Phân phối ngẫu nhiên có trọng số liên tục, thiên về một đầu

Tôi hiện đang đóng góp cho một hệ thống hạt cho trò chơi của chúng tôi và phát triển một số hình dạng phát.

Phân phối ngẫu nhiên thống nhất của tôi dọc theo một dòng hoặc dọc theo một khu vực hình chữ nhật hoạt động tốt - không có vấn đề.

Nhưng bây giờ tôi muốn có một cái gì đó giống như độ dốc 1 chiều trong bản phân phối này. Điều này có nghĩa là các giá trị thấp hơn phổ biến hơn các giá trị cao hơn.

Tôi không biết điều gì sẽ là thuật ngữ toán học phù hợp cho vấn đề này, vì vậy kỹ năng tìm kiếm của tôi khá vô dụng với vấn đề này. Tôi cần một cái gì đó đơn giản về mặt tính toán, vì hệ thống hạt cần phải hiệu quả.

Hãy nhìn vào bức ảnh này:

Nó cho thấy quá trình ánh xạ một giá trị (ngẫu nhiên) vào một đường cong. Giả sử bạn tạo một giá trị ngẫu nhiên X được phân phối đồng đều, từ 0 đến 1. Bằng cách ánh xạ giá trị này thành một đường cong - hay nói cách khác là sử dụng f (X) thay vì X - bạn có thể làm lệch phân phối của mình theo bất kỳ cách nào bạn muốn .

Trong bức tranh này, đường cong đầu tiên làm cho các giá trị cao hơn có nhiều khả năng hơn; thứ hai làm cho giá trị thấp hơn có nhiều khả năng; và cái thứ ba làm cho cụm giá trị ở giữa. Công thức chính xác của đường cong không thực sự quan trọng và có thể được chọn theo ý muốn.

Ví dụ, đường cong thứ nhất trông hơi giống căn bậc hai và hình vuông thứ hai. Thứ ba là một chút giống như khối, chỉ dịch. Nếu bạn coi căn bậc hai là quá chậm, đường cong đầu tiên cũng trông giống như f (X) = 1- (1-X) ^ 2 - đảo ngược hình vuông. Hoặc một hyperbole: f (X) = 2X / (1 + X).

Như một đường cong thứ tư cho thấy, bạn chỉ cần sử dụng bảng tra cứu được tính toán trước. Có vẻ xấu như một đường cong, nhưng có lẽ sẽ đủ tốt cho một hệ thống hạt.

Kỹ thuật chung này rất đơn giản và mạnh mẽ. Bất cứ phân phối nào bạn cần, chỉ cần tưởng tượng một ánh xạ đường cong và bạn sẽ nghĩ ra một công thức ngay lập tức. Hoặc, nếu công cụ của bạn có trình chỉnh sửa, chỉ cần tạo trình chỉnh sửa trực quan cho đường cong!

Một lời giải thích dài hơn:

Nếu bạn có phân phối xác suất mong muốn, chẳng hạn như gradient @didito được yêu cầu, bạn có thể mô tả là dưới dạng hàm. Giả sử bạn muốn phân phối hình tam giác, trong đó xác suất ở 0 là 0,0 và bạn muốn chọn một số ngẫu nhiên từ 0 đến 1. Chúng tôi có thể viết nó là y = x.

Bước tiếp theo là tính tích phân của hàm này. Trong trường hợp này, đó là $\int x=\frac{1}{x^2}$ . Được đánh giá từ 0 đến 1, đó là ½. Điều đó có ý nghĩa - đó là một hình tam giác với cơ sở 1 và chiều cao 1, vì vậy diện tích của nó là.

Sau đó, bạn chọn một điểm ngẫu nhiên đồng đều từ 0 đến khu vực (trong ví dụ của chúng tôi). Hãy gọi đây là z. (Chúng tôi đang chọn thống nhất từ phân phối tích lũy .)

$\int x=\frac{1}{x^2}$$\frac{1}{x̂^2}=z$$x̂ = \sqrt{2z}$

$\sqrt{2z}$$\sqrt{rand(0, 1)}$

Bạn có thể có được một xấp xỉ gần đúng với những gì bạn muốn bằng cách sử dụng một hệ thống theo cấp số nhân.

Tạo x dựa trên thứ gì đó như 1- (giá trị rnd ^) (Giả sử rnd nằm trong khoảng từ 0 đến 1) và bạn sẽ có một vài hành vi khác nhau từ lệch sang trái sang phải dựa trên những gì bạn sử dụng. Giá trị cao hơn sẽ giúp bạn phân phối sai lệch hơn

Bạn có thể sử dụng một công cụ đồ họa trực tuyến để có được một số ý tưởng sơ bộ về các hành vi mà các phương trình khác nhau sẽ cung cấp cho bạn trước khi đặt chúng vào, hoặc bạn có thể chỉ cần sử dụng các phương trình trực tiếp trong hệ thống hạt của mình, tùy thuộc vào phong cách nào phù hợp với sở thích của bạn.

CHỈNH SỬA

Đối với một cái gì đó giống như một hệ thống hạt trong đó thời gian CPU trên mỗi hạt là rất quan trọng, sử dụng Math.Pow (hoặc ngôn ngữ tương đương) trực tiếp có thể dẫn đến giảm hiệu suất. Nếu muốn có nhiều hiệu suất hơn và giá trị không bị thay đổi trong thời gian chạy, hãy xem xét chuyển sang một chức năng tương đương, chẳng hạn như x * x thay vì x ^ 2.

