Ánh xạ pixel-to-RA / DEC trong chụp ảnh thiên văn số hóa

Tôi có một hình ảnh 1443x998 của các ngôi sao (chụp với camera 35mm và sau đó được quét) với các ngôi sao sau tại các vị trí pixel sau:

Altair x=782, y=532 [19h50m46.9990s RA, +08 52'05.959'' DEC] 
Sualocin, x=311, y=146 [20h 39m 38.287s +15 54'43.49'' DEC] 
Denebokab, x=1023, y=815 [19h25m29.9005s +03 06' 53.191'' DEC] 

Hàm toán học nào chuyển đổi vị trí pixel thành RA / DEC và ngược lại? Ghi chú:

• Những ngôi sao sáng là những đốm màu trong bức tranh; tọa độ ở trên gần như là trung tâm của blob, nhưng có thể bị tắt bởi + -2 pixel.

• Tôi biết tôi có thể xoay quả cầu thiên thể để tâm ảnh của tôi có tọa độ cực 0,0. Vì vậy, câu hỏi thực sự là "làm thế nào để tìm vòng quay này" (nhưng xem điểm tiếp theo).

• Nếu độ cao / góc phương vị là tuyến tính trong ảnh, điều này sẽ dễ dàng (er), nhưng chúng không phải: Đo khoảng cách góc bằng ảnh

• Tôi có thể cung cấp vị trí pixel của nhiều ngôi sao hơn nếu điều đó có ích. Tôi tin rằng 3 là đủ, nhưng tôi có thể sai.

• Tôi đã cố gắng chọn 3 ngôi sao được "trải ra" trên bức ảnh (vì tôi nghĩ rằng điều đó làm giảm lỗi, không chắc chắn), nhưng tôi không chắc là mình đã thành công.

• Tôi đang làm điều này cho một số hình ảnh và muốn một phương pháp chung.

• Làm điều này sẽ giúp tôi xác định các ngôi sao mờ hơn / vật thể Messier / vv trong ảnh.

• Tôi chắc chắn rất nhiều nhà nhiếp ảnh thiên văn muốn làm điều này, nhưng chưa tìm thấy bất kỳ phần mềm hiện có nào làm việc này.

EDIT: Cảm ơn, whuber! Phép chiếu gnomonic là những gì tôi đã thiếu. Tôi đã thực hiện điều này với giả định là một phép biến đổi tuyến tính:

(* convert RA/DEC to xyz coords on celestial psuedo-sphere of radius 1 *) 
radecxyz[ra_,dec_] = 
{Cos[ra/12*Pi]*Cos[dec/180*Pi],Sin[ra/12*Pi]*Cos[dec/180*Pi],Sin[dec/180*Pi]}; 

(* I no longer have any idea how this works *) 
astrosolve[x_,y_,z_,xwid_,ywid_] := Module[{a,m,ans,nullans}, 
m=Array[a,{2,3}]; 
temp=Solve[{ 
m.radecxyz[x[[1]],x[[2]]]=={x[[3]]-xwid/2,x[[4]]-ywid/2}, 
m.radecxyz[y[[1]],y[[2]]]=={y[[3]]-xwid/2,y[[4]]-ywid/2}, 
m.radecxyz[z[[1]],z[[2]]]=={z[[3]]-xwid/2,z[[4]]-ywid/2} 
}]; 
ans = m /. Flatten[temp]; 
nullans=Flatten[NullSpace[ans]]; 
If[nullans.radecxyz[x[[1]],x[[2]]]<0,nullans=-nullans]; 
Return[{ans,nullans}]; 
]; 

trong đó x, y và z là mỗi danh sách 4 phần tử bao gồm các ngôi sao RA, suy giảm, tọa độ x trên hình ảnh và tọa độ y trên hình ảnh. xwid và ywid là chiều rộng và chiều cao của hình ảnh. Trong trường hợp này:

astrosolve[ 
 {19.8463886110, 8.8683219443, 782, 532}, 
 {20.6606352777, 15.9120805555, 311, 146}, 
 {19.4249723610, 3.1147752777, 1023, 815}, 
 1443, 998] 

{ 
 {{-2250.51, -1182.52, 385.689},  {-166.12, -543.746, -2376.73}},  
 {0.480698, -0.861509, 0.163497} 
} 

Bây giờ, đề cập đến "{-2250.51, -1182.52, 385.689}" là $ frow, "{-166.12, -543.746, -2376.73}" là $ srow và "{0.480698, -0.861509, 0.163497}" là $ null chương trình con PHP này dịch RA / DEC thành tọa độ xy:

