Sự khác biệt giữa phản ứng tự nhiên và phản ứng cưỡng bức?

Tài liệu tham khảo

Bài đăng thứ hai trên EdaBoard.com

Đáp ứng thời gian của một hệ thống là sự tiến hóa thời gian của các biến. Trong các mạch, đây sẽ là dạng sóng của điện áp và dòng điện theo thời gian.

Phản ứng tự nhiên là phản ứng của hệ thống với các điều kiện ban đầu với tất cả các lực bên ngoài được đặt thành không. Trong các mạch, đây sẽ là đáp ứng của mạch với các điều kiện ban đầu (ví dụ dòng điện ban đầu trên cuộn cảm và điện áp ban đầu trên tụ điện) với tất cả các điện áp độc lập được đặt thành 0 volt (ngắn mạch) và các nguồn hiện tại được đặt thành 0 ampe (mạch hở ). Đáp ứng tự nhiên của mạch sẽ được quyết định bởi các hằng số thời gian của mạch và trong các gốc chung của phương trình đặc tính (cực).

Phản ứng cưỡng bức là phản ứng của hệ thống đối với kích thích bên ngoài với điều kiện ban đầu bằng không. Trong các mạch, đây sẽ chỉ là phản ứng của mạch với điện áp ngoài và chức năng cưỡng bức nguồn hiện tại ... tiếp tục đọc

Câu hỏi

1. Làm thế nào có thể có một phản ứng tự nhiên? Một cái gì đó phải được nhập vào để tạo ra một đầu ra? Cách tôi nhìn thấy nó giống như xoay dòng nước chính và sau đó bật vòi của bạn và hy vọng nước sẽ chảy ra.

2. Làm thế nào chúng ta có thể v(t)(từ liên kết ở trên) được giải quyết nếu chúng ta không biết dv(dt)để tìm phản ứng tự nhiên?

3. Nếu bạn có thể vui lòng mở rộng trên 2 khái niệm (phản ứng tự nhiên và phản hồi bắt buộc) bằng cách giải thích sự khác biệt của chúng trong các điều khoản của Layman, điều đó thật đáng yêu.

1. Cho một phương trình 10dy/dt + 24y = 48có nghĩa rate of change of output + 24 * output = 48. Các điều kiện ban đầu là y(0)=5và dy/dt=0.
   • Điều đó có nghĩa là đầu vào là 48/(24*5)một giả định chính xác? Giải pháp cho vấn đề 0.4đó là đầu vào không đổi?

Hãy nghĩ về một hệ thống cơ học đơn giản như một thanh đàn hồi hoặc một khối gắn liền với lò xo chống lại trọng lực, trong thế giới thực. Bất cứ khi nào bạn cung cấp cho hệ thống một xung (tới khối hoặc vào thanh), chúng sẽ bắt đầu dao động và chẳng mấy chốc chúng sẽ ngừng chuyển động.

Có nhiều cách bạn có thể phân tích một hệ thống như thế này. Hai cách phổ biến nhất là:

1. Giải pháp hoàn chỉnh = giải pháp đồng nhất + giải pháp cụ thể

2. Phản hồi hoàn toàn = Resopnse tự nhiên (đầu vào bằng không) + phản hồi bắt buộc (trạng thái không)

Vì hệ thống là như nhau, cả hai sẽ dẫn đến cùng một phương trình cuối cùng đại diện cho cùng một hành vi. Nhưng bạn có thể tách chúng ra để hiểu rõ hơn về ý nghĩa của từng bộ phận (đặc biệt là phương pháp thứ hai).

Trong phương pháp đầu tiên, bạn nghĩ nhiều hơn từ quan điểm của hệ thống LTI hoặc phương trình toán học (phương trình vi phân) nơi bạn có thể tìm thấy giải pháp đồng nhất của nó và sau đó là giải pháp cụ thể của nó. Giải pháp đồng nhất có thể được xem là phản hồi nhất thời của hệ thống của bạn với đầu vào đó (cộng với các điều kiện ban đầu) và giải pháp cụ thể có thể được xem là trạng thái vĩnh viễn của hệ thống của bạn sau / với đầu vào đó.