(Số mũ phân số có thể là một vấn đề, nhưng ai đó có nền tảng toán học mạnh hơn tôi có thể đưa ra một cách tốt để tạo ra một hàm xấp xỉ)

Thuật ngữ bạn đang tìm kiếm là Weighted Random Numbers, hầu hết các thuật toán tôi đã thấy sử dụng các hàm trig, nhưng tôi nghĩ rằng tôi đã tìm ra một cách sẽ hiệu quả:

Tạo một bảng / mảng / Danh sách (bất cứ thứ gì) chứa giá trị số nhân cho hàm ngẫu nhiên. Điền nó bằng tay hoặc lập trình ...

randMulti= {.1,.1,.1,.1,.1,.1,.2,.2,.3,.3,.9,1,1,1,} 

... sau đó Nhân randomvới một lựa chọn ngẫu nhiên randMultivà cuối cùng là Giá trị tối đa của phân phối ...

weightedRandom = math.random()*randMulti[Math.random(randMulti.length)]*maxValue

Tôi tin rằng điều này sẽ nhanh hơn nhiều so với việc sử dụng sqrthoặc các hàm phức tạp hơn về mặt tính toán khác và sẽ cho phép các mẫu nhóm tùy chỉnh hơn.

Tôi nghĩ những gì bạn yêu cầu là phân phối đạt được bằng cách sử dụng hàm căn bậc hai.

[position] = sqrt(rand(0, 1))

Điều này sẽ đưa ra một phân phối trong trường thứ nguyên đơn [0, 1]trong đó xác suất cho một vị trí tương đương với vị trí đó, tức là "phân phối tam giác".

Thế hệ squareroot-free thay thế:

[position] = 1-abs(rand(0, 1)-rand(0, 1))

Một căn bậc hai trong việc thực hiện tối ưu chỉ là một vài lệnh nhân và tổng không có nhánh. (Xem: http://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_sapes_root ). Mà một trong hai chức năng này nhanh hơn có thể khác nhau tùy thuộc vào nền tảng và trình tạo ngẫu nhiên. Ví dụ, trên nền tảng x86, chỉ cần một vài nhánh không thể đoán trước trong trình tạo ngẫu nhiên để làm cho phương thức thứ hai chậm hơn.

Chỉ cần sử dụng bản phân phối Beta:

• Beta (1,1) không thay đổi
• Beta (1,2) là một gradient tuyến tính
• Beta (1,3) là bậc hai

v.v.

Hai tham số hình dạng không cần phải là số nguyên.

Thậm chí đơn giản hơn, tùy thuộc vào tốc độ của trình tạo ngẫu nhiên của bạn, bạn chỉ có thể tạo hai giá trị và tính trung bình cho chúng.

Hoặc, thậm chí đơn giản hơn, trong đó X là kết quả của rng, đầu tiên double y = double(1/x);, x = y*[maximum return value of rng];. Điều này sẽ cân số lượng theo cấp số nhân với số thấp hơn.

Tạo và trung bình nhiều giá trị hơn để tăng khả năng nhận các giá trị gần trung tâm hơn.

Tất nhiên, điều này chỉ hoạt động đối với các bản phân phối đường cong chuông tiêu chuẩn hoặc các phiên bản "gấp" của chúng *, nhưng với trình tạo nhanh, nó có thể nhanh hơn và đơn giản hơn so với sử dụng các hàm toán học khác nhau như sqrt.

Bạn có thể tìm thấy tất cả các loại nghiên cứu về điều này cho các đường cong xúc xắc chuông. Trên thực tế, Anydice.com là một trang web tốt tạo ra các biểu đồ cho các phương pháp gieo xúc xắc khác nhau. Mặc dù bạn đang sử dụng RNG, tiền đề là như nhau, cũng như kết quả. Vì vậy, nó là một điểm tốt để xem phân phối trước khi mã hóa nó.

* Ngoài ra, bạn có thể "gấp" phân phối kết quả dọc theo một trục bằng cách lấy trục và trừ kết quả trung bình sau đó thêm trục. Ví dụ: bạn muốn các giá trị thấp hơn trở nên phổ biến hơn và giả sử bạn muốn 15 là giá trị tối thiểu của bạn và 35 là giá trị tối đa của bạn, phạm vi 20. Vì vậy, bạn tạo và trung bình hai giá trị với phạm vi 20 ( gấp đôi phạm vi bạn muốn), sẽ đưa ra một bellcurve tập trung vào 20 (chúng tôi trừ năm ở cuối để chuyển phạm vi từ 20 đến 40, thành 15 đến 35). Lấy các số X và Y được tạo.

Số cuối cùng,

z =(x+y)/2;// average them
If (z<20){z = (20-z)+20;}// fold if below axis
return z-5;// return value adjusted to desired range

Nếu số 0 là mức tối thiểu của bạn, thậm chí tốt hơn, hãy làm điều này thay vào đó,

z= (x+y)/2;
If (z<20){z = 20-z;}
else {z = z - 20;}
return z;