Có thể tính toán hoặc chứng minh toán học nếu một trò chơi được cân bằng / công bằng?

Câu hỏi này không tập trung vào các trò chơi video mà là các trò chơi nói chung. Tôi đã đi đến một hội chợ thương mại boardgame ngày hôm qua và tự hỏi liệu có cách nào để tính toán sự công bằng của một trò chơi. Chắc chắn, một số trong số chúng đòi hỏi một phần may mắn, nhưng có thể tính toán được nếu một số nhân vật bị áp đảo. Đặc biệt là trong các trò chơi nhập vai và trò chơi đánh bài. Ví dụ, làm thế nào những người tạo ra "Magic: The Gathering" có thể đảm bảo rằng không có "một thẻ đánh bại tất cả", với số lượng thẻ có sẵn ấn tượng?

Vâng, về mặt lý thuyết là có thể - đó là một phần tốt của lý thuyết trò chơi liên quan đến chủ đề này.

Tuy nhiên, điều này hiếm khi thực tế và thậm chí sau đó chủ yếu chỉ dành cho các trò chơi không liên quan đến ngẫu nhiên (Cờ vua, Reversi, Đi và vv). Vụ nổ kết hợp đảm bảo rằng thời gian lý thuyết cần thiết cho các bằng chứng như vậy đối với các trò chơi phức tạp hơn như Magic the Gathering có thể dễ dàng dài hơn vài bậc so với thời đại hiện tại của vũ trụ.

Cuối cùng, đối với bất kỳ trò chơi không tầm thường nào, bạn có thể sẽ phải từ bỏ khái niệm chứng minh sự cân bằng hoặc công bằng của trò chơi và thay vào đó là sự kết hợp của ý thức chung, bản năng thiết kế, tái sử dụng hệ thống trò chơi và trong suốt quá trình thử nghiệm.

Câu trả lời ngắn: Bất kỳ trò chơi nào có giới hạn, ngay cả khi không xác định, số lần di chuyển có sẵn do đó có số lượng trò chơi hữu hạn có thể. Bất kỳ trò chơi nào có "độ phức tạp của cây trò chơi" về mặt lý thuyết có thể có tất cả các trò chơi có thể được phân tích để xác định xem số lượng trò chơi mà mỗi người chơi sẽ thắng có bằng nhau không.

Nói một cách đơn giản: nếu Người chơi 1 thắng chính xác một nửa số lần chơi có thể có của trò chơi, trò chơi sẽ được cân bằng. Nếu điều này không đúng, trò chơi sẽ thiên về người chơi này hoặc người chơi khác.

Tuy nhiên, quy tắc đơn giản này có thể khá khó khả thi để đưa vào thực tế. Go, chẳng hạn, có độ phức tạp của cây trò chơi theo thứ tự 10 ^ 170 trò chơi có thể, nhiều hơn số lượng nguyên tử được cho là tồn tại trong vũ trụ đã biết. Nó được cho là không thể biên dịch một cây trò chơi đầy đủ. Tuy nhiên, thư viện các trò chơi được chơi và ghi lại có hàng triệu người và cho rằng trò chơi có "lợi thế di chuyển đầu tiên" (thường được giảm nhẹ với 1,5 điểm "komi" được trao cho White).

Trái ngược với điều đó, thậm chí với độ phức tạp lớn của cây trò chơi, tất cả các trò chơi M, N, K (bảng lưới có chiều rộng M, chiều cao N, trong đó đối tượng dành cho người chơi để tạo một hàng K mảnh bằng cách đặt và không bao giờ di chuyển / loại bỏ chúng) được giải quyết, bởi vì có một phím tắt; toàn bộ "nhánh" của cây trò chơi có thể được xác định là luôn khiến người chơi này hoặc người chơi khác bị mất. Các nhánh còn lại theo một mô hình có thể được xác định. Tic-Tac-Toe là ví dụ rõ ràng; ngoài việc chỉ có 300.000 trò chơi có thể, chỉ có 16 trong đó một người chơi hoặc người kia không thực hiện một động thái rõ ràng sẽ cho phép người chơi khác giành chiến thắng trong lần di chuyển tiếp theo. Vì vậy, cây trò chơi bắt đầu nhỏ và trở nên nhỏ hơn khi bạn xem xét các trò chơi mà người chơi thực sự có khả năng thực hiện.

