Phóng điện liên tục của một tụ điện không lý tưởng

Chủ nhân của tôi bán bộ chuyển đổi tăng cường để giữ các ổ đĩa động cơ trong thời gian mất điện. Những bộ chuyển đổi tăng được cho ăn từ các ngân hàng tụ điện. Để kích thước chính xác các ngân hàng này, chúng ta cần tính đến điện áp, điện dung và ESR của chúng, để đảm bảo rằng có đủ năng lượng có sẵn từ các tụ điện để giữ các ổ đĩa trong một thời gian cụ thể với công suất cụ thể . Ngay bây giờ chúng tôi làm điều này với một phương pháp gần đúng, nhưng thật tuyệt khi có một phương trình chính xác hơn.

Chúng tôi giả sử ESR, điện dung và công suất tải là không đổi.

I : current P : power R_{C} : ESR C : capacitance t : time V : capacitor voltage Standard capacitor equation: I (t) = C V^{'} (t) Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load: V (t) I (t) = P + R_{C} I^{2} (t) Substitute: C V (t) V^{'} (t) = P + R_{C} C^{2} (V^{'} (t))^{2}

$I \text{: current}\\ P \text{: power}\\ R_{C} \text{: ESR}\\ C \text{: capacitance}\\ t \text{: time}\\ V \text{: capacitor voltage}\\ \text{Standard capacitor equation:}\\I(t)=CV'(t)\\ \text{Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load:}\\ V(t)I(t) = P + R_{C}I^{2}(t)\\ \text{Substitute:}\\ CV(t)V'(t) = P + R_{C}C^{2}(V'(t))^{2}\\$

Nếu tôi đúng, điều này mang lại cho tôi một phương trình vi phân phi tuyến tính, giúp tôi vượt qua vùng thoải mái toán học của mình. Nếu tôi hiểu chính xác, việc giải một phương trình vi phân phi tuyến tính mới sẽ đủ điều kiện đóng góp đáng kể cho lĩnh vực kiến thức toán học. Do đó, tôi không thể tự mình giải quyết vấn đề này.

Có ai biết bất kỳ phương pháp tốt để giải quyết cho V (t)? Có ai biết nếu phương trình này đã được giải quyết? Tôi có thể hiểu sai vấn đề? Hay tôi nên chuyển cái này sang Stack Exchange toán học?

— Stephen Collings
nguồn

Làm thế nào chính xác để bạn cần phải được? Lượng điện năng bị mất đối với ESR sẽ thay đổi phi tuyến tính với điện áp cung cấp, nhưng người ta có thể dễ dàng tính các giới hạn trên và dưới cho lượng năng lượng có thể được thu hoạch từ nắp khi nó rơi từ một điện áp xuống một số điện áp thấp hơn; sự sụt giảm trong câu hỏi càng nhỏ, giới hạn sẽ càng gần. Vì vậy, nếu nắp bắt đầu ở mức 50 volt, người ta có thể tính giới hạn trên và dưới cho bao nhiêu năng lượng sẽ được phục hồi khi nó rơi từ 50 đến 40 volt. Nếu chênh lệch giữa giới hạn trên và dưới quá lớn, người ta có thể tính được năng lượng ...

— supercat

... khi nó giảm từ 50 xuống 45 và sau đó từ 45 xuống 40. Nếu khoảng cách vẫn còn lớn với các kích thước bước đó, hãy chia nhỏ hơn nữa. Nếu tất cả các tham số đã được biết chính xác, có lẽ người ta sẽ không phải chia nhỏ quá nhiều để có được giới hạn trên và dưới trong phạm vi 20% hoặc hơn nhau. Với một số sự thiếu chính xác trong các tham số, có lẽ sẽ không hữu ích khi vượt xa điều đó.

— supercat

Thực sự, tôi cho rằng chúng ta có ba câu hỏi. Đây có phải là giải pháp? Nếu vậy thì thế nào? Nếu không, cách tiếp cận tốt nhất tiếp theo là gì? Chúng tôi đang tìm kiếm một giải pháp chính xác cho phương trình, nhưng nếu không có một giải pháp nào, những gì bạn mô tả có thể là một kế hoạch dự phòng tốt.

— Stephen Collings

Bạn có thể thử mô hình hóa mạch của mình như một tụ điện lý tưởng, điện trở ESR và trở kháng tải tất cả trong chuỗi. Bằng cách giải quyết các điện áp nút và dòng điện (tất cả phải độc lập tuyến tính), bạn có thể tìm thấy tổn thất ESR so với mức tiêu thụ năng lượng tải. Stickler duy nhất sẽ được ước tính Z_L, mặc dù tôi nghĩ rằng bạn sẽ có thể tìm ra nó bằng cách tính toán lại từ đánh giá năng lượng và giảm điện áp chấp nhận được mà bạn mong đợi thiết kế của bạn có.

— hellowworld922

@Remiel: Việc mô hình hóa các tụ điện trong thế giới thực là sự kết hợp giữa các tụ điện, điện trở và cuộn cảm lý tưởng, và một mô hình như vậy sẽ gần với thực tế hơn so với mô hình đơn giản mong đợi một nắp thực sự hoạt động như một lý tưởng, nhưng " nắp không lý tưởng "vẫn chỉ là một xấp xỉ. Trong thế giới thực, ESR và điện dung đều có thể thay đổi theo điện áp theo những cách phi tuyến tính kỳ lạ. Một phương trình mô tả chính xác hành vi của một mô hình có thể không chính xác hơn mô phỏng thời gian rời rạc trong việc dự đoán hành vi thực tế của một mạch thực.

— supercat

$V_{0}$

t (V) = = \frac{C}{4 P} (V_{0}^{2} - V^{2} + V_{0} \sqrt{V_{0}^{2} - 4 P R_{C}} - V \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) + C R_{C} (\ln (V + \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) - \ln (V_{0} + \sqrt{V_{0}^{2} - 4 P R_{C}}))

$t(V) = \frac{C}{4P} (V_{0}^2-V^2 + V_{0}\sqrt{V_{0}^2-4PR_C} - V\sqrt{V^2-4PR_C}) + CR_C(\ln\big(V+\sqrt{V^2-4PR_C}\big) - \ln\big(V_{0}+\sqrt{V_{0}^2-4PR_C}\big))$

V = = V_{m Tôi n} + \frac{P R_{C}}{V_{m Tôi n}}

$V=V_{min}+\frac{PR_{C}}{V_{min}}$

V_{m i n}

$V_{min}$

Các tính toán này dường như khớp với các phương pháp ước lượng số của chúng tôi.

— Stephen Collings
nguồn