Chiều dài đường cong vòng cung Bezier

Xem thêm: câu hỏi tương tự trên Math.SE

Làm thế nào tôi có thể tìm thấy đường cong của đường cong Bezier? Ví dụ: đường cong Bezier tuyến tính có độ dài:

length = sqrt(pow(x[1] - x[0], 2) + pow(y[1] - y[0], 2));

Nhưng những gì về đường cong Bezier bậc hai, khối, hoặc n độ?

(Mục tiêu của tôi là ước tính độ phân giải lấy mẫu trước, vì vậy tôi không phải lãng phí thời gian để kiểm tra xem điểm tiếp theo có chạm vào điểm trước hay không.)

Một cách đơn giản cho Beziers hình khối là chia đường cong thành N đoạn và tính tổng độ dài của các đoạn.

Tuy nhiên, ngay khi bạn cần độ dài chỉ một phần của đường cong (ví dụ: tối đa 30% chiều dài), tham số hóa độ dài cung sẽ xuất hiện. Tôi đã đăng một câu trả lời khá dài về một trong những câu hỏi của riêng tôi về Béziers, với mã mẫu đơn giản.

Trong khi tôi đang trả lời các câu trả lời bạn đã có, tôi muốn thêm một cơ chế xấp xỉ đơn giản nhưng mạnh mẽ mà bạn có thể sử dụng cho bất kỳ đường cong Bézier nào: Bạn liên tục chia nhỏ đường cong bằng cách sử dụng phân khu de Casteljau cho đến khoảng cách tối đa của các điểm kiểm soát của một đường cong phụ đến đường cơ sở của đường cong phụ nằm dưới một số epsilon không đổi . Trong trường hợp đó, đường cong phụ có thể được xấp xỉ bởi đường cơ sở của nó.

Trên thực tế, tôi tin rằng đây là cách tiếp cận thường được thực hiện khi một hệ thống con đồ họa phải vẽ đường cong Bézier. Nhưng đừng trích dẫn tôi về điều này, hiện tại tôi không có tài liệu tham khảo.

Trong thực tế, nó sẽ trông như thế này: (ngoại trừ ngôn ngữ là không liên quan)

public static Line[] toLineStrip(BezierCurve bezierCurve, double epsilon) {
    ArrayList<Line> lines = new ArrayList<Line>();

    Stack<BezierCurve> parts = new Stack<BezierCurve>();
    parts.push(bezierCurve);

    while (!parts.isEmpty()) {
        BezierCurve curve = parts.pop();
        if (distanceToBaseline(curve) < epsilon) {
            lines.add(new Line(curve.get(0), curve.get(1)));
        } else {
            parts.addAll(curve.split(0.5));
        }
    }

    return lines.toArray(new Line[0]);
}

Độ dài vòng cung cho các đường cong Bezier chỉ là dạng đóng cho các đường thẳng và bậc hai. Đối với hình khối, nó không được đảm bảo để có một giải pháp khép kín. Lý do là độ dài cung được xác định bởi một tích phân triệt để, trong đó chỉ đóng cho đa thức bậc 2.

Chỉ để tham khảo: Độ dài của một Bezier bậc hai cho các điểm (a, p) (b, q) và (c, r) là

(a ^ 2 · (q ^ 2 - 2 · q · r + r ^ 2) + 2 · a · (r - q) · (b · (p - r) + c · (q - p)) + ( b · (p - r) + c · (q - p)) ^ 2) · LN ((√ (a ^ 2 - 2 · a · b + b ^ 2 + p ^ 2 - 2 · p · q + q ^ 2) · (a ^ 2 + 2 · a · (c - 2 · b) + 4 · b ^ 2 - 4 · b · c + c ^ 2 + (p - 2 · q + r) ^ 2) + a ^ 2 + a · (c - 3 · b) + 2 · b ^ 2 - b · c + (p - q) · (p - 2 · q + r)) / (√ (a ^ 2 + 2 · A · (c - 2 · b) + 4 · b ^ 2 - 4 · b · c + c ^ 2 + (p - 2 · q + r) ^ 2) · √ (b ^ 2 - 2 · b · c + c ^ 2 + q ^ 2 - 2 · q · r + r ^ 2) + a · (b - c) - 2 · b ^ 2 + 3 · b · c - c ^ 2 + (p - 2 · q + r) · (q - r))) / (a ​​^ 2 + 2 · a · (c - 2 · b) + 4 · b ^ 2 - 4 · b · c + c ^ 2 + (p - 2 · Q + r) ^ 2) ^ (3/2) + (√ (a ^ 2 - 2 · a · b + b ^ 2 + p ^ 2 - 2 · p · q + q ^ 2) · (a ^ 2 + a · (c - 3 · b) + 2 · b ^ 2 - b · c + (p - q) · (p - 2 · q + r)) - √ (b ^ 2 - 2 · b · c + c ^ 2 + q ^ 2 - 2 · q · r + r ^ 2) · (a · (b - c) - 2 · b ^ 2 + 3 · b · c - c ^ 2 + (p - 2 · q + r) · (q - r))) / (a ​​^ 2 + 2 · a · (c - 2 · b) + 4 · b ^ 2 - 4 · b · c + c ^ 2 + (p - 2 · Q + r) ^ 2)

Trong đó LN là logarit tự nhiên và ^ biểu thị sức mạnh và căn bậc hai.

Do đó, nên dễ dàng hơn và rẻ hơn xấp xỉ cung theo một số quy tắc khác, như đa giác hoặc sơ đồ tích hợp như quy tắc của Simpson, bởi vì căn bậc hai LN là các hoạt động đắt tiền.

Tôi đã tìm ra biểu thức đóng của độ dài cho Bezier 3 điểm (bên dưới). Tôi đã không cố gắng tạo ra một hình thức đóng cho hơn 4 điểm. Điều này rất có thể sẽ khó khăn hoặc phức tạp để đại diện và xử lý. Tuy nhiên, một kỹ thuật xấp xỉ bằng số như thuật toán tích hợp Runge-Kutta sẽ hoạt động khá tốt bằng cách tích hợp bằng công thức độ dài cung . Câu hỏi và trả lời của tôi về RK45 trên MSE có thể giúp triển khai RK45.

Dưới đây là một số mã Java cho chiều dài hồ quang của một 3 điểm Bezier, với các điểm a, b, và c.

    v.x = 2*(b.x - a.x);
    v.y = 2*(b.y - a.y);
    w.x = c.x - 2*b.x + a.x;
    w.y = c.y - 2*b.y + a.y;

    uu = 4*(w.x*w.x + w.y*w.y);

    if(uu < 0.00001)
    {
        return (float) Math.sqrt((c.x - a.x)*(c.x - a.x) + (c.y - a.y)*(c.y - a.y));
    }

    vv = 4*(v.x*w.x + v.y*w.y);
    ww = v.x*v.x + v.y*v.y;

    t1 = (float) (2*Math.sqrt(uu*(uu + vv + ww)));
    t2 = 2*uu+vv;
    t3 = vv*vv - 4*uu*ww;
    t4 = (float) (2*Math.sqrt(uu*ww));

    return (float) ((t1*t2 - t3*Math.log(t2+t1) -(vv*t4 - t3*Math.log(vv+t4))) / (8*Math.pow(uu, 1.5)));