Trong các trò chơi có yếu tố may mắn, độ phức tạp của cây trò chơi bị thổi phồng vượt quá số lượng quyết định có sẵn cho mỗi người chơi. Bởi vì trò chơi không còn được chơi với "thông tin hoàn hảo", vì nó là trong cờ vua, cờ đam, cờ vây, v.v., nên một người chơi đã chơi hoàn hảo với thông tin đã biết vào thời điểm đó vẫn thua trò chơi yếu tố ngẫu nhiên. Những trò chơi này không có "giải pháp"; tuy nhiên, thường vẫn có một cây trò chơi hữu hạn và vì vậy về mặt lý thuyết, các trò chơi vẫn có thể được phân tích một cách thấu đáo. Điều này vẫn thường không khả thi; thay vào đó, các trò chơi liên quan đến xác suất được phân tích xác suất để xác định chiến lược "đặt cược tốt nhất" và nếu các chiến lược này được hiển thị để ưu tiên người chơi sử dụng chúng, bất kể chiến lược nào được sử dụng bởi bất kỳ người chơi nào khác (bao gồm cả chiến lược tương tự),

Nói chung, quy tắc sau được áp dụng: nếu thiết kế của trò chơi vốn đã dẫn đến sự bất bình đẳng trong một hoặc nhiều điều sau đây, trò chơi có sự thiên vị:

• Tổng số lần di chuyển cho mỗi người chơi
• Số lần di chuyển có sẵn tại bất kỳ thời điểm nào sẽ cho phép ít nhất một lần di chuyển nữa cho người chơi đó
• Sức mạnh khởi đầu của lực lượng người chơi
• Truy cập vào các nguồn tài nguyên hữu hạn hoặc các khu vực có ý nghĩa chiến lược đã xác định

Bây giờ, thiết kế của trò chơi có thể giới thiệu một bất bình đẳng nhưng cố gắng bù đắp với một bất bình đẳng khác. Hoặc, thiết kế của trò chơi có thể cho phép tính ngẫu nhiên trong các khu vực có thể tạo ra sai lệch, nghĩa là một trò chơi có thể bị sai lệch trong khi một trò chơi khác công bằng hơn (các trò chơi có bảng khởi đầu ngẫu nhiên có thể thể hiện điều này). Trong những trường hợp này, chỉ có phân tích thực nghiệm về các trò chơi giữa những người chơi có sức mạnh gần bằng nhau trong thời gian dài có thể chứng minh bất kỳ sự thiên vị nào.

Để thảo luận thêm về sự thiên vị trong các trò chơi trên bảng, hãy thử các diễn đàn của http://www.geekdo.com ; đã có một số cuộc thảo luận về sự thiên vị đã được chứng minh trong các trò chơi, và làm thế nào để tránh sự thiên vị nói trên trong phát triển trò chơi nói chung.

Tôi đoán không có công thức toán học được tạo sẵn để đánh giá mức độ công bằng của một trò chơi vì cách mỗi trò chơi rất khác nhau và phức tạp.

Bạn thực sự không thể so sánh các thông số trò chơi khác nhau và tạo ra một số điểm sức mạnh về mức độ tốt của một nhân vật (trừ khi trò chơi của bạn rất đơn giản) bởi vì tất cả chúng đều ảnh hưởng đến lối chơi của bạn khác nhau và phụ thuộc vào cách chúng được triển khai (ví dụ như bạn có thể đánh giá sức mạnh liên quan đến sức sống như thế nào? Làm thế nào để bạn đưa ra một giá trị số cho đòn tấn công đặc biệt của nhân vật?).

