Vòng tròn bên trong va chạm vòng tròn

Trong một trong những dự án của tôi, tôi có một khu vực trò chơi theo hình tròn. Bên trong vòng tròn này một vòng tròn nhỏ khác đang di chuyển xung quanh. Những gì tôi muốn làm là giữ cho vòng tròn nhỏ không di chuyển bên ngoài vòng tròn lớn hơn. Dưới đây bạn có thể thấy rằng trong khung 2, vòng tròn nhỏ nằm bên ngoài, tôi cần một cách để di chuyển nó trở lại ngay trước khi nó sắp di chuyển ra ngoài. Điều này có thể giải quyết như thế nào?

Ngoài ra, tôi cần điểm va chạm dọc theo vòng cung của vòng tròn lớn để tôi có thể cập nhật vận tốc của vòng tròn nhỏ. Làm thế nào một người sẽ đi về tính toán điểm này?

Những gì tôi muốn làm là trước khi di chuyển vòng tròn nhỏ, tôi dự đoán vị trí tiếp theo của nó và nếu nó ở bên ngoài tôi tìm thấy thời gian va chạm giữa t = 0 và t = 1 (t = 1 bước toàn thời gian). Nếu tôi có thời gian va chạm t thì tôi chỉ di chuyển vòng tròn nhỏ trong t thay vì bước toàn thời gian. Nhưng một lần nữa, vấn đề là tôi không biết cách phát hiện tại thời điểm va chạm xảy ra khi có hai vòng tròn và một vòng tròn nằm trong vòng tròn kia.

BIÊN TẬP:

Ví dụ về điểm va chạm (màu xanh lá cây) tôi muốn tìm. Có thể hình ảnh là một chút tắt nhưng bạn có được ý tưởng.

Giả sử vòng tròn lớn có tâm Avà bán kính Rvà vòng tròn nhỏ có tâm Bvà bán kính rdi chuyển về phía vị trí C.

Có một cách thanh lịch để giải quyết vấn đề này, đó là sử dụng tổng số Minkovski (trừ, thực tế): thay thế đĩa bán kính Rbằng đĩa bán kính R-rvà đĩa bán kính rbằng đĩa bán kính 0, tức là. một điểm đơn giản nằm ở B. Vấn đề trở thành một vấn đề giao nhau đường tròn.

Sau đó, bạn chỉ cần kiểm tra xem khoảng cách ACcó nhỏ hơn không R-r. Nếu có, các vòng tròn không va chạm. Nếu nó lớn, chỉ cần tìm thấy những điểm Dtrên BCở khoảng cách R-rcủa Avà đây là vị trí mới của trung tâm của vòng tròn nhỏ của bạn. Điều này tương đương với việc tìm kiếm knhư vậy:

  vec(BD) = k*vec(BC)
and
  norm(vec(AD)) = R-r

Thay thế vec(AD)bằng vec(AB) + vec(BD)cho:

AB² + k² BC² + 2k vec(AB).vec(BC) = (R-r)²

Với vị trí ban đầu là bên trong vòng tròn lớn, phương trình bậc hai knày có một gốc dương. Đây là cách giải phương trình, trong mã giả:

b = - vec(AB).vec(BC) / BC²    // dot product
c = (AB² - (R-r)²) / BC²
d = b*b - c
k = b - sqrt(d)
if (k < 0)
    k = b + sqrt(d)
if (k < 0)
    // no solution! we must be slightly out of the large circle

Với giá trị này k, trung tâm mới của vòng tròn nhỏ là Dnhư vậy BD = kBC.

Chỉnh sửa : thêm giải phương trình bậc hai

Giả sử hình tròn lớn là hình tròn A và hình tròn nhỏ là hình tròn B.

