Câu trả lời:
Biểu diễn bốn biến của một mặt phẳng là các hệ số trong đẳng thức
ax + bởi + cz = d
Điều này có thể được xem là N = ( a , b , c ) là một vectơ bình thường và d là một khoảng cách từ gốc tọa độ (tính theo đơn vị độ dài của N ) và chúng ta cũng có thể viết phương trình này là N · P = d , trong đó P = ( x , y , z ).
Biểu diễn này không cho phép xác định nguồn gốc cụ thể của máy bay - các mặt phẳng toán học không có nguồn gốc. (Tuy nhiên, vì N · P = d nên chúng ta có thể đặt P = ( d | N | -2 ) N và lấy một điểm cụ thể trên mặt phẳng: điểm gần nhất với điểm gốc của hệ tọa độ .)
Nếu bạn thay đổi = thành <hoặc>, bạn mô tả "nửa không gian", có thể được sử dụng cho những thứ như sàn vô hạn trong động cơ vật lý; nửa không gian đối diện thu được bằng cách phủ định cả N và d .
"Điển hình" là một từ khá chủ quan, theo kinh nghiệm của tôi, có nhiều cách khác nhau để mô tả một mặt phẳng trong không gian 3D phổ biến hơn do các đặc tính mà các công trình đó thể hiện.
Về câu hỏi của bạn, có thể sử dụng 4 giá trị thực để xác định mặt phẳng trong không gian 3D. Như bạn đã chỉ ra, a, b, c có thể là các thành phần của vectơ vuông góc với mặt phẳng mong muốn. Nếu N = (a, b, c) là vectơ vuông góc của chúng ta, bạn có thể tìm thấy một điểm trong mặt phẳng của bạn là P = d N đối với một số d thực và dương. Ở đây bạn nói rằng d là khoảng cách từ gốc tính theo N ; nếu N là một vectơ đơn vị, thì d là khoảng cách giữa gốc tọa độ và mặt phẳng của bạn theo cách mà thuật ngữ "khoảng cách" thường có nghĩa.
Đáng ngạc nhiên là bạn có thể xác định bất kỳ mặt phẳng định hướng mặt phẳng có thể nào bạn có thể sử dụng giá trị âm của d ; làm như vậy bạn mất đi ý nghĩa trực tiếp của d là khoảng cách cho đến khi bạn đặt nó vào một giá trị tuyệt đối ( | d | ).
Theo như tôi biết thì một mặt phẳng thường được xác định bởi một vị trí, vì đã cho chúng ta biết nguồn gốc ở đâu và một điểm bình thường hướng lên từ mặt phẳng để cho chúng ta biết chúng ta có hướng nào. Đó là thực tế phổ biến để sử dụng hai vectơ cho việc này.
Với bốn biến, bạn không có đủ biến để xác định mặt phẳng không có gốc tại (0,0,0) hoặc không đủ biến để tính tất cả các phép quay.
Tối thiểu chúng ta sẽ cần cho một mặt phẳng trong không gian euclid 3D có nguồn gốc không ở (0,0,0) và có thể được định hướng theo bất cứ cách nào chúng ta muốn là 5. Hãy tưởng tượng hình cầu đơn vị, chúng ta cần 3 biến để xác định vị trí gốc của mặt cầu đơn vị là (X, Y, Z). Sau đó, chúng ta cần hai biến để xác định vị trí 'lên' của mặt phẳng. Chúng ta có thể làm điều này bằng cách sử dụng vectơ được mô tả bằng cách đi từ gốc của quả cầu về phía bề mặt của nó với một vĩ độ và kinh độ.
Làm thế nào bạn sẽ xây dựng lại một mặt phẳng chỉ với bốn biến tôi không biết. Có lẽ bạn đang làm việc trong một miền hẹp (mặt phẳng luôn ở (0,0,0) và bốn biến là một bậc bốn?) Hoặc các biến không phải là vô hướng? Trong bối cảnh nào bạn đang sử dụng này a, b, c, d?