# radecxy(ra,dec): converts ra/dec to x,y using a quasi-linear transformation 

function radecxy($ra,$dec) { 
    global $null,$frow,$srow,$xwid,$ywid; 
    list($x,$y,$z)=array(cos($dec)*cos($ra),cos($dec)*sin($ra),sin($dec)); 

    $dotprod=$null[0]*$x+$null[1]*$y+$null[2]*$z; 
    if ($dotprod<0) {return(array(-1,-1));}

 list($fx,$fy)  = array($frow[0]*$x+$frow[1]*$y+$frow[2]*$z,$srow[0]*$x+$srow[1]*$y+$srow[2]*$z); 
    $fx+=$xwid/2; 
    $fy+=$ywid/2; 
    if ($fx<0 || $fy<0 || $fx>$xwid || $fy>$ywid) { 
        return(array(-1,-1)); 
    } else { 
        return(array($fx,$fy)); 
    } 
} 

Đáng buồn thay, tôi không còn biết tại sao điều này hoạt động, nhưng sử dụng nó + thêm các vị trí sao đã biết sẽ mang lại kết quả chấp nhận được (sử dụng "xem hình ảnh" để xem kích thước đầy đủ):

Tuy nhiên, như bạn có thể thấy, kết quả không hoàn hảo, thuyết phục tôi rằng một phép biến đổi tuyến tính không phải là câu trả lời đúng. Tôi nghĩ rằng gnomonic có thể là chén thánh tôi đang tìm kiếm.

Tôi sẽ phác thảo một cách tiếp cận nghiêm ngặt và chỉ ra phần mềm nào có thể giúp với nó. Hầu hết điều này sẽ tiếp tuyến với lợi ích của trang web nhiếp ảnh, nhưng vì có một số hiểu biết hữu ích áp dụng cho mọi tình huống trong đó các địa điểm sẽ được ước tính từ các phép đo trên ảnh, trang web này có vẻ là một nơi hợp lý để phân tích như vậy.

Chụp ảnh (với một thấu kính đã được sửa cho biến dạng) chiếu quả cầu thiên thể qua tiêu điểm của thấu kính lên mặt phẳng của cảm biến. Đây là một khía cạnh xiên của một phép chiếu gnomonic .

Về mặt toán học, việc chuyển đổi từ (RA, DEC) tiến hành thông qua một loạt các bước:

1. Chuyển đổi (RA, DEC) sang tọa độ hình cầu. RA phải được chuyển đổi từ giờ-phút-giây thành độ (hoặc radian) và DEC phải được chuyển đổi từ độ-phút giây thành độ (hoặc radian), hãy nhớ rằng đó là độ cao trên mặt phẳng, không phải là góc từ cực bắc (đó là quy ước tọa độ hình cầu thông thường). Cả hai chuyển đổi là số học đơn giản.

2. Tính tọa độ (x, y, z) cho tọa độ hình cầu của các ngôi sao. Đây là một chuyển đổi tọa độ tiêu chuẩn (liên quan đến lượng giác đơn giản).

3. Xoay quả cầu thiên thể để căn chỉnh các cực của nó với trục thấu kính. Đây là một chuyển đổi tuyến tính.

4. Xoay quả cầu thiên thể xung quanh các cực của nó để phù hợp với hướng của máy ảnh (một phép biến đổi tuyến tính khác).

5. Đặt mặt phẳng hình ảnh ở độ cao không đổi z trên tiêu điểm, vẽ các tia sáng từ các ngôi sao tại (x, y, z) qua tiêu điểm cho đến khi chúng chặn mặt phẳng. (Đây là phép chiếu gnomonic và, về bản chất, nó mang tính phóng xạ và không tuyến tính.)

[Trong hình, được dự định là mặt cắt ngang qua trục của ống kính,

• A là tâm điểm.
• Hình bán nguyệt BCD là phần có thể nhìn thấy của thiên thể.
• Điểm AC dọc theo trục của thấu kính.
• E, F và G là các vị trí sao.
• EE, FF và GG là các vị trí tương ứng của chúng trên quả cầu thiên thể (vô hình).
• E ', F' và G 'là hình ảnh của chúng trên cảm biến KL (sao cho EE', FF 'và GG' là đường đi của các tia sáng từ các ngôi sao đến cảm biến).
• AD là đường chân trời mà từ đó suy giảm được đo.
• Alpha là sự suy giảm của sao E (hoặc, tương đương, tọa độ góc của EE). Sao F và G có độ phân giải tương tự (không hiển thị).