Kiểm tra xem B có ở trong A không:

distance = sqrt((B.x - A.x)^2 + (B.y - A.y)^2))
if(distance > A.Radius + B.Radius) { // B is outside A }

Nếu trong khung n-1B ở bên trong A và trong khung nB nằm ngoài A và thời gian giữa các khung không quá lớn (hay còn gọi là B không di chuyển quá nhanh), chúng ta có thể ước chừng điểm va chạm bằng cách chỉ tìm tọa độ Descartes của B đến A:

collision.X = B.X - A.X;
collision.Y = B.Y - A.Y;

Sau đó chúng ta có thể chuyển đổi điểm này thành một góc:

collision.Normalize(); //not 100% certain if this step is necessary     
radians = atan2(collision.Y, collision.X)

Nếu bạn muốn biết chính xác hơn tB ở bên ngoài A lần đầu tiên bạn có thể thực hiện giao điểm vòng tròn tia ở mọi khung hình và sau đó so sánh nếu khoảng cách từ B đến điểm va chạm lớn hơn thì khoảng cách B có thể đi được không tốc độ hiện tại. Nếu vậy bạn có thể tính toán thời gian va chạm chính xác.

Đặt (Xa, Ya) vị trí của vòng tròn lớn và đó là bán kính R, và (Xb, Yb) vị trí của vòng tròn nhỏ hơn và bán kính r.

Bạn có thể kiểm tra xem hai vòng tròn này có va chạm hay không

DistanceTest = sqrt(((Xa - Xb) ^ 2) + ((Ya - Yb) ^ 2)) >= (R - r)

Để tìm ra vị trí va chạm, hãy tìm thời điểm chính xác khi các vòng tròn va chạm, bằng cách sử dụng tìm kiếm nhị phân nhưng với một số bước cố định. Tùy thuộc vào cách trò chơi của bạn được thực hiện, bạn có thể tối ưu hóa phần mã này (tôi đã cung cấp giải pháp này độc lập với cách hoạt động của quả bóng nhỏ. Nếu nó có gia tốc liên tục hoặc tốc độ không đổi, phần mã này có thể được tối ưu hóa và thay thế bằng một công thức đơn giản).

left = 0 //the frame with no collision
right = 1 //the frame after collision
steps = 8 //or some other value, depending on how accurate you want it to be
while (steps > 0)
    checktime = left + (right - left) / 2
    if DistanceTest(checktime) is inside circle //if at the moment in the middle of the interval [left;right] the small circle is still inside the bigger one
        then left = checktime //the collision is after this moment of time
        else right = checktime //the collision is before
    steps -= 1
finaltime = left + (right - left) / 2 // the moment of time will be somewhere in between, so we take the moment in the middle of interval to have a small overall error

Khi bạn biết thời gian va chạm, hãy tính vị trí của hai vòng tròn ở lần cuối cùng và điểm va chạm cuối cùng là

CollisionX = (Xb - Xa)*R/(R-r) + Xa
CollisionY = (Yb - Ya)*R/(R-r) + Ya

Tôi đã thực hiện một bản demo của một quả bóng nảy trong một vòng tròn trên jsfiddle bằng thuật toán được mô tả bởi Sam Hocevar :

http://jsfiddle.net/klenwell/3ZdXf/

Đây là javascript xác định điểm liên lạc:

find_contact_point: function(world, ball) {
    // see https://gamedev.stackexchange.com/a/29658
    var A = world.point();
    var B = ball.point().subtract(ball.velocity());
    var C = ball.point();
    var R = world.r;
    var r = ball.r;

    var AB = B.subtract(A);
    var BC = C.subtract(B);
    var AB_len = AB.get_length();
    var BC_len = BC.get_length();

    var b = AB.dot(BC) / Math.pow(BC_len, 2) * -1;
    var c = (Math.pow(AB_len, 2) - Math.pow(R - r, 2)) / Math.pow(BC_len, 2);
    var d = b * b - c;
    var k = b - Math.sqrt(d);

    if ( k < 0 ) {
        k = b + Math.sqrt(d);
    }

    var BD = C.subtract(B);
    var BD_len = BC_len * k;
    BD.set_length(BD_len);

    var D = B.add(BD);
    return D;
}