ra các vòng tròn và hình bầu dục và các vật tròn, theo các chuyên gia toán học (nếu bạn muốn vẽ một vòng tròn trên máy tính, bạn thường sẽ sử dụng sin / hàm cosine hoặc sử dụng định lý pythagoras trực tiếp theo một cách nào đó ...). Thiên nhiên tạo ra rất nhiều thứ tròn trịa (tóc, thân cây, anh đào, vết anh đào, lốc xoáy, v.v.) và giữ nguồn cung cấp sóng hình sin dồi dào cho mục đích đó.

Một 'mạch' thường được coi là một mạng gồm các thành phần, với cổng 'đầu vào' và cổng 'đầu ra'. Với lý thuyết mạng, chẳng hạn như Luật Ohms, bạn có thể rút ra một phương trình, 'hàm truyền', mô tả đầu ra dưới dạng đầu vào. Với các thành phần 'tuyến tính', bạn sẽ luôn tìm thấy hàm truyền 'tuyến tính'.

Hãy mô tả một số thành phần tuyến tính với các chức năng như output = F(input), output2 = G(input2), vv Sau đó, sự kết hợp của các thành phần như vậy dẫn đến một chức năng kết hợp như output2 = G(F(input1)). Bởi vì cả hai hàm là tuyến tính, do đó có dạng y = a * x + b, nên các kết hợp đó cũng là tuyến tính.

Khi áp dụng tín hiệu đầu vào hình sin cho mạng tuyến tính, đầu ra có thể được khuếch đại bởi hệ số a và được dịch chuyển bởi điện áp b. Với toán học phức tạp, hoặc phương trình vi phân, bạn thậm chí có thể nhận được 'sự dịch pha', nhưng không phải là một tần số khác nhau, vì đạo hàm của một sin có cùng tần số.

Bạn có muốn điều này thậm chí còn trang trọng hơn?

Tiền đề của bạn là sai hoặc bạn chưa nói rõ các điều kiện biên.

Hãy xem xét một thiết bị thụ động đơn giản như một diode. Nó sẽ thể hiện một đặc tính truyền phi tuyến tính dẫn đến đầu ra không phải hình sin cho một đầu ra nhất định

Cũng xem xét một mạch cộng hưởng lý tưởng (LC) có chức năng truyền dẫn dẫn đến đầu ra bằng không - do đó không phải là hình sin.

Các hàm riêng của các hệ bất biến thời gian tuyến tính (và các mạng thụ động thường là loại đó) là các hàm mũ phức tạp và các siêu chồng thực sự của chúng là các sinoid của pha tùy ý.

Hàm riêng là một hàm sẽ chỉ thay đổi bởi một yếu tố không đổi (trong trường hợp này là phức tạp) khi được đưa qua một hệ thống. Hệ thống tuyến tính là những hệ thống có đầu ra tương ứng với tổng của một số đầu vào tương ứng với tổng đầu ra của các đầu vào riêng lẻ, vì vậy bạn luôn có thể phân tích chúng bằng cách biểu thị đầu vào của chúng dưới dạng tổng thuận tiện. Nếu tổng này có thể là một tổng được thể hiện trong một cơ sở hàm riêng trực giao, mọi thứ trở nên dễ dàng hơn nhiều.

Xin chào phân tích Fourier.