Làm cách nào tôi có thể xoay về một điểm tùy ý trong 3D (thay vì gốc)?

Tôi có một số mô hình mà tôi muốn xoay bằng cách sử dụng bậc bốn theo cách thông thường, ngoại trừ thay vì xoay về nguồn gốc, tôi muốn nó được bù nhẹ. Tôi biết rằng bạn không nói, trong không gian 3d, bạn xoay quanh một điểm; bạn nói bạn xoay quanh một trục. Vì vậy, tôi đang hình dung nó như xoay quanh một vectơ có đuôi được định vị không ở gốc địa phương.

Tất cả các phép biến đổi affine trong công cụ kết xuất / vật lý của tôi được lưu trữ bằng SQT (thang đo, bậc bốn, dịch thuật; một ý tưởng mượn từ cuốn sách Kiến trúc công cụ trò chơi .) Vì vậy, tôi xây dựng một ma trận mỗi khung hình từ các thành phần này và chuyển nó sang trình tạo bóng đỉnh. Trong hệ thống này, dịch thuật được áp dụng, sau đó chia tỷ lệ, sau đó xoay vòng.

Trong một trường hợp cụ thể, tôi cần dịch một đối tượng trong không gian thế giới, chia tỷ lệ và xoay nó về một đỉnh không tập trung tại điểm gốc cục bộ của đối tượng.

Câu hỏi: Với các ràng buộc của hệ thống hiện tại của tôi được mô tả ở trên, làm thế nào tôi có thể đạt được một vòng quay cục bộ tập trung vào một điểm khác với điểm gốc? Tự động upvote cho bất cứ ai có thể mô tả cách thực hiện điều này bằng cách chỉ sử dụng ma trận :)

Nói ngắn gọn

Bạn chỉ cần thay đổi T trong mẫu SQT của bạn.

Thay thế vectơ dịch vbằng v' = v-invscale(p-invrotate(p))vị trí vcủa vectơ dịch ban đầu, plà điểm xung quanh mà bạn muốn xoay vòng xảy ra invrotatevà invscalelà nghịch đảo của xoay và tỷ lệ của bạn.

Trình diễn nhanh

Hãy plà điểm xung quanh mà bạn áp dụng xoay vòng r. Hãy slà các tham số tỷ lệ và vvector dịch của bạn. Việc chuyển đổi ma trận cuối cùng là T(p)R(r)T(-p)S(s)T(v)thay vì R(r)S(s)T(v).

Những gì bạn muốn là thông số chuyển đổi mới v', r'và s'như vậy việc chuyển đổi ma trận cuối cùng là R(r')S(s')T(v')và chúng ta có:

T(p)R(r)T(-p)S(s)T(v) = R(r')S(s')T(v')

Hành vi ở vô cực chỉ ra rằng các tham số xoay và tham số tỷ lệ không thể thay đổi (điều này có thể được chứng minh). Do đó, chúng tôi có r = r'và s = s'. Do đó v', tham số bị thiếu duy nhất là vectơ dịch mới của bạn:

T(p)R(r)T(-p)S(s)T(v) = R(r)S(s)T(v')

Nếu các ma trận này bằng nhau, nghịch đảo của chúng bằng nhau:

T(-v)S(-s)T(p)R(-r)T(-p) = T(-v')S(-s)R(-r)

Điều này đặc biệt đúng với nguồn gốc O:

T(-v)S(-s)T(p)R(-r)T(-p)O = T(-v')S(-s)R(-r)O

Thu nhỏ và xoay gốc tọa độ mang lại gốc, do đó, có được:

T(-v)S(-s)T(p)R(-r)(-p) = -v'

v'là vectơ dịch mới mà bạn đang tìm kiếm cho phép bạn lưu trữ chuyển đổi của mình ở dạng SQT. Có lẽ có thể đơn giản hóa việc tính toán; nhưng ít nhất dung lượng lưu trữ yêu cầu không tăng.

Tất cả các công thức quay chính tắc được sử dụng để lấy ma trận xoay của bạn là để xoay quanh gốc tọa độ. Thay vào đó, nếu bạn muốn áp dụng xoay vòng đó quanh một điểm cụ thể, trước tiên bạn phải bù gốc - hoặc, tương đương, di chuyển đối tượng sao cho điểm bạn muốn xoay là ở điểm gốc.

Trước tiên hãy xem xét trường hợp 2D, vì nó đơn giản hơn và quy mô kỹ thuật. Nếu bạn có một khối có chiều rộng 2 tập trung vào gốc tọa độ và bạn muốn xoay nó 45 độ về tâm của nó, đó sẽ là một ứng dụng tầm thường của ma trận xoay 2D .

Nhưng nếu thay vào đó, bạn muốn xoay nó quanh góc trên bên phải (nằm ở 1,1) trước tiên bạn phải dịch nó để góc đó ở gốc. Điều này có thể được thực hiện với một bản dịch của -1,-1. Sau đó, bạn có thể xoay đối tượng như trước, nhưng bạn phải theo dõi điều này bằng cách dịch nó trở lại (bởi 1,1). Vì vậy, nói chung, để đạt được ma trận xoay Rcho một vòng quay rvề điểm Pbạn làm:

R = translate(-P) * rotate(r) * translate(P)

tương ứng trong đó translatevà rotatelà ma trận dịch / xoay chính tắc. Khi điều đó xảy ra, tỷ lệ này không đáng kể so với 3D, ngoại trừ việc phải cung cấp một trục cho phép quay - bạn luôn có thể chọn ma trận xoay trục X, Y hoặc Z chính tắc, nhưng điều đó sẽ rất buồn tẻ. Bạn sẽ muốn sử dụng ma trận xoay góc tùy ý . RDo đó, trận chung kết 3D của bạn là như vậy:

R = translate(-P) * rotate(a,r) * translate(P)

trong đó amột vectơ đơn vị đại diện cho trục quay và Pbây giờ là một điểm 3D trong không gian mô hình đại diện cho điểm xoay.

Khi điều đó xảy ra, các bậc bốn có thể được chuyển đổi thành và từ các biểu diễn ma trận, vì vậy bạn có thể thực hiện phép nối của mình theo cách mà bạn nên chọn. Hoặc bạn chỉ có thể để mọi thứ như ma trận (tứ phương có một số lợi thế tốt như dễ dàng nội suy theo kiểu lành mạnh, nhưng liệu bạn có cần điều đó hay không là tùy thuộc vào bạn).

Cũng thế:

Vì vậy, tôi đang hình dung nó như xoay quanh một vectơ có đuôi được định vị không ở gốc địa phương.

Nói một cách chính xác, trong khi các vectơ có thể được sử dụng để biểu diễn các vị trí bằng cách coi chúng là các chuyển vị từ một nguồn gốc, thì vectơ không có vị trí nên sẽ hơi bất thường khi hình dung một vị trí như vậy.