Làm thế nào để tôi tìm thấy chu vi của một tứ diện?

Tôi đang tìm phương trình tối thiểu nhất để tìm tọa độ tâm và bán kính của một hình tròn tứ diện cho bốn điểm 3D.

Những gì tôi tìm thấy trên internet chủ yếu liên quan đến hình cầu tròn của một hình tam giác 3D phẳng, hoặc một số định nghĩa toán học thô hoặc một số trường hợp rất đơn lẻ như tứ diện thông thường. Dù sao tôi cũng đã tìm được phương trình dưới đây nhưng tôi đã bỏ lỡ điều gì đó:

    ->  ->      ->
let d1, d2, and d3 three vectors of any face of the triangle :

    | d1x  d1y  d1z |   | x |   | d1^2 |
2 * | d2x  d2y  d2z | * | y | = | d2^2 |
    | d3x  d3y  d3z |   | z |   | d3^2 |

Kiến thức của tôi trong lĩnh vực này có giới hạn của nó nhưng tôi nghĩ tôi có thể xử lý ma trận và các phép toán vectơ. Nhưng phần bên phải của phương trình có phải là bình phương của định mức của mỗi vectơ không? (đó là vào một vectơ). Phương trình có hợp lệ không? Có phải chỉ là nhà văn lười biếng quên viết | d1 | ^ 2? Hoặc nó là một cách phổ biến để xác định một số thuộc tính toán học.

PS: Đó là để thực hiện Delaunay Triangulation. Phương trình (số 9) nằm trong liên kết sau: https://www2.mps.mpg.de/homes/daly/CSDS/t4h/tetra.htm

Mặc dù đây là một chủ đề cổ xưa, tôi nghĩ rằng nó có thể tốt cho hậu thế có một chút để tham khảo. Nguồn gốc của công thức là từ Công cụ hình học cho đồ họa máy tính của Philip J. Schneider và David H. Eberly. Một số điều cần lưu ý, theo văn bản

Các tứ diện V0, V1, V2, V3 được sắp xếp sao cho nó đồng hình với chính tắc (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1 ).

Theo tôi hiểu đẳng cấu , có thể có một số ý nghĩa khác nhau khi được sử dụng trong hình học. Nếu anh ta có nghĩa là đẳng cấu đối với lý thuyết đồ thị, thì đoạn mã sau sẽ hành xử đúng, vì cấu trúc liên kết của bất kỳ khối tứ diện nào đều giống nhau (K4, một đồ thị hoàn chỉnh). Tôi đã kiểm tra kết quả của hàm chống lại wolfram alpha bằng nhiều hoán vị khác nhau theo thứ tự các đỉnh chính tắc, và tôi thấy không có sự khác biệt nào trong kết quả. Nếu thứ tự chứng tỏ là một vấn đề, tôi khuyên bạn nên kiểm tra mức bình thường của tam giác được hình thành bởi các đỉnh V1, V2, V3 khi nhập vào hàm này và xử lý các điểm như nửa không gian bằng phép thử sản phẩm chấm để tìm ra nếu tam giác đó đang đối mặt đúng cách. Nếu không, đơn giảnstd::swapbất kỳ hai trong số các đỉnh của tam giác sẽ đảo ngược hướng của bình thường và bạn có thể tiếp tục. Nhưng như tôi đã nói, tôi thấy không có sự khác biệt với các hoán vị khác nhau.

Đây là mã được dịch mà không sử dụng ma trận để tránh bất kỳ sự nhầm lẫn nào khi thực hiện, nó khá đơn giản;

void Circumsphere(const Vec3& v0, const Vec3& v1, const Vec3& v2, const Vec3& v3, Vec3* center, float* radius)
{
  //Create the rows of our "unrolled" 3x3 matrix
  Vec3 Row1 = v1 - v0;
  float sqLength1 = length2(Row1);
  Vec3 Row2 = v2 - v0;
  float sqLength2 = length2(Row2);
  Vec3 Row3 = v3 - v0;
  float sqLength3 = length2(Row3);

  //Compute the determinant of said matrix
  const float determinant =   Row1.x * (Row2.y * Row3.z - Row3.y * Row2.z)
                            - Row2.x * (Row1.y * Row3.z - Row3.y * Row1.z)
                            + Row3.x * (Row1.y * Row2.z - Row2.y * Row1.z);

  // Compute the volume of the tetrahedron, and precompute a scalar quantity for re-use in the formula
  const float volume = determinant / 6.f;
  const float iTwelveVolume = 1.f / (volume * 12.f);

  center->x = v0.x + iTwelveVolume * ( ( Row2.y * Row3.z - Row3.y * Row2.z) * sqLength1 - (Row1.y * Row3.z - Row3.y * Row1.z) * sqLength2 + (Row1.y * Row2.z - Row2.y * Row1.z) * sqLength3 );
  center->y = v0.y + iTwelveVolume * (-( Row2.x * Row3.z - Row3.x * Row2.z) * sqLength1 + (Row1.x * Row3.z - Row3.x * Row1.z) * sqLength2 - (Row1.x * Row2.z - Row2.x * Row1.z) * sqLength3 );
  center->z = v0.z + iTwelveVolume * ( ( Row2.x * Row3.y - Row3.x * Row2.y) * sqLength1 - (Row1.x * Row3.y - Row3.x * Row1.y) * sqLength2 + (Row1.x * Row2.y - Row2.x * Row1.y) * sqLength3 );

  //Once we know the center, the radius is clearly the distance to any vertex
  *radius = length(*center - v0);
}