Nhiệm vụ của chúng tôi là tìm mối quan hệ toán học giữa các tọa độ góc cho E, F và G - được giả định là có độ chính xác cao - chẳng hạn như alpha và tọa độ của ảnh E ', F' và G ', được đo tính bằng pixel dọc theo cảm biến. Khi được tìm thấy, mối quan hệ này có thể được đảo ngược như được mô tả dưới đây để ước tính tọa độ góc của các thiên thể từ vị trí hình ảnh của chúng trên cảm biến. Không hiển thị, để đơn giản, là độ phóng đại của ống kính. Với ống kính không bị méo, điều này sẽ có tác dụng thay đổi kích thước đồng đều các tọa độ của E ', F' và G 'so với tâm của cảm biến.]

Quy trình này mô tả cách ánh sáng chiếu từ một ngôi sao lên cảm biến để có một ống kính đơn giản hoàn hảo. Nó liên quan đến các tham số (chưa biết) này, sẽ cần được xác định:

• Ba góc trong (3) và (4) mô tả hướng ống kính và camera.

• Một yếu tố tỷ lệ trong (5) mô tả các hiệu ứng kết hợp về kích thước của cảm biến, khoảng cách từ tiêu điểm và độ phóng đại của ống kính.

Do phép chiếu (5), đây là một phép biến đổi phi tuyến phức tạp nói chung, nhưng nó có một mô tả toán học xác định. Nếu chúng ta để x = (RA, DEC) chỉ định vị trí của một ngôi sao, hãy để theta biểu thị bốn tham số cho quá trình tạo ảnh và để y = (cột, hàng) biểu thị tọa độ pixel, sau đó chúng ta có thể viết một cách trừu tượng nhưng đơn giản hơn

y = f (x, theta).

Tiếp theo - và điều này rất quan trọng - chúng ta cần tính đến các lỗi. Các ngôi sao hình ảnh không ở vị trí chính xác. Do đó, chúng tôi phải bao gồm một thuật ngữ lỗi trong công thức của chúng tôi và nó thông thường (từ khoảng năm 1800) để mô hình hóa lỗi này một cách xác suất. Công thức mới là

y = f (x, theta) + e

Khi ống kính không bị méo, giá trị mong đợi của e là 0 và độ lệch chuẩn ( sigma ) của nó đo kích thước lỗi điển hình. Thật hợp lý khi giả sử các e được phân phối bình thường, với độ lệch chuẩn xấp xỉ bằng nhau (điều này không đúng, nhưng đối với phân tích ban đầu thì đó là một giả định hợp lý) và chúng ta có thể hy vọng các lỗi này độc lập với nhau về mặt thống kê (một lần nữa là không đúng nhưng đó là một giả định khởi đầu tốt). Điều này biện minh cho một giải pháp bình phương tối thiểu bằng khả năng tối đa . Lên đến một hằng số chung, có giá trị mà chúng ta không cần biết, xác suất nhật ký của bất kỳ quan sát cụ thể (x, y) nào bằng

- | f (x, theta) - y | ^ 2 / (2 sigma ^ 2) - 2 log (sigma).

(Các thanh giá trị tuyệt đối biểu thị khoảng cách Euclide trong mặt phẳng hình ảnh, được tính như bình thường với Định lý Pythagore.)

Nhờ tính độc lập giả định của các lỗi, xác suất nhật ký của bộ dữ liệu cho một hình ảnh là tổng của các giá trị này. Đây là "khả năng đăng nhập." Các ước tính khả năng tối đa (ML) của các tham số theta và sigma (tất cả năm số) là những giá trị tối đa hóa khả năng đăng nhập.

Chúng ta có thể, và nên, đi xa hơn. Lý thuyết về ML cũng chỉ ra làm thế nào để có được khoảng tin cậy cho các ước tính. Theo trực giác, các lỗi trong quan sát của chúng tôi tạo ra một chút không chắc chắn trong các giá trị chung của các góc, hệ số tỷ lệ và độ lệch chuẩn. Chúng tôi cần các giá trị này để ước tính RA và DEC cho bất kỳ pixel nào trong hình ảnh của chúng tôi. Bằng cách sử dụng các giá trị không chắc chắn, điều không thể tránh khỏi, chúng tôi sẽ nhận được kết quả không chắc chắn. Hơn nữa, nếu chúng ta xác định một pixel trong hình ảnh của mình bằng cách nhìn vào một đốm sáng khuếch tán (nằm rải rác trên khoảng pi * sigma ^ 2 pixel hoàn toàn), sẽ có thêm sự không chắc chắn trong tọa độ pixel. Chung hai hình thức không chắc chắn này kết hợp. Điều này nghĩa làđộ không đảm bảo ròng khi ước tính RA và DEC của bất kỳ đốm sáng nào trên ảnh lớn hơn bạn đoán.

