Bằng chứng toán học cho thấy điện áp RMS nhân với dòng RMS cho công suất trung bình

10

Tôi biết điều này là đúng bởi vì tôi đã đọc nó trong một nguồn có uy tín. Tôi cũng hiểu theo trực giác rằng công suất tỷ lệ với bình phương điện áp hoặc dòng điện cho tải điện trở và "S" trong RMS là dành cho "bình phương". Tôi đang tìm kiếm một bằng chứng toán học khó.

Đặt biểu thị dòng điện ngay lập tức và tương tự biểu thị điện áp tại thời điểm đó. Nếu chúng ta có thể đo điện áp và dòng điện ở tất cả các điện trở, và có , thì công suất biểu kiến là: $I_i$ $i$ $V_i$ $n$

P = \frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

Một bằng chứng toán học thanh lịch là gì

P = I_{R M S} V_{R M S}

$P = I_{RMS} V_{RMS}$

đạt được kết quả tương tự cho tải điện trở?

power math rms

— Phil Frost
nguồn

Nếu tôi nhớ chính xác, cần có một bằng chứng cho biết RMS là giá trị gần đúng nhất của giá trị thực của tín hiệu trong khoảng thời gian quan tâm. Sử dụng điều đó, có lẽ chúng ta có thể chứng minh rằng . Thật không may, có vẻ như tôi đã mất cuốn sách có bằng chứng về điều đó. :(

P = I_{r m s} V_{r m s} = \frac{1}{T 2 - T 1} \int_{T 1}^{T 2} V (t) I (t) d t

$P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

— AndrejaKo

Thời gian hiện tại RMS Điện áp RMS không bằng công suất trung bình. Nó bằng (trung bình) sức mạnh rõ ràng. Nếu bạn có tải không điện trở, điều này có thể tạo ra sự khác biệt.

— Ai đóSomewhereSupportsMonica

16

Định luật Ohm

1 : V (t) = I (t) R

$1: V(t) = I(t)R$

Tản điện tức thời là sản phẩm của điện áp và dòng điện

2 : P (t) = V (t) I (t)

$2: P(t) = V(t)I(t)\\$

Thay thế 1 thành 2 để có được năng lượng tức thời thông qua một điện trở về điện áp hoặc dòng điện:

3 : P (t) = I^{2} (t) R = \frac{V^{2} (t)}{R}

$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\$

Công suất trung bình theo định nghĩa là tích phân của công suất tức thời trong một khoảng thời gian, chia cho thời kỳ đó. Thay thế 3 vào đó để có được công suất trung bình về điện áp và dòng điện.

4 : P_{a v g} = \frac{\int_{0}^{T} P (t) d t}{T} = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T}

$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\$

Định nghĩa về RMS hiện tại cả hai mặt Nhân với R để tìm phương trình 4 cho công suất trung bình Định nghĩa điện áp RMS cả hai cạnh Chia cho R để tìm phương trình 4 cho công suất trung bình Nhân các biểu thức 7 và 10 cho công suất trung bình Căn bậc hai của cả hai bên

5 : I_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}}

$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\$

6 : I_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}

$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\$

7 : I_{R M S}^{2} R = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = P_{a v g}

$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\$

8 : V_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}}

$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\$

9 : V_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}

$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\$

10 : \frac{V_{R M S}^{2}}{R} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T} = P_{a v g}

$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\$

11 : P_{a v g}^{2} = V_{R M S}^{2} I_{R M S}^{2}

$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\$

12 : P_{a v g} = V_{R M S} I_{R M S}

$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\$ QED

— Stephen Collings
nguồn

6

Bằng chứng rất đơn giản (trong trường hợp lấy mẫu rời rạc trong câu hỏi) là bằng cách thay thế E / R cho I trong phương trình RMS

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x + \dots + x_{n}^{2})} .

$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$

và đại số rất đơn giản.

Và đúng, điều này đúng bởi vì nó được chỉ định rằng chúng ta có tải điện trở thuần nên không có vấn đề về góc pha và không có sự hiện diện hài hòa trong I mà cũng không có trong E.

BIÊN TẬP

định nghĩa RMS cho các điểm rời rạc (từ Wikipedia):

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2})}

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$

vì vậy

V_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

và

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (I_{1}^{2} + I_{2}^{2} + \dots + I_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$

và theo luật Ohm thay thế:

I_{i} = V_{i} / R

$I_i = V_i/R$

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} ((V_{1} / R)^{2} + (V_{2} / R)^{2} + \dots + (V_{n} / R)^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$

sau đó:

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R^{2} + V_{2}^{2} / R^{2} + \dots + V_{n}^{2} / R^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$

Kéo ra 1 / R ^ 2

I_{R M S} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

vì thế:

V_{R M S} * I_{R M S}

$V_{RMS} * I_{RMS}$ là:

1 / R (\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2}))

$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$

phân phối 1 / R:

(\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R + V_{2}^{2} / R + \dots + V_{n}^{2} / R))

$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$

Sử dụng thay thế Luật Ohm một lần nữa:

(\frac{1}{n} (V_{1} I_{1} + V_{2} I_{2} + \dots + V_{n} I_{n}))

$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$

đó là:

\frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

— George trắng
nguồn

Nếu đại số đơn giản, bạn có thể chỉ cho chúng tôi? Bạn có thể sử dụng đánh dấu LaTeX để sắp chữ toán học.

— Phil Frost

4

Cảm ơn sự động viên. Tôi đã không sử dụng LaTex từ năm 1983.

— George White

0

Điều quan trọng là đối với tải điện trở, điện áp và dòng điện cùng pha.