Phương pháp thứ hai trực quan hơn: phản ứng tự nhiên có nghĩa là phản ứng của hệ thống với điều kiện ban đầu là gì. Và đáp ứng bắt buộc là phản ứng của hệ thống đối với đầu vào đã cho nhưng không có điều kiện ban đầu. Suy nghĩ về thanh hoặc ví dụ khối mà tôi đã đưa ra, bạn có thể tưởng tượng rằng đến một lúc nào đó bạn đẩy thanh bằng tay và bạn đang giữ nó ở đó. Đây có thể là trạng thái ban đầu của bạn. Nếu bạn cứ để nó đi, nó sẽ dao động rồi dừng lại. Đây là phản ứng tự nhiên của hệ thống của bạn với điều kiện đó.

Ngoài ra, bạn có thể để nó đi nhưng vẫn tiếp tục cung cấp thêm năng lượng cho hệ thống bằng cách nhấn liên tục. Hệ thống sẽ có phản ứng tự nhiên như trước đây nhưng cũng sẽ hiển thị một số hành vi bổ sung do các lần truy cập thêm của bạn. Khi bạn tìm thấy phản hồi hoàn toàn hệ thống của mình bằng phương thức thứ hai, bạn có thể thấy rõ hành vi tự nhiên của hệ thống là gì do các điều kiện ban đầu đó và phản ứng của hệ thống là gì nếu chỉ có đầu vào (không có điều kiện ban đầu). Cả hai cùng nhau sẽ đại diện cho tất cả các hành vi của hệ thống.

Và lưu ý rằng phản hồi Trạng thái Không (Phản hồi cưỡng bức) cũng có thể bao gồm phần "tự nhiên" và phần "cụ thể". Đó là bởi vì ngay cả khi không có điều kiện ban đầu, nếu bạn cung cấp đầu vào cho hệ thống, nó sẽ có phản hồi nhất thời + phản hồi trạng thái vĩnh viễn.

Ví dụ trả lời: hãy tưởng tượng rằng phương trình của bạn đại diện cho mạch sau:

Mà đầu ra của bạn y (t) là dòng điện mạch. Và hãy tưởng tượng nguồn của bạn là nguồn DC + 48v. Bằng cách này, thực hiện tổng điện áp của phần tử trong đường dẫn kín này, bạn nhận được:

$\epsilon=V_L+V_R$

Chúng ta có thể viết lại điện áp cuộn cảm và điện áp điện trở theo dòng điện:

$\epsilon=L\frac{di}{dt} + Ri$

Nếu chúng ta có nguồn điện + 48VDC và L = 10H và R = 24Ohms, thì:

$48=10\frac{di}{dt}+24i$

đó là exaclty phương trình bạn đã sử dụng. Vì vậy, chắc chắn đầu vào của bạn vào hệ thống (mạch RL) chỉ là nguồn cung cấp + 48v. Vậy đầu vào của bạn = 48.

Các điều kiện ban đầu bạn có là y (0) = 5 và y '(0) = 0. Về mặt vật lý, nó thể hiện rằng tại thời điểm = 0, dòng điện của tôi là 5A nhưng nó không thay đổi. Bạn có thể nghĩ rằng một cái gì đó đã xảy ra trước đây trong mạch để lại một dòng điện trong cuộn cảm 5A. Vì vậy, trong thời điểm đã cho (thời điểm ban đầu), ngưỡng đó có 5A (y (0) = 5) nhưng nó không tăng hoặc giảm (y '(0) = 0).

