Mô hình toán học mạch RC với đầu vào tuyến tính

Tôi đã tìm thấy rất nhiều tài liệu và sách mô hình cách điện áp trên tụ hoạt động trong mạch RC thoáng qua, sử dụng phương trình sau:

$$V_C=V_{MAX}(1-e^{-t/RC})$$

Thật không may, tôi đã không tìm thấy tài nguyên nào thảo luận về cách mô hình hóa một mạch RC, là một nguồn để cung cấp nguồn điện áp tăng tuyến tính như một đầu vào.

Cố gắng thay thế VMAX trong phương trình trên, đối với phương trình tuyến tính, dẫn đến một phương trình hội tụ theo phương trình tuyến tính, nghĩa là dòng điện sẽ ngừng sau một thời gian (I = (VS-VC) / R). Điều này rõ ràng là không đúng sự thật, vì chúng ta sẽ thấy cách tiếp cận hiện tại là một giá trị không đổi theo thời gian, như được đưa ra bởi:

$$I_C=C\frac{dV}{dt}$$

Tôi hoàn toàn nhận thức được điện áp trên một tụ điện sẽ hoạt động như thế nào với nguồn điện áp tăng tuyến tính, có rất nhiều mô phỏng hiển thị điều đó, và tôi thậm chí có thể nghĩ ra một lời giải thích vật lý cho kết quả. Những gì tôi muốn biết là làm thế nào người ta có thể mô hình hóa điện áp trên một tụ điện với nguồn điện áp tăng tuyến tính, theo cách tương tự như phương trình mô hình điện áp trên một tụ điện trong quá độ.

Thật không may, tôi đã không tìm thấy tài nguyên nào thảo luận về cách mô hình hóa một mạch RC, là một nguồn để cung cấp nguồn điện áp tăng tuyến tính như một đầu vào.

Câu trả lời này là tất cả về việc chuyển đổi mạch thành hàm truyền trong miền tần số, sau đó nhân TF đó với biến đổi Laplace của đầu vào để có được miền tần số tương đương với đầu ra. Cuối cùng, một thao tác Laplace ngược được thực hiện để có được công thức miền thời gian cho đầu ra.

Biến đổi Laplace của bộ lọc RC thông thấp là: -

$$\dfrac{1}{1+sRC}$$

Đây là chức năng truyền miền tần số, vì vậy, nếu bạn nhân số này với miền tần số tương đương với một đoạn đường nối ( $\dfrac{1}{s^2}$ ) bạn nhận được đầu ra miền tần số: -

$$\dfrac{1}{s^2(1+sRC)}$$

Sử dụng bảng chuyển đổi laplace ngược, điều này có đầu ra miền thời gian là: -

$$t + RC\cdot e^{(\frac{-t}{RC})}-RC$$

Xem mục 32 trên bảng hoặc, nếu công thức không có mục nhập bảng rõ ràng, bạn có thể sử dụng máy tính laplace nghịch đảo để giải quyết số lượng như thế này .

Máy tính cho phép bạn xây dựng công thức và nhập giá trị số cho RC. Tôi đã sử dụng giá trị RC 7 trong ví dụ trên để tôi có thể thấy con số đó lan truyền đến câu trả lời cuối cùng như thế nào. Rào cản cuối cùng là thay thế giá trị lan truyền của 7 bằng RC. Nói cách khác, nó là một công cụ giải số nhưng vẫn là một công cụ rất hữu ích:

Đối với tín hiệu đầu vào chung và hệ thống bậc nhất, bạn có thể giải phương trình vi phân thông qua hệ số tích hợp, $\small (IF)$ , phương thức * hoặc biến đổi Laplace, trong số các phương pháp khác. Phân tích dưới đây sử dụng phương pháp $\small IF$

$^*$ Xem chỉnh sửa, dưới đây, để giải thích về phương pháp tích hợp yếu tố.

Cho mạch bạn mô tả, phương trình vòng là:

$v_i=v_R+v_C$

$v_i=iR+\frac{1}{C}\int i\:dt$

Phân biệt:

$\large \frac{dv_i}{dt}\small = R\large \frac{di}{dt}+\frac{i}{C}$

Sắp xếp lại:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{RC}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

Ghi chú điều đó $\small \tau=RC$ :

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

Trong trường hợp cụ thể của bạn, $v_i$ là đoạn đường nối, do đó: $v_i= \small Kt$ , trong đó $\small K$ là độ dốc của đường dốc.

