Tại sao chúng ta sử dụng

Trong phân tích AC, $s=j\omega$ khi chúng ta đối phó với $sL$ hoặc $1/sC$ . Nhưng đối với một biến đổi Laplace, $s=\sigma+j\omega$ .

Xin lỗi vì mơ hồ nhưng tôi muốn kết nối các câu hỏi dưới đây:

• Tại sao sigma bằng 0?
• Là tần số neper kết nối với điều này?
• Là sigma bằng 0 vì tín hiệu đầu vào là một hình sin có hằng số $\pm V_{max}$ ?

Tất nhiên, , theo định nghĩa. Có gì xảy ra là σ đã được bỏ qua bởi vì nó được giả định là không. Lý do là vì chúng tôi đang xem xét phản ứng của hệ thống đối với các tín hiệu hình sin định kỳ (và do đó không phân rã), nhờ đó Laplace thuận tiện giảm xuống Fourier dọc theo trục tưởng tượng. Trục thực trong miền Laplace biểu thị các yếu tố phân rã / tăng trưởng theo cấp số nhân mà tín hiệu thuần túy không có, và Fourier không mô hình hóa.$s = \sigma + j\omega$$\sigma$

Đối với phân tích AC, người ta cho rằng mạch có các nguồn hình sin (có cùng tần số góc ) và tất cả các quá độ đều bị phân rã. Tình trạng này được gọi là trạng thái ổn định hình sin hoặc trạng thái ổn định AC .$\omega$

Điều này cho phép mạch được phân tích trong miền phasor .

Sử dụng công thức của Euler, chúng tôi có:

$v_A(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega t})$

Các phasor liên quan đến là sau đó → V một = Một e j φ mà chỉ là một hằng số phức tạp có chứa mức độ và giai đoạn thông tin của tín hiệu miền thời gian.$v(t)$$\vec V_a = Ae^{j\phi}$

Nó sau đó, dưới những điều kiện này, chúng ta có thể phân tích mạch bằng cách theo dõi các phasor điện áp và dòng và sử dụng các mối quan hệ sau:

$\dfrac{\vec V_l}{\vec I_l} = j\omega L$

$\dfrac{\vec V_c}{\vec I_c} = \dfrac{1}{j\omega C}$

$\dfrac{\vec V_r}{\vec I_r} = R$

Sau đó chúng tôi khôi phục giải pháp miền thời gian thông qua công thức của Euler.

Bây giờ, có một mối liên hệ sâu sắc giữa phân tích phasor và phân tích Laplace nhưng điều quan trọng là phải ghi nhớ bối cảnh đầy đủ của phân tích AC, một lần nữa:

(1) mạch có nguồn hình sin (có cùng tần số )$\omega$

(2) tất cả các quá độ đã phân rã

Lý do tại sao được chọn để đánh giá tín hiệu AC là nó cho phép chuyển đổi các biến đổi Laplace vào biến đổi Fourier.$S=j\omega$

Lý do là trong khi S là một biến phức tạp, những gì đang được sử dụng trong các đại diện Fourier chỉ là quay (tưởng tượng) thành phần, do đó $\sigma=0$ .

Bạn có thể tìm thấy một số chi tiết tại trang Stanford này .

Phân tích hàm chuyển đổi Laplace (TF) cho đáp ứng hoàn toàn với tín hiệu đầu vào hình sin từ t = 0. Giải pháp thường chứa các thuật ngữ nhất thời, phân rã về 0 theo cấp số nhân và các thuật ngữ trạng thái ổn định còn lại sau khi số mũ đã biến mất. Khi chúng ta có các cực và số không của một TF, ví dụ s = -a + jw, phần '-a' đưa ra phản ứng theo cấp số nhân (e ^ -at) và phần jw cho phản ứng trạng thái ổn định hình sin: (e ^ jwt) = cos (wt) + jsin (wt). Nếu chúng ta chỉ quan tâm đến phần trạng thái ổn định của đáp ứng (như trường hợp trong phân tích đáp ứng tần số) thì chúng ta chỉ có thể sử dụng thay thế s = jw trong TF.

Lưu ý rằng e ^ jx = cos (x) + jsin (x) là 'Bản sắc của Euler's' và là một trong những mối quan hệ hữu ích và quan trọng nhất trong khoa học và kỹ thuật.

Điều này chỉ được sử dụng cho "Tội lỗi" và "Cos" là trường hợp tín hiệu AC. Lưu ý: Hình thức laplace của sin (at) hoặc cos (at) "1 / jw + a" hoặc "jw / jw + a" mà điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định danh của sin và cos bằng cách sử dụng danh tính của Euler, về cơ bản chỉ là 2 số mũ và phần tử của số mũ chỉ có phần ảo "jw".

Tôi sẽ viết ra bằng chứng và gửi nó ở đây. :)

Nếu bạn nhìn vào công thức của biến đổi Fourier và Laplace, bạn sẽ thấy rằng 's' là biến đổi Laplace được thay thế bằng 'jw' trong biến đổi Fourier. Đó là lý do tại sao bạn có thể nhận được biến đổi Fourier từ biến đổi Laplace bằng cách thay thế 's' bằng 'jw'.