Giải quyết nó:

$Ae^{st}$

$\epsilon=0$

$10sAe^{st} + 24Ae^{st} = 0$

$Ae^{st}(10s + 24)=0$

$s=-2,4$

Vì thế,

$i_{ZI}(t)=Ae^{-2,4t}$

Vì chúng ta biết rằng tôi (0) = 5:

$i(0)=5=Ae^{-2,4 . 0}$

$A=5$

$i_{ZI}(t)=5e^{-2,4t}$

$t=+\infty$

Bây giờ chúng ta có thể tìm thấy giải pháp cụ thể cho phương trình sẽ đại diện cho trạng thái vĩnh viễn do sự hiện diện của nguồn điện (đầu vào):

$i(t)=c$$c$

Vì thế,

$\frac{di}{dt}=0$

sau đó,

$48 = 0.10 + 24c$

$c=2$

$i(\infty)=2$

Điều này cũng có ý nghĩa bởi vì chúng tôi có một nguồn cung cấp điện DC. Vì vậy, sau khi đáp ứng nhất thời khi bật nguồn DC, cuộn cảm sẽ hoạt động như một dây và chúng ta sẽ có một mạch điện trở với R = 24Ohms. Sau đó, chúng ta nên có 2A dòng điện vì nguồn cung cấp có 48V đi qua nó.

Nhưng lưu ý rằng nếu tôi chỉ cần thêm cả hai kết quả để tìm phản hồi hoàn chỉnh, chúng tôi sẽ có:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t}$

Bây giờ tôi đã làm mọi thứ rối tung lên trong trạng thái thoáng qua bởi vì nếu tôi đặt t = 0, chúng ta sẽ không còn tìm thấy i = 5 như trước nữa. Và chúng ta phải tìm i = 5 khi t = 0 vì đây là điều kiện ban đầu. Điều này là do phản hồi Trạng thái Không có thuật ngữ tự nhiên không có ở đó và cũng có định dạng giống như chúng tôi tìm thấy trước đây. Thêm nó vào đó:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{st}$

Hằng số thời gian là như nhau nên nó chỉ còn lại chúng tôi B:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{-2,4t}$

Và chúng ta biết rằng:

$i(t) = 2 + 5 + B = 5$

Vì thế,

$B=-2$

Sau đó, giải pháp hoàn chỉnh của bạn là:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} - 2e^{-2,4t}$

bạn có thể nghĩ về thuật ngữ cuối cùng này, chúng tôi thấy đó là một thuật ngữ điều chỉnh của phản ứng bắt buộc để phù hợp với các điều kiện ban đầu. Một cách khác để tìm thấy nó là tưởng tượng cùng một hệ thống nhưng không có điều kiện ban đầu. Sau đó, giải quyết tất cả các cách một lần nữa, chúng ta sẽ có:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t}$

Nhưng vì hiện tại chúng tôi không xem xét các điều kiện ban đầu (i (0) = 0), sau đó:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t} = 0$

Và khi t = 0:

$A=-2$

vì vậy, phản hồi bắt buộc (Trạng thái không) của hệ thống của bạn là:

$i_{ZS}(t) = 2 - 2e^{-2,4t}$

Nó hơi khó hiểu nhưng bây giờ bạn có thể xem mọi thứ từ các quan điểm khác nhau.

-Các giải pháp đồng nhất / đặc biệt:

$i(t) = i_p(t)+i_n(t) = 2 + 3e^{-2,4t}$

Thuật ngữ đầu tiên (2) là giải pháp cụ thể và đại diện cho trạng thái vĩnh viễn. Phần còn lại của phía bên phải là phản ứng nhất thời, còn được gọi là giải pháp đồng nhất của phương trình. Một số sách gọi đây cũng là phản ứng tự nhiên và phản ứng cưỡng bức vì phần thứ nhất là phần bắt buộc (do nguồn cung cấp) và phần thứ hai là phần tạm thời hoặc phần tự nhiên (đặc tính của hệ thống). Đây là cách nhanh nhất để tìm phản hồi hoàn toàn tôi nghĩ, bởi vì bạn chỉ phải tìm trạng thái vĩnh viễn và phản hồi tự nhiên một lần. Nhưng có thể không rõ ràng những gì đại diện cho những gì.

-Zero đầu vào / trạng thái không:

$i(t) = i_{ZS}(t)+i_{ZI}(t) = 2 - 2e^{-2,4t} + 5e^{-2,4t}$

$2 - 2e^{-2,4t}$

$5e^{-2,4t}$

Một số người cũng gọi đây là định dạng phản hồi Tự nhiên / Buộc. Phần tự nhiên sẽ là Zero-Input và phần cưỡng bức sẽ là Zero-State, phần này được tạo bởi một thuật ngữ tự nhiên và thuật ngữ cụ thể.