Vì thế $\large \frac{dv_i}{dt} = \small K$và phương trình được giải bởi$\small IF$phương pháp I F là:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{K}{R}$

các $\small IF$ là:

$\small IF=\large e^{\int \frac{1}{\tau}dt}=e^{\frac{t}{\tau}}$

Vì thế:

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\int \frac{K}{R}e^{\frac{t}{\tau}}dt +A$

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\small KC\: \large e^{\frac{t}{\tau}} +\small A$

$i =\small KC\: +\small A \large \large e^{-\frac{t}{\tau}}$

$\small A=-KC$

$i =\small KC\:(1-\large e^{-\frac{t}{\tau}})$

và

$v_c =\small K\:(t-\tau + \tau e^{-\frac{t}{\tau}})$

.................................................. .................................................. ..................................................

$\small IF$

Đối với ODE:

$\frac{dy}{dt}\small +Py=Q$$\small P$$\small Q$$\small t$

1. $\small IF= \large e\small ^ {\int P\:dt}$

2. $\small y. IF=\large \int \small Q.IF\: dt + A$$\small A$

3. $\small A$

$\frac{dy}{dt}+2y=3$$\small y(0)=5$

$\small P=2,\:Q=3$

vì thế

$\small IF= e^ {\int 2\:dt} = e^{2t}$

Vì thế

$\small y\: e^{2t}=\large \int \small 3\:e^{2t}\: dt + A$

$\small y\: e^{2t}= \frac{3}{2}\:e^{2t}\: + A$

$\small e^{2t}$

$\small y= 1.5 + Ae^{-2t}$

Áp dụng điều kiện ban đầu:

$\small y(0)=5= 1.5 + A$$\small A=3.5$

$y= 1.5 + 3.5e^{-2t}$

Cũng có thể thêm một cách tiếp cận khác dựa trên khuyến nghị của Chu:

Dạng chuẩn cho phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất là:

$$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t} + P_x\cdot y = Q_x$$

Nếu bạn có thể thiết lập mọi thứ như vậy, thì yếu tố tích hợp của bạn (đó là một cách tiện lợi để giải quyết những vấn đề này) là:

$$\mu=e^{\int P_x\; \textrm{d}x}$$

Sau đó, giải pháp là:

$$y=\frac{1}{\mu}\int \mu\cdot Q_x\;\; \textrm{d}x$$

Giả sử mạch sau:

^{mô phỏng mạch này - Sơ đồ được tạo bằng CircuitLab}

Sau đó, từ nút, bạn nhận được:

$$\begin{align*}\frac{V\left(t\right)}{R}+\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}C&=\frac{V_s\left(t\right)}{R}\\\\\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{1}{R\,C}V\left(t\right)&=\frac{V_s\left(t\right)}{R\,C}\end{align*}$$

Đó là ở dạng tiêu chuẩn, bây giờ.

$P_t=\frac{1}{R\,C}$$Q_t=\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)$. Thus, the integrating factor is: $\mu=e^{^\frac{t}{R\,C}}$ and:

$$\begin{align*}V\left(t\right)&=e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int e^{^\frac{t}{R\,C}}\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)\:\text{d} t\\\\&=\frac{1}{R\,C}\cdot e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int V_s\left(t\right)\,e^{^\frac{t}{R\,C}}\:\text{d} t\end{align*}$$

You should be able to readily perform the above given a sufficiently simple $V_s\left(t\right)$. (Don't forget your constant of integration.)

what you wrote as Vmax can be changed for your voltage that changes over time as long as it is not too much faster than the time constant of the capacitor it should give you a decent model.

If you want a more precise answer, you can Fourier/Laplace transform your input voltage and calculate the reactance for the capacitor at every frequency that you get, solve each and add them together which will give you the final voltage.

The second option that gives a much more accurate solution is quite more complex that the simple first thing I suggested, which can only give an accurate solution if the voltage rises much more slowly than the charging of the capacitor.

edit: as some of the comments mentioned it is also possible to solve the differential equation for a ramp instead of a step.