Tại sao việc tăng tỷ lệ lấy mẫu làm cho việc thực hiện bộ lọc khử răng cưa dễ dàng hơn?

Từ một câu trả lời cho một câu hỏi liên quan đến tốc độ lấy mẫu và bộ lọc khử răng cưa, tôi đọc phần sau:

Bạn càng tiến gần đến tốc độ mẫu tối thiểu theo lý thuyết, bộ lọc tương tự càng khó nhận ra thực tế.

Nếu tôi không nhầm thì nó nói nếu tốc độ lấy mẫu của chúng tôi gần với tốc độ mẫu tối thiểu theo lý thuyết yêu cầu của chúng tôi, thì việc thiết kế bộ lọc khử răng cưa tương tự sẽ khó khăn hơn.

Tôi chắc chắn rằng nó có ý nghĩa với nhiều người nhưng tôi không thể hiểu ý nghĩa của nó ở đây là gì và tại sao lại như vậy. Điều này có thể được giải thích với một ví dụ theo cách đơn giản hơn?

Khi bạn giảm tần số lấy mẫu, sẽ có ít sự tách biệt hơn giữa các hình ảnh trong miền tần số.

nguồn

Hãy nhớ rằng sự lặp lại của phổ xảy ra ở tần số lấy mẫu. Khi các hình ảnh gần nhau hơn, bạn cần đạt được mức suy giảm nhiều hơn trong bộ lọc khử răng cưa. Bộ lọc phải chuyển từ băng thông sang dải dừng trước khi hình ảnh tiếp theo xảy ra.

nguồn từ bài thuyết trình này

Để tái tạo tín hiệu trong lĩnh vực kỹ thuật số từ lĩnh vực tương tự, bạn cần ít nhất hai mẫu trong mỗi chu kỳ có tần số cao nhất có trong tín hiệu tương tự. Chẳng hạn, trên các đĩa CD, họ sử dụng 44,1 kHz để lấy mẫu tần số tối đa trong dải âm thanh là 20 kHz. Họ có thể đã sử dụng 40 kHz nhưng điều đó là đúng giới hạn và bộ lọc chống bí danh là không thể.

Với tốc độ mẫu là 44,1 kHz, tín hiệu âm thanh tần số cao nhất về mặt lý thuyết có thể được ghi lại bằng kỹ thuật số mà không có hiện tượng răng cưa sẽ là 22 kHz. Vì vậy, điều gì sẽ xảy ra nếu 24 kHz sẽ cung cấp cho hệ thống lấy mẫu kỹ thuật số 44,1 kHz mà bạn có thể yêu cầu.

Điều này sẽ bí danh thành tín hiệu 20 kHz trong lĩnh vực kỹ thuật số và nó có thể trở nên tồi tệ hơn. Nếu tín hiệu là 30 kHz thì sao? Điều này sẽ trở thành 16 kHz trong lĩnh vực kỹ thuật số.

Điều này là do việc lấy mẫu thấp tạo ra một đầu ra bí danh: -

Hình ảnh từ đây .

Để ngăn chặn điều này, bạn sử dụng bộ lọc cung cấp mức suy giảm đầy đủ giữa 20 kHz và 24 kHz. Tôi nói 24 kHz vì tín hiệu 24 kHz nằm đúng giới hạn trở thành tín hiệu âm thanh 20 kHz thực sự bí danh. Vì vậy, đối với những người có khả năng nghe tuyệt vời lên đến 20 kHz (không phải tôi nữa), bộ lọc chống bí danh phải cung cấp độ suy giảm gần như bằng 0 ở 20 kHz và có thể suy giảm tới 80 dB (hoặc hơn) ở 24 kHz.

Đó là một bộ lọc thứ tự khá cao và hầu hết các kỹ sư xử lý các hệ thống như thế này sẽ thích tỷ lệ giống như 3: 1 hơn cho tỷ lệ lấy mẫu với tần số tương tự cao nhất.

Bộ lọc antialias của bạn có ba dải

1) Băng thông, từ DC đến Fwocate
2) Băng chặn, từ Fsample-Fwocate lên đến vô cùng
3) Dải chuyển tiếp, từ Fwocate sang Fsample-Fwocate

Chi phí của bộ lọc (số lượng giai đoạn, thành phần Q, số bội số) tỷ lệ thuận với tỷ lệ nghịch của dải chuyển tiếp và tăng theo độ sâu tính theo dB của dải dừng.

Fsample càng cao, dải chuyển tiếp càng rộng và bộ lọc càng rẻ

$f_s$

$f_s/2$

$f_s/2$$f_s/2$

$f_s/2$

$f_s/2$

Vì vậy, bộ lọc lý tưởng cần phải:

$f < f_s/2$

nhưng

$f > f_s/2$

Điều đó là không thể! Vì vậy cần phải có một sự thỏa hiệp.

$f_s/2$$f_s/2$

Mọi thứ trở nên dễ dàng hơn nhiều nếu chúng ta:

$f_s/2$

hoặc là

$f_s/2$

$f_s/2$

$f_s/2$

Giả sử dải tần quan tâm của bạn là từ DC đến 100Hz và tín hiệu của bạn có nhiễu trắng giới hạn băng tần đến 10kHz. Bây giờ, giả sử bạn quyết định lấy mẫu ở tần số 2kHz. Bạn có thể xây dựng bộ lọc đếm cực thấp đẹp mắt với mức suy giảm 20dB / thập kỷ và giảm nhiễu để giảm thiểu răng cưa

Bây giờ, giả sử bạn muốn lấy mẫu ở tần số 210Hz. Bạn cần xây dựng bộ lọc thứ tự cao để có được độ suy giảm đủ. Bộ lọc như vậy là khó khăn hơn và tốn kém hơn để thiết kế và xây dựng. Nếu bạn quản lý để làm điều đó đúng, bạn sẽ nhận được tín hiệu với độ méo pha đáng kể trong dải thông.

Đối với bộ lọc tương tự, bạn phải xem xét hiệu suất của bộ lọc trong phạm vi tần suất quan tâm cao nhất. Thông thường, điều này có nghĩa là bạn cần đặt "fc" cho bộ lọc tương tự cao hơn một chút so với tần suất quan tâm cao nhất (và / hoặc sử dụng bộ lọc sắc nét hơn).

Để tránh răng cưa, bạn phải lấy mẫu ở tần số ít nhất gấp đôi so với thành phần cao nhất sẽ đi qua bộ lọc của bạn ở mức tối đa mà bạn có thể chịu được ô nhiễm bằng tín hiệu bí danh. Điều đó có nghĩa là tốc độ lấy mẫu ít nhất gấp đôi fc và thường thì nó cần phải cao hơn một chút.

Vì vậy, bây giờ, làm việc ngược, tỷ lệ lấy mẫu cao hơn, có nghĩa là bạn có thể có fc cao hơn và điều đó có nghĩa là bạn có thể dễ dàng có phản hồi phẳng lên đến một số tần suất quan tâm ít hơn fc.

Nhưng . như bạn có thể biết, tiếng ồn tăng theo băng thông. Vì vậy, đối với một ứng dụng có độ ồn thấp, bạn có thể cần phải thiết lập băng thông của bộ lọc một cách bảo thủ.