Thu nhập giảm dần đơn giản với nắp

Vấn đề

Người chơi đạt được 5 điểm cho mỗi cấp độ lên tới cấp 80 với tối đa 400. Có 5 chỉ số được phân phối và không giới hạn tối đa cho số tiền bạn có thể thêm vào một chỉ số.

• Sức mạnh
• Độ bền
• Sự thông minh
• Nhanh nhẹn
• May mắn - Cung cấp cơ hội quan trọng và thiệt hại quan trọng

Tôi muốn thực hiện một phương trình hoàn trả giảm dần trên giả sử May mắn. Đối với cơ hội quan trọng, tôi không muốn người chơi có thể đạt 100% cơ hội quan trọng.

Sẽ có một mức trần mà nó sẽ đạt được khi tăng trưởng ngày càng giảm xuống tới 0 mỗi điểm được thêm vào.

Ví dụ nếu cơ hội quan trọng tối đa tôi muốn người chơi có là 40%, Mỗi điểm may mắn sẽ tăng cơ hội quan trọng ít hơn và ít hơn, cho đến khi cơ hội quan trọng đạt khoảng 40%. Bởi 1 may mắn sẽ cho một số lượng rất rất nhỏ.

Giải pháp nào? Cảm ơn bạn và sự giúp đỡ của bạn được đánh giá rất cao!

Bạn muốn bắt đầu với một chức năng tiệm cận. Đó là, một bắt đầu từ một số avà tiếp cận một số khác b, nhưng không bao giờ thực sự đạt được nó. Nó có lẽ sẽ dễ dàng nhất nếu a = 0và b = 1. Bạn sẽ lấy phương trình này, nhập số điểm stat (Điểm may mắn) mà nhân vật có và lấy giá trị chỉ số thực tế (Crit Chance) làm đầu ra.

Một ví dụ rất đơn giản là y = x / (x + n)nơi nmột số hằng số dương. Đây xlà đầu vào của bạn, nơi bạn cung cấp số lượng điểm stat và ylà đầu ra của bạn, nơi bạn nhận được giá trị stat cuối cùng.

Để n = 5kiểm tra xem nó trông như thế nào:

Khi bạn ăn trong x = 0bạn nhận được y = 0, nhưng không có vấn đề một lớn như thế nào xbạn đưa vào, ykhông bao giờ khá đạt 1. Perfect.

Bây giờ, bạn có thể điều chỉnh điều này để trái tim của bạn mong muốn. Bạn có thể nhân với hệ số tỷ lệ để đặt 'giới hạn' thành bất cứ điều gì bạn muốn. y = a * x / (x + 5). Nếu bạn muốn giới hạn là 40%, nhân với .4. y = .4 * x / (x + n). Bây giờ khi bạn cho ăn x, ysẽ tăng nhưng nó sẽ không bao giờ đạt được .4.

Điều chỉnh nđể thiết lập mức độ nhanh hay chậm của phương trình tăng tốc. n = 100sẽ tăng chậm hơn rất nhiều so với n = 5:

Bạn có thể giải phương trình này nnếu bạn biết bạn muốn giá trị stat bạn muốn đạt được tại một điểm số cụ thể. Giả sử nhân vật nên có 35% Crit Chance với 100 điểm May mắn. Giải quyết .35 = .4 * 100 / (100 + n)cho nnăng suất n = 14.29.

Những con số này không phải là hằng số thô. Có thể các số liệu thống kê khác đi vào tính toán các giá trị của n. Có thể một số nhân vật có những điểm khác nhau nđể họ có quy mô tốt hơn trong chỉ số 'ưa thích' của họ.

Nếu bạn muốn một đường cong có hình dạng khác hoặc phức tạp hơn, có nhiều ví dụ khác về các hàm tiệm cận bạn cũng có thể sử dụng. Tôi sẽ để bạn khám phá điều đó như bạn muốn.

Một cơ sở tốt sẽ là một chức năng như thế arctan, vì nó đi qua nguồn gốc và thể hiện một tiệm cận ngang.

Quy mô nó bằng 40 / (pi/2), hoặc 80/picho giới hạn mong muốn của bạn. Sau đó biến đổi luckđể có được độ dốc đường cong mà bạn muốn.

critical = 80/pi * arctan(f(luck))

Tôi thực sự thích cách các trò chơi Souls giải quyết vấn đề này. Thay vì làm cho mỗi chỉ số đưa ra tiền thưởng dựa trên chức năng liên tục như đã được đề xuất, nó cung cấp tiền thưởng trong chức năng tuyến tính từng phần.

Tôi không thể nhớ các con số chính xác ở trên đỉnh đầu của mình, nhưng các chức năng nằm dọc theo các dòng sau (mỗi chỉ số có hằng số riêng)

Phương pháp này cung cấp nhiều lợi ích cho người thiết kế và người chơi. Nhà thiết kế có lợi khi bạn có thể điều chỉnh lợi ích chính xác cho mỗi điểm trong một kỹ năng khá tầm thường và người chơi được lợi khi họ biết chính xác mức độ lợi ích mà họ sẽ thấy từ cấp này đến cấp khác.

Trong trường hợp hàm liên tục, một số mức có thể mang lại lợi ích không được phản ánh trong các số do bí danh đo lường. Chắc chắn rằng cấp độ cuối cùng đã giúp bạn tăng thêm 0,9 XYZ, nhưng vì giá trị thực tế đã tăng từ 23,52 lên 24,42 và bạn làm tròn số trước khi hiển thị nó, người chơi không nhận ra điều gì đó đã thay đổi.