Một lần nữa, tất cả chúng sẽ cung cấp cho bạn cùng một kết quả đại diện cho toàn bộ hành vi tình huống bao gồm nguồn điện và các điều kiện ban đầu. Chỉ cần lưu ý rằng trong một số trường hợp, có thể hữu ích khi sử dụng phương pháp thứ hai. Một ví dụ điển hình là khi bạn đang sử dụng các cấu trúc và bạn có thể tìm thấy phản hồi thúc đẩy cho hệ thống của mình bằng Zero-State. Vì vậy, việc phá vỡ các điều khoản đó có thể giúp bạn nhìn rõ mọi thứ và cũng sử dụng một thuật ngữ thích hợp để kết luận.

Làm thế nào có thể có một phản ứng tự nhiên? Một cái gì đó phải được nhập vào để tạo ra một đầu ra?

Nếu nó có ích, hãy nghĩ về phản ứng tự nhiên như phản ứng bắt buộc đối với đầu vào xung.

Cách tôi nhìn thấy nó giống như xoay dòng nước chính và sau đó bật vòi của bạn và hy vọng nước sẽ chảy ra.

Hãy tưởng tượng rằng đường ống nước chính được kết nối với một bể chứa lớn như được sử dụng trong các hệ thống nước giếng khoan và bạn đóng van với đường ống nước chính.

Bể chứa đầy nước và được điều áp đến áp lực chính của nước trước khi bạn đóng van. Đây là điều kiện ban đầu .

Nếu bạn mở vòi, nước sẽ chảy ra . Bể chứa sẽ cung cấp nước trong một khoảng thời gian, vì bể chứa trống rỗng, và áp lực tại vòi sẽ giảm. Dòng nước chảy chậm và áp suất giảm này sẽ là phản ứng tự nhiên của hệ thống.

Bây giờ, sau khi bể chứa đã hết, bạn nhanh chóng mở van chính nước trong khi vòi vẫn mở.

Hầu hết lưu lượng nước ban đầu là để "sạc" bể chứa và, khi bể đầy và áp suất tăng, nước chảy với tốc độ tăng dần từ vòi cho đến khi bể đầy và dòng chảy và áp suất ổn định.

Đây là phản ứng bắt buộc đối với một bước đầu vào .

Đây là vấn đề với sách giáo khoa không xác định rõ ràng mọi thứ để mọi người có thể hiểu các định nghĩa. Phản ứng tự nhiên thực sự đang nói về một hệ thống (tại một thời điểm nào đó) đã được 'tích điện' sao cho các phần tử lưu trữ năng lượng có chứa một lượng năng lượng ban đầu, có thể chuyển thành điện áp ban đầu trong tụ điện hoặc dòng điện ban đầu trong một cuộn cảm. Những kết quả này trong các giá trị điều kiện ban đầu cho các tụ điện hoặc cuộn cảm. Sau đó, tại thời điểm t = 0, người ta cho rằng nguồn ma thuật chịu trách nhiệm cung cấp năng lượng cho mạch điện, ngay lập tức bị loại bỏ. Vì vậy, nếu nguồn ma thuật là nguồn điện áp, thì 'loại bỏ nó' có thể có nghĩa là loại bỏ vật lý hoặc chuyển nó ra khỏi mạch. Vì vậy, tại thời điểm t = 0, phản ứng tự nhiên sẽ chỉ là hành vi của một dòng điện có thể thông qua một cuộn cảm hoặc tụ điện, hoặc điện áp trên một tụ điện hoặc cuộn cảm. Và mạch chỉ được cấp nguồn bởi các thành phần được sạc ban đầu (vì chúng tôi giả sử không có đầu vào nguồn 'bên ngoài' cho thời gian t = 0 trở đi).