Bạn phải kiểm tra trò chơi của bạn. Rất nhiều . Tự chơi trò chơi của bạn và khiến người khác chơi nó và lưu trữ kết quả trận đấu / trò chơi trong một tệp để thống kê và đánh giá tần suất một số nhân vật nhất định, trong hoàn cảnh nào, v.v. Sau đó, hãy đảm bảo bạn thực hiện một số cách để kiểm tra phát lại hoặc phân tích lối chơi để xem tại sao một nhân vật như vậy bị áp đảo và áp dụng các thay đổi tương ứng.

Thực sự, bạn không có lựa chọn nào khác ngoài thử nghiệm. Đó là một trong những lý do khiến betas tồn tại (ví dụ Starcraft2 dưới dạng beta đã cho Blizzard cơ hội cân bằng 3 chủng tộc dựa trên kết quả trò chơi).

Để tổng hợp, chơi trò chơi của bạn và khiến người khác chơi nó (bắt đầu bản beta là một tùy chọn). Xem lý do tại sao trò chơi không cân bằng thông qua phát lại hoặc phân tích tự động và thay đổi những gì cần phải thay đổi cho phù hợp. Đó là cách duy nhất bạn sẽ tiếp cận sự công bằng.

Để có thể chứng minh một trò chơi là cân bằng hoặc công bằng, trước tiên bạn phải xác định ý nghĩa của sự cân bằng hoặc công bằng. Đây là những thuật ngữ khá mơ hồ có thể bao gồm một loạt các điều, ví dụ như 'sự cân bằng' của trò chơi thường được hiểu là:

• mỗi bên khác nhau đều có cơ hội chiến thắng như nhau
• Tiến trình thông qua trò chơi trở nên khó khăn hơn
• các quyết định được đưa ra trong trò chơi đưa ra tỷ lệ chi phí / chi trả giống hệt nhau trong một số / hầu hết / tất cả các trường hợp

Và như vậy.

Nói chung tôi là một fan hâm mộ của những thứ chứng minh toán học như thế này, nhưng để chứng minh bất cứ điều gì thông qua logic hoặc kiểm tra trước tiên bạn cần xác định rõ ràng. Một số khía cạnh của sự cân bằng rất dễ kiểm tra thông qua toán học nếu bạn có thể hiểu đúng các quy tắc trò chơi của mình. Những người khác khó đánh giá hơn nhiều nếu không chỉ đơn giản là tiến hành các bài kiểm tra thực nghiệm. Vấn đề chính là hầu hết các nhà thiết kế trò chơi không thực sự hiểu cơ chế của trò chơi của họ, vì họ thường kết hợp các quy tắc trò chơi vào một mô phỏng xung quanh, và sau này rất khó để mô hình chính xác.

Về mặt lý thuyết là có thể, nhưng đối với hầu hết các trò chơi thì vô cùng khó khăn nên có thể coi là không thể.

Một cách tiếp cận: Chuyển đổi trò chơi thành dạng bình thường. Trò chơi ở dạng bình thường là Tập hợp các chiến lược cho từng người chơi và chức năng cho biết kết quả tốt như thế nào khi được kết hợp các lựa chọn. Yếu tố ngẫu nhiên có thể được mô hình hóa như một người chơi khác.

Sau đó, chúng ta có thể tìm kiếm các chiến lược chi phối / chi phối (những việc phải LUÔN làm và những điều KHÔNG BAO GIỜ làm). Trò chơi ít nhất là thú vị, nếu nó không chứa các chiến lược chi phối.

Sau đó, chúng ta có thể nhìn vào những gì mỗi người chơi có thể đảm bảo cho mình. đối với mỗi lựa chọn "MY", hãy nhìn vào kết quả tồi tệ nhất có thể và đưa ra lựa chọn có kết quả tốt nhất này.

Nếu nó khác nhau rất nhiều giữa những người chơi, có một thứ gì đó thối rữa trong trò chơi.

Có nhiều thứ khác để xem xét (chiến lược hỗn hợp chiếm ưu thế (lựa chọn mỗi lựa chọn với một số vấn đề), cân bằng nash (kết hợp mà một khi tất cả người chơi biết người khác sẽ làm, là địa phương tốt nhất cho mọi người)).