Từ góc độ UX, tôi chắc chắn sẽ khuyên bạn nên sử dụng hàm tuyến tính từng phần. Tuy nhiên, sử dụng chức năng liên tục có thể dễ dàng điều chỉnh sau này hơn, vì người chơi sẽ không được gắn với các hằng số tròn.

Jan Dvorak chỉ ra hàm số mũ trong một bình luận. Tôi sẽ giải thích nó ở đây.

Lưu ý rằng các phép toán theo cấp số nhân (và trig) đắt hơn đáng kể so với các phép toán căn bậc hai, bản thân chúng kém hơn toán học cơ bản, vì vậy bạn có thể tốt hơn với cách tiếp cận của Adam nếu bạn thực hiện các phép tính này nhiều lần trong một giây . Nếu bạn chỉ tính toán các giá trị khi cấp độ người chơi, thay đổi thiết bị, v.v., tốc độ không quan trọng, vì vậy hãy sử dụng bất cứ thứ gì mang lại cho bạn đường cong tốt nhất.

Hàm số mũ là một số cơ sở, B , với một số lũy thừa , x , y=B^x. Các nhà toán học thường sử dụng cơ sở của e , (~ = 2.718), nhưng không có lý do gì bạn không thể sử dụng 2 hoặc 10 nếu bạn thích.

y=e^x trông như thế này:

Lưu ý rằng bên trái đang di chuyển không đối xứng đến 0. Vì vậy, chúng ta có thể lật trục x bằng cách thực hiện y=e^(-x) nhưng nó vẫn giảm dần từ 1 đến 0 và chúng tôi muốn nó tăng dần. Vì vậy, chúng ta có thể lật nó qua trục y với y=-e^(-x) . Bây giờ, nó tăng dần từ -1 đến 0. Chúng ta có thể thêm 1 để nhận y=1- e^(-x) và tăng dần từ 0 đến 1.

Từ đây, chỉ là vấn đề nhân rộng nó theo chiều dọc và chiều ngang. Chúng ta có thể nhân toàn bộ mọi thứ với một giá trị nào đó, hãy gọi nó là A , đặt giới hạn tiệm cận. Sau đó, chúng ta có thể nhân x với giá trị thay đổi tỷ lệ, k , để điều chỉnh mức độ đóng của nó trong giới hạn.

Điều này cho chúng ta một phương trình cuối cùng của y=A*(1 - e^(-k*x)). Sử dụng các giá trị của k=0.012và A=0.5, chúng ta có thể đặt giới hạn thành 50% và để nó gần với giới hạn đó x=400.

Bây giờ, bạn có thể thực hiện một vài điều chỉnh cho việc này. Một điều chỉnh tôi đã thực hiện là thay đổi thành A=0.5041tỷ lệ phần trăm với 2 số thập phân (như 32,23%), y (399) = 49,99% và y (400) = 50,00%. Từ y (347) trở đi, có một số nơi cần hai điểm để thay đổi 0,01%. Nhưng điểm cuối cùng có thể đó vẫn mang lại lợi ích hữu hình (hầu như không) và mang lại cho nó thậm chí 50%.

Thay phiên, chúng tôi có thể điều chỉnh kgiá trị để có hiệu ứng tương tự. Tại k=0.02305, giá trị làm tròn đến 49,99% tại y=399và 50,00% tại y=400. Tuy nhiên, điều này có một vấn đề là đồ thị ở cuối rất nông - phải mất 48 điểm để có được một phần trăm cuối cùng (từ y(352)=49.99%đến y(399)=49.99%đến y(400)=50.00%) và cơ hội phê bình 1% cuối cùng mất tới 230 điểm (từ y(170)=49.01%đến y(400)=50.00%) mà có lẽ là một chút quá giảm về lợi nhuận.

Nếu bạn muốn, bạn có thể điều chỉnh cả A và k để nó giảm đến giới hạn cao hơn một chút với tốc độ chậm hơn, để đưa ra một cái gì đó giữa phân rã tuyến tính và hàm mũ. Làm y=0.6*(1-e^(-0.00447*x)), bạn kết thúc với điều này:

Lưu ý rằng đường cong tiếp tục vượt quá 50%, nhưng vì có giới hạn cứng là 400 xếp hạng, người chơi không thể vượt qua điểm đó (và nếu họ có thể vượt qua nó, vẫn còn giới hạn cứng là 60%. Với phương trình này, bạn có thể sử dụng 1 vị trí thập phân và vẫn thấy mức tăng cứ sau 2 đến 3 điểm, với một đánh dấu cuối cùng từ y(399)=49.9%đến y(400)=50.0%.

Về mặt toán học, các phương trình trước đó có vẻ tốt hơn, vì chúng thực sự đạt gần 50%, nhưng cá nhân tôi nghĩ rằng mức tăng 0,1% mỗi điểm đôi cảm thấy tốt hơn mức tăng 0,01%. Ngay cả với A=0.05041và k=0.012, phải mất 102 điểm để đi từ y(298)=49.00%đến y(400)=50.00%. 25% số điểm của bạn dành cho 2% số điểm của bạn có lẽ là quá giảm. Phương trình 60% chỉ mất 20 điểm cho phần trăm cuối cùng (vẫn cao hơn 5 lần so với 4 điểm cần thiết cho phần trăm đầu tiên).

Với một vài phương trình cuối cùng, tôi chỉ cần cắm các phương trình vào bảng tính và điều chỉnh các giá trị bằng tay cho đến khi chúng trông ổn. Bạn sẽ phải làm một cái gì đó tương tự nếu bạn muốn có một nắp khác.

Đối với một giải pháp rất đơn giản, làm thế nào về căn bậc hai x 2

Căn bậc hai của 400 (tối đa có thể) là 20, 20 * 2 = 40.