Trong những điều kiện nào là biến đổi lưới sao?

Chúng ta đều biết và yêu thích các phép biến đổi-Y (delta-wye) và Y-Δ (wye-delta) để đơn giản hóa các mạng ba điện trở:

Hình ảnh từ Creative Commons

Các phép biến đổi Δ-Y và Y-have có đặc tính tốt là luôn có thể biến thành Y và Y luôn có thể biến thành, bất kể giá trị của các điện trở có liên quan.

Có một phiên bản tổng quát của biến đổi Y-called được gọi là biến đổi lưới sao . Điều này chuyển đổi một "ngôi sao" của điện trở thành một "lưới" của điện trở .$N$$^{N}C_{2}$

Hình ảnh từ Creative Commons

Wikipedia gợi ý rằng biến đổi giữa các ngôi sao sẽ luôn tồn tại - nhưng biến đổi ngược lại, từ lưới thành sao, có thể không tồn tại. Để dí dỏm:

Biến đổi thay thế điện trở N bằng điện trở . Đối với N> 3, kết quả là sự gia tăng số lượng điện trở, do đó biến đổi không có nghịch đảo chung mà không có các ràng buộc bổ sung.$^{N}C_{2}$

Các ràng buộc phải được thỏa mãn để tồn tại nghịch đảo là gì?

Tôi đặc biệt quan tâm đến việc chuyển đổi mạng lưới 4 nút thành mạng sao 4 điện trở.

Động lực cho câu hỏi: Tôi có một mô hình hệ thống điện công nghiệp (thực sự chỉ là một mạng rất lớn các nguồn điện áp và trở kháng không đổi) chứa ~ 2.000 nút. Tôi đang cố gắng giảm nó xuống chỉ còn bốn nút quan tâm.

Biên tập:

Có một số bài báo được công bố về chủ đề này.

• Versfeld, L., "Nhận xét về chuyển đổi mạng lưới sao," Electronics Letters, vol.6, no.19, tr.597.599, 17/9/1970

  Hai khía cạnh mới của phép biến đổi lưới sao nổi tiếng được nghiên cứu: (a) các điều kiện cần và đủ để chuyển đổi mạng lưới chung cho trước thành mạng sao tương đương; (b) một phần mở rộng cho các mạng chứa các nguồn.

• Bapeswara Rao, VV; Aatre, VK, " Biến đổi ngôi sao lưới", Electronics Letters, tập 10, số 6, tr.73,74, ngày 21 tháng 3 năm 1974

  Một mạng sao tương đương tồn tại cho một mạng lưới nhất định nếu mạng sau thỏa mãn tính tương đối của Wheatstone. Sử dụng thực tế này, nó được chỉ ra rằng tất cả các đồng yếu tố ngoại tuyến của ma trận tiếp nhận nút dữ liệu của một mạng lưới như vậy là bằng nhau. Từ đặc tính này, một mối quan hệ đơn giản giữa các yếu tố của hai mạng được bắt nguồn.

Tôi không có quyền truy cập IEEE Xplore vì vậy tôi không thể đọc chúng.

$N_b$$N_b=N_e-N_v$$N_e$$N_v$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$$G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$$G_{XY}\ne0$$\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$$\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$ condition. So this is a necessary condition. But if the ratio between any two conductances of the mesh is known ,we can express the $G_{TOT}$ depending on only one of those, like $G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$, where $\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$, and so on..$\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$. With similar calculations we can find all the 4 conductances(resistances) of the star.

I suppose all of this means the condition is also a sufficient condition.

What this is saying (whether it is true or not) is that there exists more than one way of assigning values to a star network of five resistors such that all the configurations appear indistinguishable according to all external "blackbox" measurements of resistance.

The mesh transformation is a red herring here. If the star networks were uniquely determined, then of course there would always be an inverse of any mapping from that network to any other type, back to that network.