Nhưng bước đầu tiên cực kỳ phức tạp đối với hầu hết các trò chơi, vì vậy nó thường không quá hữu ích. Nhưng nó có thể được sử dụng nếu bạn có thể bỏ qua các chi tiết phức tạp / thay thế các chiến lược bằng các bộ chiến lược dễ nhận biết (ví dụ: các lệnh xây dựng ban đầu) và dẫn đến một số ước tính thống kê từ các trò chơi thực tế và nó có thể cho bạn biết điều gì đó về các vấn đề trong trò chơi. Tôi đoán rằng một cái gì đó giống như con thằn lằn này làm với SC.

Một hình thức khác của trò chơi là trò chơi trong đó người chơi thay phiên nhau và biết mọi thứ người khác làm (cờ vua). Ở đó, bạn có thể cố gắng tìm kiếm chiến lược dominat bằng cách tìm kiếm cây trạng thái của trò chơi (và thông thường là LỚN, vì vậy, một lần nữa, quá phức tạp để sử dụng). Và rất nhiều trò chơi không có kiến ​​thức tổng thể và nó làm phức tạp mọi thứ rất nhiều.

Một cách tiếp cận khác, nhìn vào những thứ trong trò chơi và cố gắng so sánh chúng.

Một cách tiếp cận khác: Đối với chiến đấu theo nhóm (đặc biệt với những người tham gia có lượng đạn lớn), bạn có thể thử sử dụng lực trên mô phỏng lực (tôi không bao giờ sử dụng nó và nó đòi hỏi toán học cao (phương trình khác biệt) và chăm chỉ để chuyển đổi trò chơi thành mô hình aproprite).

Vì vậy, kết luận của tôi, rất nhiều điều có thể được thực hiện để cân bằng các hệ thống con của trò chơi và khi trò chơi kết thúc (và trong lúc đặt cược), rất nhiều điều có thể được thực hiện bằng cách phân tích kết quả, nhưng trừ khi bạn làm mọi thứ giống nhau, điều đó gần như có thể chứng minh được là trò chơi được cân bằng .

Tái bút: Bạn có thể che dấu sự giống nhau bằng cách thay thế một thuộc tính bằng nhiều thuộc tính có thể được sử dụng để tính toán thuộc tính ban đầu và bằng cách làm cho mọi thứ trở nên ngẫu nhiên hơn nhiều, vì vậy người chơi không nhìn thấy sự giống nhau đó (

Coi chừng dễ mắc sai lầm khi làm như vậy (ví dụ như các cuộc tấn công nhỏ nhanh so với các cuộc tấn công chậm lớn), beacuse 18 lần ném của d6 -18 cho kết quả 0-90, 10 lần ném bởi d10-10 cho kết quả 0-90 1 lần ném bởi d91-1 cho kết quả 0-90 nhưng tất cả chúng đều có các bản phân phối khác nhau.

PS2: Một người khôn ngoan đã nói, số dư thực tế không quan trọng, Số dư là.

Rất nhiều câu trả lời hay về việc nhận được câu trả lời đúng về mặt toán học, nhưng tôi sẽ thử một góc độ khác: nếu mã của bạn cho phép, bạn có thể mô phỏng một số lượng rất lớn các trò chơi và sau đó kiểm tra xem có chiến lược (hoặc chiến lược) nào không chiến thắng quá thường xuyên

Bạn có thể quen thuộc với mô phỏng Monte-Carlo hoặc thuật toán di truyền. Ý tưởng ở đây liên quan. Bạn cần một AI để chơi trò chơi và một số phép đo quan trọng. Bạn để AI đi với nhau trong một giải đấu lớn, thường là đủ, với các biến bắt đầu khác nhau và bạn đo lường kết quả.

Tôi đã luôn muốn thử một cách tiếp cận như vậy để cân bằng các lớp học / vũ khí, nó sẽ rất thú vị.

