Tính toán điện áp và dòng điện, điện trở và cuộn cảm song song

Tôi đang cố gắng giải quyết vấn đề trong một cuốn sách như sau:

Một cuộn cảm 100mH được nối song song với điện trở 2k ohm . Dòng điện qua cuộn cảm được cho bởi:

Tính toán:

a) Điện áp trên cuộn cảm Vl (t) là bao nhiêu?

b) Điện áp trên điện trở Vr (t) là bao nhiêu?

c) Là Vl + Vr = 0?

Đó là tất cả các dữ liệu được cung cấp, nó không đề cập đến nguồn điện áp hoặc dòng điện, vì vậy tôi đoán rằng một cuộn cảm song song với một điện trở trong cấu hình như vậy sẽ là:

^{mô phỏng mạch này - Sơ đồ được tạo bằng CircuitLab}

Trong trường hợp chúng thực sự nối tiếp với nhau, do đó dòng điện của cuộn cảm phải cùng dòng qua điện trở.

Do đó: il (t) = ir (t)

Bây giờ, tôi tính điện áp trên cuộn cảm:

Và điện áp trên điện trở sử dụng định luật ohms:

Vấn đề là theo luật của Kirchhoff, Vl + Vr nên bằng không, và rõ ràng là không. Tuy nhiên, khi thời gian trôi qua, sự thật là Vl + Vr sẽ có xu hướng về 0 do hàm số mũ (thời gian (t) tiếp cận vô hạn).

Điều gây phiền toái cho tôi là luật Kirchhoffs không có giá trị trong các giá trị thời gian ngắn, như t = 1 hoặc t = 2, v.v ...

Tôi đang làm gì sai? chuyện gì đang xảy ra ở đây?

Nó chỉ đơn giản nói với bạn rằng mạch như được vẽ sẽ không bao giờ có dòng điện chạy qua nó.

Xem xét tình huống sau: Thay thế cuộn cảm bằng tụ điện (việc xả tụ có thể quen thuộc hơn với bạn) và chức năng hiện tại bằng

$$I(t) = t$$

Bây giờ hãy tính điện áp - chúng sẽ không cộng lại. Tại sao? Bởi vì chức năng hiện tại không có ý nghĩa. Quá trình phóng điện hoàn toàn của tụ điện qua điện trở được xác định hoàn toàn bởi công suất, điện trở và điện áp trên nó tại thời điểm đó$t = 0$.

Tương tự, 'phóng điện' của một cuộn cảm qua điện trở được xác định hoàn toàn bởi độ tự cảm, điện trở và dòng điện qua nó tại thời điểm $t = 0$.

Nếu bây giờ bạn được cung cấp một chức năng hiện tại phụ thuộc vào thời gian, bạn đang quá mức cho hệ thống. Hàm đó có thể đúng, nhưng (như trong câu hỏi của bạn) nó có thể sai đối với mạch đã cho, vì vậy bạn đi đến các giải pháp mâu thuẫn.

Lưu ý rằng có một cách để giữ câu hỏi / hàm / giá trị như hiện tại và làm cho nó nhất quán trở lại, bằng cách thêm một nguồn dòng lý tưởng vào mạch thỏa mãn chức năng hiện tại. Điện áp lạ mà bạn không thể giải thích được tìm thấy đơn giản trên nguồn hiện tại này:

^{mô phỏng mạch này - Sơ đồ được tạo bằng CircuitLab}

Ngoài ra, chỉ cần giả định rằng chức năng hiện tại thực sự là đúng $t=0$, đó là, $I_0 = 50$. Dòng phóng điện của một cuộn cảm qua một điện trở là

$$I(t) = I_0e^{-\frac{R}{L}t}$$ , do đó, chức năng hiện tại chính xác cho mạch như trong câu hỏi của bạn là $$I(t) = 50e^{-20000t}$$ . Làm tính toán điện áp của bạn một lần nữa - bây giờ họ sẽ làm việc.

Hãy tiếp cận điều này từ những nguyên tắc đầu tiên.

Điện áp trên cuộn cảm và điện trở giống hệt nhau và chỉ có một dòng điện i :

$v_L = v_R \rightarrow L \dfrac{di(t)}{dt} = R i(t)$

$\rightarrow \dfrac{di(t)}{dt} + \dfrac{R}{L}i(t) = 0$

Giải pháp cho phương trình vi phân này là:

$i(t) = i_0 e^{-t/\tau}$, $\tau = L/R$

Nhưng, theo sơ đồ của bạn (các giá trị có đúng không?)

$L/R = 50 \mu s$

vì thế

$i(t) = i_0 e^{-20,000 t}$

Như vậy, đã cho $i(t)$ không phải là một giải pháp khả thi cho mạch với các giá trị đã cho.