Vì vậy, đối với đáp ứng tự nhiên, đây thực sự là một trường hợp trong đó "đã từng" một số đầu vào bên ngoài để tạo ra các điều kiện ban đầu trong cuộn cảm và tụ điện. Bây giờ, nếu hệ thống không được sạc điện để bắt đầu, sao cho tất cả các điện áp và dòng điện của tụ điện và cuộn cảm đều bằng 0, thì phản ứng tự nhiên của hệ thống là gì? Trả lời: không.

Bây giờ, đáp ứng cưỡng bức là đáp ứng của mạch điện (như hành vi điện áp hoặc hành vi dòng điện) trong trường hợp chúng ta giả sử rằng cuộn cảm và tụ điện không có năng lượng ban đầu để bắt đầu, có nghĩa là không có điện áp ban đầu hoặc dòng điện ban đầu trong các thành phần này . Và sau đó, đột nhiên chúng tôi áp dụng một lực bên ngoài (nguồn) vào đầu vào của mạch. Hành vi của dòng điện và / hoặc điện áp của mạch cho kịch bản này chỉ được đặt tên .... được gọi là đáp ứng cưỡng bức. Về cơ bản, đó là phản hồi cho đầu vào nguồn dựa trên giả định rằng chúng tôi đã bắt đầu với các điều kiện ban đầu của năng lượng ZERO trong cuộn cảm và tụ điện.

Khi chúng tôi đã sử dụng các phương pháp để thuận tiện có được phản hồi tự nhiên và phản hồi bắt buộc, chúng tôi chỉ cần thêm cả hai phần để có được bức tranh hoàn chỉnh. Kiểu như nguyên tắc chồng chất.

Tôi không quen thuộc với thuật ngữ 'phản ứng bắt buộc' trong bối cảnh này, nhưng ở đây đi. Nhiều hệ thống có thể được mô tả là đơn hàng đầu tiên cộng với thời gian chết (FOPDT). "Phản ứng tự nhiên" của một hệ thống như vậy đối với kích thích là một độ trễ ban đầu theo sau là một cách tiếp cận theo cấp số nhân đối với trạng thái ổn định mới.

Hãy nghĩ về một yếu tố nóng được cung cấp từ một nguồn điện áp thay đổi. Điều kiện ban đầu là tắt nguồn và sưởi ở nhiệt độ môi trường. Bật ở mức 10 volt. Trong một thời gian ngắn (thời gian chết), nhiệt độ lò sưởi không thay đổi. Nhiệt độ sau đó bắt đầu tăng lên, nhanh chóng, sau đó dần dần ổn định ở trạng thái ổn định mới. Nếu bạn quan sát kỹ thời gian liên quan, bạn sẽ có ba đặc điểm tự nhiên của hệ thống:

1. Độ lợi - được biểu thị bằng độ / volt. Nếu 10 volt gây ra mức tăng 20 độ thì tăng = 2. Vì vậy, đối với đầu vào 20 volt, bạn nên mong đợi tăng 40 độ từ môi trường xung quanh.
2. Thời gian chết - sự chậm trễ để mong đợi để đáp ứng với sự thay đổi của đầu vào. (quán tính)
3. Hằng số thời gian hoặc tần số tự nhiên - thời gian từ khi bắt đầu thay đổi sang trạng thái ổn định là 5 hằng số thời gian. (như sạc tụ điện)

Với dữ liệu này, bạn có thể dự đoán mức độ thay đổi nhiệt độ dự kiến ​​cho một sự thay đổi điện áp nhất định và mất bao lâu, tức là phản ứng tự nhiên.

Tôi cho rằng một 'phản ứng bắt buộc' sẽ đòi hỏi phải kích thích hệ thống quá mức để có được kết quả nhanh hơn. Vì vậy, để tăng 30 độ, chúng ta biết rằng chúng ta cần tăng 15 volt trong đầu vào. Bằng cách tăng nhanh điện áp thêm 25 volt và sau đó giảm 10 volt, chúng ta có thể đạt được nhiệt độ cuối mong muốn nhanh hơn, tức là 'buộc' một phản ứng nhanh hơn.