Từ một lý thuyết về quan điểm tính toán, có vẻ như trả lời điều này là không thể nói chung . Đó là đặt câu hỏi về một tài sản của một chương trình và Định lý Rice có thể áp dụng. Giả định của tôi là trò chơi đề cập đến một chương trình được viết bằng ngôn ngữ Turing Complete như c ++. Tôi cũng giả định rằng để tính toán hoặc chứng minh liệu trò chơi có công bằng hay không có nghĩa là tồn tại chương trình c ++ đọc chương trình c ++ (chương trình trò chơi) và chấm dứt trong một khoảng thời gian hữu hạn cho tất cả các đầu vào có thể , chỉ có hai đầu ra, công bằng hoặc không công bằng.

Một tìm kiếm nhanh cho thấy có thể có một trò chơi xác định nhưng không thể giải quyết được, xem slide 7 tại đây và từ Tạp chí quốc tế về lý thuyết trò chơi: Một số trò chơi xác định không thể giải quyết được:

"Máy tính sử dụng thuật toán chơi trò chơi và thậm chí học chơi trò chơi. Tuy nhiên, tính chất hữu hạn vốn có của thuật toán áp đặt các hạn chế đối với khả năng chơi trò chơi của máy. M. Rabin đã minh họa giới hạn này vào năm 1957 bằng cách xây dựng trò chơi hai người cùng thắng với các quy tắc có thể quyết định nhưng không có chiến lược chiến thắng có thể tính toán được. "

Bộ não con người rõ ràng "mạnh mẽ" hơn máy tính bởi vì chúng ta có thể thu nhận và áp dụng kiến ​​thức trong quá khứ và đôi khi dường như mâu thuẫn với kết quả như vấn đề Ngừng bằng cách tìm ra các vòng lặp vô hạn trong các chương trình. Nhưng làm thế nào chúng ta làm điều này không được biết đến nhiều và không thể được viết chính xác và rõ ràng trong một thuật toán.

Tôi thực sự muốn bình luận về câu trả lời của Martin Sojka, nhưng tôi không có tiếng tăm. Ông nói đúng rằng Lý thuyết trò chơi bao gồm việc tính toán sự công bằng của một trò chơi (ví dụ: đó là một câu hỏi mở nếu trong một ván cờ mà cả hai màu trắng và đen chơi hoàn hảo cho dù đó có phải là hòa không).

Đối với MtG, rất có thể là nó hoàn toàn không khả thi để tính toán liệu nó có công bằng hay không, nhưng không ai chứng minh được về mặt toán học rằng tính toán sẽ không khả thi.

Có thể chứng minh một cách tầm thường là công bằng - nếu ngẫu nhiên ai đi trước và mọi người chơi theo cùng một quy tắc thì thật công bằng. Có thể là ai đi trước luôn thắng, nhưng nếu ai đi trước được quyết định công bằng thì trò chơi là công bằng.

"Công bằng" có nghĩa là mơ hồ, hãy để tôi giải thích:

Hãy xem xét trò chơi Rock-paper-c khoa (http://en.wikipedia.org/wiki/Rock-apers-sc khoa): theo bạn đó là công bằng, tôi cho rằng (theo tôi cũng vậy).

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét trò chơi: Rock-paper-calsa-well, nơi giếng đập đá và giấy và giếng thua so với giấy. Mất cân bằng, phải không? Cái giếng có vẻ khá áp đảo: nó đánh bại hai vũ khí và thua một.

Nhưng người ta có thể nói rằng nó hoàn toàn không bị áp đảo: bởi vì nếu bạn biết rằng đối thủ của bạn có khả năng sử dụng giếng tốt hơn vì nó đánh bại hai vũ khí, bạn có thể hành động bằng cách chọn giấy thường xuyên hơn.

Vì vậy, có một câu trả lời cho tiềm năng áp đảo tốt: chỉ cần chọn thường xuyên hơn giấy. Nhưng sau đó bạn biết rằng đối thủ của bạn có thể biết điều đó và có thể sử dụng giấy khá thường xuyên, vì vậy bạn nghĩ rằng bạn nên sử dụng các cudge thường xuyên hơn. V.v. Không thực sự áp đảo, chỉ là một trò chơi khác với các quy tắc khác nhau.

Tôi khuyên bạn nên đọc về lý thuyết trò chơi và đặc biệt là các trò chơi có thông tin không hoàn hảo (http://en.wikipedia.org/wiki/Game_theory).