Mối quan hệ và sự khác biệt giữa các biến đổi Fourier, Laplace và Z

Tôi đã trở nên một chút bối rối về những chủ đề này. Tất cả họ đều bắt đầu giống tôi. Chúng dường như có các tính chất tương tự như tuyến tính, dịch chuyển và chia tỷ lệ liên quan đến chúng. Tôi dường như không thể đặt chúng riêng biệt và xác định mục đích của mỗi biến đổi. Ngoài ra, cái nào trong số này được sử dụng để phân tích tần số?

Tôi không thể tìm thấy (với Google) một câu trả lời hoàn chỉnh giải quyết vấn đề cụ thể này. Tôi muốn thấy chúng được so sánh trên cùng một trang để tôi có thể có một số rõ ràng.

Các biến đổi Laplace và Fourier là các biến đổi liên tục (tích phân) của các hàm liên tục.

Các biến đổi Laplace bản đồ một hàm để một hàm F ( s ) của biến phức tạp s , nơi s = σ + j ω .$f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

Vì đạo hàm ánh xạ tớisF(s), biến đổi Laplace của phương trình vi phân tuyến tính là một phương trình đại số. Do đó, phép biến đổi Laplace rất hữu ích trong việc giải quyết các phương trình vi phân tuyến tính.$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

Nếu chúng ta đặt phần thực của biến phức s thành 0, , kết quả là biến đổi Fourier F ( j ω ) về cơ bản là biểu diễn miền tần số của f ( t ) (lưu ý rằng điều này chỉ đúng nếu rằng giá trị của σ công thức để có được những biến đổi Laplace của f ( t ) tồn tại, ví dụ, nó không đi đến vô cùng).$\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

$f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

$r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

Biến đổi Laplace có thể được coi là siêu tập hợp cho CTFT. Bạn thấy, trên ROC nếu gốc của hàm truyền nằm trên trục ảo, tức là với s = σ + jω, σ = 0, như đã đề cập trong các nhận xét trước đó, vấn đề về biến đổi Laplace bị giảm xuống Biến đổi Fourier thời gian liên tục. Để tua lại một chút, sẽ tốt hơn nếu biết tại sao biến đổi Laplace phát triển ở nơi đầu tiên khi chúng ta có Biến đổi Fourier. Bạn thấy đấy, sự hội tụ của chức năng (tín hiệu) là điều kiện bắt buộc để Biến đổi Fourier tồn tại (hoàn toàn có thể so sánh được), nhưng cũng có những tín hiệu trong thế giới vật lý nơi không thể có tín hiệu hội tụ như vậy. Nhưng, vì việc phân tích chúng là cần thiết, chúng tôi làm cho chúng hội tụ, bằng cách nhân một số mũ đơn điệu giảm dần theo nó, khiến chúng hội tụ bởi chính bản chất của nó. Σ + jω mới này được đặt tên mới 's', mà chúng ta thường thay thế là 'jω' cho phản ứng tín hiệu hình sin của các hệ thống LTI nguyên nhân. Trong mặt phẳng s, nếu ROC của biến đổi Laplace bao trùm trục ảo, thì Biến đổi Fourier của nó sẽ luôn tồn tại, vì tín hiệu sẽ hội tụ. Đó là những tín hiệu trên trục tưởng tượng bao gồm các tín hiệu định kỳ e ^ jω = cos t + j sin ωt (Bởi Euler).

Cũng giống như vậy, z-Transform là một phần mở rộng của DTFT, trước tiên, làm cho chúng hội tụ, thứ hai, để làm cho cuộc sống của chúng ta dễ dàng hơn rất nhiều. Thật dễ dàng để đối phó với az hơn là với ae ^ jω (đặt r, bán kính của vòng tròn ROC là uniy).

Ngoài ra, bạn có nhiều khả năng sử dụng Biến đổi Fourier hơn Laplace cho các tín hiệu không phải là nguyên nhân, vì biến đổi Laplace giúp cuộc sống dễ dàng hơn nhiều khi được sử dụng làm biến đổi Đơn phương (Một mặt). Bạn cũng có thể sử dụng chúng ở cả hai phía, kết quả sẽ giống với một số biến thể toán học.

Các biến đổi Fourier là để chuyển đổi / biểu diễn một hàm biến đổi theo thời gian trong miền tần số.

Một biến đổi laplace là để chuyển đổi / biểu diễn một hàm thay đổi theo thời gian trong "miền tích phân"

Các biến đổi Z rất giống với laplace nhưng là các chuyển đổi khoảng thời gian riêng biệt, gần hơn cho việc triển khai kỹ thuật số.

Tất cả đều xuất hiện giống nhau vì các phương thức được sử dụng để chuyển đổi rất giống nhau.

Tôi sẽ cố gắng giải thích sự khác biệt giữa phép biến đổi Laplace và Fourier với một ví dụ dựa trên các mạch điện. Vì vậy, giả sử chúng ta có một hệ thống được mô tả với một phương trình vi phân đã biết, giả sử ví dụ rằng chúng ta có một mạch RLC chung. Cũng giả sử rằng một công tắc chung được sử dụng để BẬT hoặc TẮT mạch. Bây giờ nếu chúng ta muốn nghiên cứu mạch ở trạng thái ổn định hình sin, chúng ta phải sử dụng biến đổi Fourier. Mặt khác, nếu phân tích của chúng tôi bao gồm công tắc BẬT hoặc TẮT mạch, chúng tôi phải thực hiện phép biến đổi Laplace cho các phương trình vi phân.

Nói cách khác, phép biến đổi Laplace được sử dụng để nghiên cứu sự tiến hóa nhất thời của phản ứng của hệ thống từ trạng thái ban đầu sang trạng thái ổn định hình sin cuối cùng. Nó bao gồm không chỉ hiện tượng thoáng qua từ trạng thái ban đầu của hệ thống mà còn bao gồm trạng thái ổn định hình sin cuối cùng.

Công cụ khác nhau cho các công việc khác nhau. Trở lại vào cuối thế kỷ XVI, các nhà thiên văn học đã bắt đầu thực hiện những tính toán khó chịu. Logarit lần đầu tiên được tính toán để biến đổi phép nhân và phép chia thành phép cộng và phép trừ dễ dàng hơn. Tương tự như vậy, biến đổi Laplace và Z biến các phương trình vi phân khó chịu thành phương trình đại số mà bạn có cơ hội giải. Sê-ri Fourier ban đầu được phát minh để giải quyết dòng nhiệt trong gạch và các phương trình vi phân từng phần khác. Ứng dụng cho dây rung, ống đàn organ và phân tích chuỗi thời gian đến sau.

Trong bất kỳ hệ thống LTI nào để tính toán hàm truyền, chúng tôi chỉ sử dụng biến đổi laplace thay vì biến đổi fourier hoặc z bởi vì trong fourier chúng ta có đầu ra bị chặn, nó không đi đến vô tận. Và biến đổi z được sử dụng cho các tín hiệu rời rạc nhưng các hệ thống LTI là tín hiệu liên tục nên chúng ta không thể sử dụng biến đổi z .. Do đó, bằng cách sử dụng biến đổi laplace, chúng ta có thể tính toán hàm truyền của bất kỳ hệ thống LTI nào.