Là cuốn sách sai về Tiêu chí Lấy mẫu Nyquist?

Là tuyên bố sau đây từ một cuốn sách sai?

Tôi nghĩ rằng việc lấy mẫu với thành phần tần số cao nhất của tín hiệu gấp đôi sẽ đủ để phục hồi hoàn toàn tín hiệu. Nhưng ở trên nó nói rằng lấy mẫu hai lần tạo ra một răng cưa như sóng. Là cuốn sách sai?

Tôi nghĩ rằng việc lấy mẫu với thành phần tần số cao nhất của tín hiệu gấp đôi sẽ đủ để phục hồi hoàn toàn tín hiệu. Nhưng ở trên nó nói rằng lấy mẫu hai lần tạo ra một răng cưa như sóng. Là cuốn sách sai?

Cuốn sách sai, nhưng không phải vì lý do bạn nghĩ. Nếu bạn nheo mắt tại các điểm chỉ ra các mẫu, thì đó là lấy mẫu với tần suất gấp đôi tần số mà nó nói.

Vì vậy, trước tiên, bạn nên vẽ một số tín hiệu và tự lấy mẫu chúng (hoặc sử dụng gói toán học, nếu bạn không dùng bút chì và giấy).

Thứ hai, định lý Nyquist nói rằng về mặt lý thuyết có thể tái tạo tín hiệu nếu bạn đã biết rằng phổ của nội dung tín hiệu thấp hơn 1/2 tốc độ lấy mẫu.

Bạn xây dựng lại tín hiệu bằng cách lọc thông thấp. Trước khi lọc, tín hiệu có thể bị biến dạng, vì vậy bạn phải biết những gì bạn đang xem để thấy rằng kết quả có thể trông ổn. Hơn nữa, phổ của nội dung tín hiệu của bạn càng gần với giới hạn Nyquist, thì phần cắt càng cần phải nằm trong các bộ lọc chống bí danh và tái cấu trúc của bạn. Về mặt lý thuyết thì điều này tốt, nhưng trong thực tế, phản ứng của bộ lọc trong miền thời gian trở nên dài hơn tương ứng với mức độ chuyển đổi mạnh mẽ từ băng thông của nó sang băng tần dừng. Vì vậy, nói chung, nếu bạn có thể, bạn lấy mẫu tốt hơn Nyquist.

Đây là một bức tranh phù hợp với những gì cuốn sách của bạn nên nói.

Trường hợp A: một mẫu trên mỗi chu kỳ (mẫu rõ ràng)

Trường hợp B: hai mẫu trên mỗi chu kỳ, hạ cánh trên các giao lộ - lưu ý rằng đây là cùng một đầu ra với một mẫu cho mỗi trường hợp chu kỳ, nhưng chỉ vì tôi đã lấy mẫu đầu tiên tại các giao lộ.

Trường hợp C: Một lần nữa, hai mẫu trên mỗi chu kỳ, nhưng lần này là ở thái cực. Nếu bạn lấy mẫu chính xác gấp đôi tần số thành phần tín hiệu, thì bạn không thể tái tạo lại. Về lý thuyết, bạn có thể lấy mẫu thấp hơn một chút, nhưng bạn cần một bộ lọc với đáp ứng xung kéo dài đủ kết quả để bạn có thể xây dựng lại.

Trường hợp D: Lấy mẫu ở tần số tín hiệu gấp 4 lần. Nếu bạn kết nối các chấm bạn nhận được một sóng tam giác, nhưng điều đó không đúng - trong thời gian lấy mẫu, các mẫu chỉ tồn tại "tại các chấm". Lưu ý rằng nếu bạn đặt bộ lọc này qua bộ lọc tái cấu trúc hợp lý, bạn sẽ lấy lại được sóng hình sin và nếu bạn thay đổi pha lấy mẫu thì đầu ra sẽ được thay đổi theo pha, nhưng biên độ của nó sẽ không thay đổi.

Hình B cực kỳ sai. Nó chứa các góc rất sắc nét trong tín hiệu đầu ra. Các góc rất sắc bằng tần số rất cao, cao hơn rất nhiều so với tần số mẫu.

Để hoàn thành các định lý mẫu Nyquist, bạn cần lọc thấp bộ lọc tín hiệu được xây dựng lại. Sau khi lọc thông thấp, tín hiệu B sẽ trông giống như tín hiệu đầu vào, không giống như hình tam giác (vì tất cả các góc nhọn không thể vượt qua bộ lọc thông thấp).

Để chính xác, bạn cần phải vượt qua cả tín hiệu đầu vào và tín hiệu đầu ra. Tín hiệu đầu vào cần phải được lọc thấp để lọc tối đa một nửa tần số mẫu để không "gấp" tần số cao hơn.

Đáng buồn thay, đó là một sự hiểu sai phổ biến về cách lấy mẫu hoạt động. Một mô tả chính xác hơn sẽ sử dụng chức năng chân để tái thiết (tôi khuyên bạn nên tìm kiếm chức năng chân).