Nếu cả điện áp và dòng điện đều là , thì sản phẩm của chúng được cung cấp bởi đẳng thức . Công suất là một sóng hình sin có tần số gấp đôi, dao động khoảng . Đây là mức trung bình theo thời gian ("trung bình" của "hình vuông"). Căn bậc hai của bình phương trung bình là . Đó là nơi chúng ta có được con số kỳ diệu đó. $\sin(t)$ $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$ $1/2$ $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

Điện áp hoặc dòng điện trung bình bình phương gốc là điện áp và dòng điện tương đương DC sẽ tạo ra cùng một công suất tiêu tán theo thời gian . Nếu công suất tiêu tán trung bình là W, thì mức tiêu thụ năng lượng như vậy có thể được tạo ra đều đặn bởi VDC nhân với A DC. $1/2$ $\sqrt{2}/2$ $\sqrt{2}/2$

Nếu dòng điện và điện áp nằm ngoài pha 90 độ (tải phản ứng thuần túy), thì chúng ta có thể nghĩ một cái là và cái kia là . Bình đẳng áp dụng là . Dạng sóng công suất không còn "sai lệch" để dao động trong khoảng ; trung bình của nó bằng không: năng lượng chảy vào và ra khỏi tải trong nửa chu kỳ xen kẽ, vì dạng sóng công suất dao động dương và âm. $\cos(t)$ $\sin(t)$ $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$ $1/2$

Vì vậy, để trả lời câu hỏi, điện áp và dòng điện RMS được xác định dựa trên công suất trung bình: mỗi cái được lấy từ căn bậc hai của công suất trung bình. Nhân hai giá trị với nhau được lấy từ căn bậc hai của công suất trung bình, phục hồi công suất trung bình.

— Kaz
nguồn

Tôi nghĩ câu trả lời của Stephen Colling là tốt nhất. Nó không dựa vào các chi tiết của dạng sóng và bao gồm trường hợp continuos. Ngoài ra, "Điện áp hoặc dòng điện trung bình bình phương gốc là điện áp và dòng điện tương đương DC sẽ tạo ra cùng một công suất tiêu tán theo thời gian" dường như trả lời câu hỏi bằng cách giả sử câu trả lời và sau đó đi theo vòng tròn để có câu trả lời.

— George White

-2

Hãy đơn giản hóa nhiều hơn vấn đề này mà không cần toán học. Lấy mạch đơn giản này tạo ra dạng sóng vuông với thời gian 10 giây.

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Điện áp là như thế này

nhập mô tả hình ảnh ở đây

và hiện tại là

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Sau đó, dạng sóng công suất sẽ là

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Khi công tắc mở, không có nguồn điện nào được cung cấp cho điện trở nên tổng năng lượng là 10 watt X 5 giây = 50 Joules, và nó cũng giống như chúng ta áp dụng 5 watt trong 10 giây nhập mô tả hình ảnh ở đây

và đây là sức mạnh trung bình. Điện áp trung bình là 5 volt và dòng điện trung bình là 0,5 ampe. Thực hiện phép tính đơn giản, kết quả công suất trung bình 2,5Watt hoặc 25 Joules là không đúng.

Vì vậy, hãy thực hiện thủ thuật này với thứ tự này:

Đầu tiên bình phương điện áp (và hiện tại)
Thứ hai lấy trung bình của hình vuông
Sau đó lấy căn bậc hai của trung bình

Bình phương của dạng sóng điện áp sẽ là

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Và trung bình là 50V ^ 2 (không phải 50 ^ 2 volt). Từ thời điểm này hãy quên đi dạng sóng. Chỉ có giá trị. Căn bậc hai của giá trị trên là 7.071 Vôn volt RMS. Làm tương tự với dòng điện sẽ tìm thấy 0,7071..A RMS Và công suất trung bình sẽ là 7,071V x 0,7071A = 5 watt

Nếu bạn đang cố gắng làm điều tương tự với nguồn RMS, kết quả sẽ là 7.071Watt vô nghĩa.

Vì vậy, công suất làm nóng tương đương duy nhất là công suất trung bình và cách duy nhất để tính toán là sử dụng các giá trị rms của điện áp và dòng điện

— Công nghệ GR
nguồn

Chúng ta không thể tính công suất trung bình tiêu tán trong một điện trở là trung bình của công suất tức thời? Đâu là bằng chứng toán học mà OP yêu cầu?

— Joe Hass

Đối với một số dạng sóng phức tạp, chúng ta phải tích hợp chúng bằng các khoảng thời gian gần bằng 0 cho các giá trị trung bình chính xác. Tôi tránh sử dụng bất kỳ phép toán nào cả, đó là lý do tại sao tôi sử dụng sóng vuông rất dễ thấy ý nghĩa của trung bình. RMS cũng là một giá trị trung bình.

— GR Tech

Dường như với tôi rằng bạn cho thấy rằng công suất trung bình thực tế là 5 watt và RMS V * RMS I = 5 watt chứng minh, trong trường hợp này, OP là chính xác. Bạn cũng chỉ ra rằng, trong trường hợp này, trung bình V * trung bình I = 2,5 watt.

— George White

Vâng tôi hiểu. Vấn đề ngôn ngữ một lần nữa. Điều tôi đã cố gắng nói là phép tính Vavg x Iavg không đúng. Cảm ơn đã khuyến khích tôi!

— GR Tech

Nếu "RMS cũng là một giá trị trung bình" thì tại sao giá trị RMS của điện áp đường dây không bằng 0,0V giống như giá trị trung bình?

— Joe Hass