Tại sao thời gian không đổi 63,2% mà không phải 50% hay 70%?

Tôi đang nghiên cứu về các mạch RC và RL. Tại sao hằng số thời gian bằng 63,2% điện áp đầu ra? Tại sao nó được định nghĩa là 63% mà không phải bất kỳ giá trị nào khác?

Có một mạch bắt đầu làm việc ở 63% điện áp đầu ra? Tại sao không ở mức 50%?

Các câu trả lời khác chưa đánh vào điều khiến e trở nên đặc biệt: xác định hằng số thời gian là thời gian cần thiết để một thứ gì đó giảm theo hệ số của e có nghĩa là tại bất kỳ thời điểm nào, tốc độ thay đổi sẽ như vậy-- nếu điều đó tỷ lệ được tiếp tục - thời gian cần thiết để phân rã thành không có gì sẽ là một lần không đổi.

Ví dụ: nếu một cái có nắp 1uF và điện trở 1M, hằng số thời gian sẽ là một giây. Nếu tụ điện được sạc đến 10 volt, điện áp sẽ giảm với tốc độ 10 volt / giây. Nếu được sạc đến 5 volt, điện áp sẽ giảm ở tốc độ 5 volt / giây. Thực tế là tốc độ thay đổi giảm khi điện áp có nghĩa là điện áp sẽ không thực sự phân rã thành không có gì trong một giây, nhưng tốc độ giảm tại bất kỳ thời điểm nào sẽ là điện áp hiện tại chia cho hằng số thời gian.

Nếu hằng số thời gian được định nghĩa là bất kỳ đơn vị nào khác (ví dụ: chu kỳ bán rã), thì tốc độ phân rã sẽ không còn tương ứng độc đáo với hằng số thời gian.

Nó được tích hợp vào toán học của sự phân rã theo cấp số nhân liên quan đến các hệ thống bậc nhất. Nếu phản hồi bắt đầu ở mức thống nhất tại t = 0, thì sau một "đơn vị thời gian", phản hồi là $e^{-1} = 0.36788$ . Khi bạn đang nhìn vào một thời gian, bạn trừ đi sự thống nhất này, cho 0,63212 hoặc 63,2%.

"Đơn vị thời gian" được gọi là "hằng số thời gian" của hệ thống và thường được ký hiệu là τ (tau). Biểu thức đầy đủ cho phản ứng của hệ thống theo thời gian (t) là

Vì vậy, hằng số thời gian là một số lượng hữu ích để biết. Nếu muốn đo trực tiếp hằng số thời gian, bạn đo thời gian cần thiết để đạt tới 63,2% giá trị cuối cùng của nó.

Trong thiết bị điện tử, có nghĩa là hằng số thời gian (tính bằng giây) bằng R × C trong mạch RC hoặc L / R trong mạch RL, khi bạn sử dụng ohms, farads và henries làm đơn vị cho các giá trị thành phần. Điều này có nghĩa là nếu bạn biết hằng số thời gian, bạn có thể lấy được một trong các giá trị thành phần nếu bạn biết giá trị kia.

The decay of an RC parallel circuit with capacitor charged to Vo

v(t) = $Vo(1-e^{-t/\tau})$ , where $\tau$ is the time constant R$\cdot$C.

So v($\tau$)/Vo is approximately 0.63212055882855767840447622983854

In other words, the time constant is defined by the RC product (or L/R ratio), and the seemingly arbitrary voltage is a result of that definition and the way exponential decay or charging occurs.

Exponential decay is common to various physical processes such as radioactive decay, some kinds of cooling etc. and can be described by a first-order Ordinary Differential Equation (ODE).

Suppose you want to know the time when the voltage is 0.5 of the initial voltage (or final voltage if charging from 0). It is (from the above)

t = -$\ln(0.5)\tau$ or about 0.693RC

Either way you do it, some irrational numbers pop up and dealing with RC=$\tau$ is the "natural" way.

Just as a complement to the other excellent answers by Dave Tweed, supercat and Spehro Phefany, I'll add my 2 cents.

First a bit of nitpicking, as I wrote in a comment, the time constant is not defined as 63%. Formally it is defined as the inverse of the coefficient of the exponent of an exponential function. That is, if Q is the relevant quantity (voltage, current, power, whatever), and Q decays with time as:

Then the time constant of the decaying process is defined as $\tau = 1 / k$.

As others have pointed out, this means that for $t = \tau$ the quantity has decreased by about 63% (i.e. the quantity is about 37% of the starting value):

What other answers have only marginally touched is why that choice has been made. The answer is simplicity: the time constant gives an easy way to compare the speed of evolution of similar processes. In electronics often the time constant can be interpreted as "reaction speed" of a circuit. If you know the time constants of two circuits it's easy to compare their "relative speed" by comparing those constants.

Moreover, the time constant is a quantity easily understandable in an intuitive way. For example, if I say that a circuit settles with a time constant $\tau = 1 \mu s$, then I can easily understand that after a time $3\tau=3\mu s$ (or maybe $5\tau=5\mu s$, depending on the accuracy of what you are doing) I can consider the transient ended ($3\tau$ and $5\tau$ are the most common choices as rules of thumb for the conventional transient duration).

In other words the time constant is an easy and understandable way to convey the time scale on which a phenomenon occurs.

This comes from the $e$ constant value $1-e^{-1} \approx 0.63$.