Trong các ứng dụng trong thế giới thực, không thể có bộ lọc thông thấp "hoàn hảo" (vượt qua tất cả các tần số bên dưới và chặn tất cả các bên trên). Điều này có nghĩa là bạn thường lấy mẫu với tần số ít nhất gấp 2,2 lần tần số tối đa bạn muốn tái tạo (ví dụ: chất lượng CD được lấy mẫu ở mức 44,1 kHz để cho phép tần số tối đa 20kHz). Thậm chí sự khác biệt này sẽ khiến việc tạo các bộ lọc tương tự trở nên khó khăn - hầu hết các ứng dụng trong thế giới thực "quá khổ" cũng như bộ lọc thông thấp một phần trong khu vực kỹ thuật số.

Định lý lấy mẫu nói rằng tín hiệu có thể được tái tạo hoàn hảo nếu tần số lấy mẫu lớn hơn nhiều so với nội dung tần số cao nhất trong tín hiệu. Nhưng sự tái cấu trúc đó dựa trên việc chèn các xung chân (vô hạn) vào mỗi mẫu. Từ quan điểm lý thuyết, đây là một kết quả rất quan trọng, nhưng trong thực tế không thể đạt được chính xác. Những gì được mô tả trong trang sách là một phương pháp xây dựng lại dựa trên việc vẽ các đường thẳng giữa các mẫu, một cái gì đó hoàn toàn khác nhau. Vì vậy, tôi sẽ nói cuốn sách này là chính xác, nhưng nó không liên quan gì đến định lý lấy mẫu.

Một bài viết tổng quan rất hay là Unser: Sampling - 50 năm sau Shannon . Vấn đề của bạn xuất phát từ thực tế là các tín hiệu sin vô hạn, thuần túy không được bao phủ bởi định lý lấy mẫu Shannon. Định lý áp dụng cho các tín hiệu định kỳ là định lý lấy mẫu Nyquist trước đó.

Các định lý lấy mẫu Shannon áp dụng cho các chức năng có thể được biểu diễn dưới dạng

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

Trong đó X là hàm tích phân vuông. Sau đó, tín hiệu này có thể được biểu diễn chính xác từ các mẫu rời rạc như

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

$T=\frac1{W}$$\frac1t$

Hàm sin thuần túy không có trong lớp đó, vì biến đổi Fourier của nó bao gồm các phân phối Dirac-delta.

Định lý lấy mẫu Nyquist trước đó tuyên bố (hoặc diễn giải lại một cái nhìn sâu sắc trước đó) rằng nếu tín hiệu là định kỳ với chu kỳ T và tần số cao nhất W = N / T , thì đó là một đa thức lượng giác

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

với các hệ số 2N + 1 (không tầm thường) và các hệ số này có thể được xây dựng lại (bằng đại số tuyến tính) từ các mẫu 2N + 1 trong giai đoạn.

Trường hợp của một hàm sin thuần túy thuộc lớp này. Nó hứa hẹn tái cấu trúc hoàn hảo nếu lấy mẫu 2N + 1 trong một thời gian NT .

Những gì đã được chia sẻ từ cuốn sách không nói lên điều gì về "Tiêu chí lấy mẫu Nyquist" - nó chỉ nói về việc lấy mẫu điểm một sóng hình sin với một ADC giả định, và sau đó (ngầm) xây dựng tín hiệu đầu ra bằng cách sử dụng (không được đề cập) DAC đơn giản thực hiện phép nội suy tuyến tính giữa các giá trị mẫu.

Với bối cảnh đó, tuyên bố luận án của 'HÌNH 6.10' nói chung là chính xác và được thể hiện tốt.

Khi tần số lấy mẫu của ADC được tăng lên, độ trung thực của tín hiệu số hóa được cải thiện.

Nếu bạn muốn nói về sự trung thực của một tái thiết lý tưởng hóa , đó hoàn toàn là một vấn đề khác. Bất kỳ cuộc thảo luận nào về tỷ lệ Nyquist , ngụ ý việc sử dụng phép nội suy chân thành, một lần nữa, không được đề cập trong hình minh họa.

Lỗ hổng thực sự trong hình này là ý tưởng rằng mẫu điểm là một khái niệm có ý nghĩa trong kỹ thuật. Thực tế mà nói, một ADC sẽ được kết nối với một thành phần cảm biến hoạt động bằng cách tích lũy tín hiệu đầu vào trong thế giới thực trong một khoảng thời gian.

Tuy nhiên, thật buồn cười, con số đó rõ ràng là sai (tắt bởi hệ số hai) về tần số lấy mẫu cụ thể được hiển thị trong sơ đồ - mặc dù "Đầu ra" hiển thị chỉ bị ảnh hưởng bởi điều này trong trường hợp 'C'.

Sử dụng tuyên bố được trích dẫn ở trên, tôi đã tìm thấy một sơ đồ tương tự kỳ lạ trong "Phương pháp tiếp cận thực tế đối với theo dõi phẫu thuật thần kinh sinh lý học" trong một cuộc thảo luận về xử lý dạng sóng EEG. Đối với những gì nó có giá trị, cuộc thảo luận đó bao gồm:

Định lý mô tả tần số lấy mẫu tối thiểu cần thiết để ADC thể hiện trung thực tín hiệu tương tự được gọi là định lý Nyquist. Nó nói rằng tần số lấy mẫu của ADC phải lớn hơn hai lần thành phần tần số nhanh nhất của dạng sóng.