Cuối cùng, khi bạn lấy số đo ra khỏi hình ảnh và sử dụng số liệu đó để ước tính tọa độ thực của một ngôi sao hoặc thiên thể, bạn đang thực hiện hồi quy nghịch đảo , đây là một hình thức hiệu chuẩn dụng cụ. Hồi quy nghịch đảo là một thủ tục để giải thích cho những điều không chắc chắn mà tôi vừa mô tả. Đầu ra của nó tất nhiên bao gồm các tọa độ sao ước tính cho bất kỳ đốm pixel nào trên ảnh. Nó cũng bao gồm một vòng tọa độ xung quanh ước tính đó cũng phù hợp với vị trí của đốm màu đó. (Đây là một "khoảng dự đoán nghịch đảo" chung hoặc một tập hợp "giới hạn fiducial" cho RA và DEC của blob.) phù hợp với thông tin trong hình ảnh của bạn. Rõ ràng điều này có thể có giá trị hơn một thủ tục đơn giản ước tính - đôi khi không chính xác - chỉ một bộ tọa độ duy nhất.

Tóm lại, những gì cần thiết ở đây là phần mềm để

• Thực hiện tối ưu hóa phi tuyến theo yêu cầu của ML.

• Ước tính sai số chuẩn trong dự toán.

• Thực hiện hồi quy nghịch đảo.

Chuyên môn với phần mềm thích hợp, chẳng hạn như lệnh ML của Stata hoặc Mathicala , là điều cần thiết nếu bạn tự viết mã này.

Bất kể chuyên môn của bạn là gì, đây là một số kết luận bạn có thể sử dụng trong các chiến lược hình ảnh của mình:

• Độ chính xác của hình ảnh để khắc phục bất kỳ đối tượng nào không bao giờ có thể lớn hơn độ chính xác vốn có trong hình ảnh (được đo bằng sigma , kích thước điển hình của một điểm sáng trên hình ảnh).

• Bạn có thể tiến gần đến mức độ chính xác này bằng cách xác định nhiều ngôi sao đã biết, không chỉ ba. Điều này làm giảm độ không đảm bảo trong chuyển đổi từ bầu trời thành hình ảnh gần như bằng không nếu bạn có đủ các ngôi sao đã biết nằm trong ảnh.

• Chính xác là bạn muốn các ngôi sao tham chiếu được trải đều trên hình ảnh. Điều quan trọng là chúng không được xếp hàng (thật không may, là trường hợp với ba địa điểm được đưa ra trong câu hỏi). Nếu bạn có thể đủ khả năng để xác định vị trí chỉ ba ngôi sao, hãy đưa chúng vào một hình tam giác đẹp. Khi các ngôi sao xếp hàng, phân tích thống kê chỉ ra rằng có một sự không chắc chắn lớn về các vị trí theo hướng vuông góc với đường thẳng. Trong ví dụ cụ thể này, lỗi ước tính ( sigma ) rộng hàng trăm pixel. Có thêm một ngôi sao để tạo ra một tam giác tốt nên giảm lỗi này xuống một hoặc hai pixel.

Một số suy nghĩ chia tay:

• Có thể phát hiện và thậm chí sửa quang sai ống kính bằng cách thực hiện phân tích thống kê sâu rộng hơn. Ý tưởng là vẽ các độ lệch giữa vị trí dự kiến ​​và thực tế của các ngôi sao trên hình ảnh. Đây là giống như dữ liệu bản đồ "cong vênh" hoặc "hội nghị địa lý ". Là một giải pháp nhanh chóng và bẩn thỉu, bạn có thể nhấn GIS hoặc phần mềm xử lý hình ảnh (chẳng hạn như ENVI ) vào dịch vụ để đo lường địa lý (hoặc chiêm tinh) bất kỳ hình ảnh nào. Phần mềm như vậy thường không thực hiện các ước tính ML về các phép biến đổi phóng xạ, nhưng nó có thể thực hiện các xấp xỉ đa thức bậc cao. Một phép biến đổi đa thức bậc 2 hoặc bậc 3 có thể thực hiện công việc đủ tốt, tùy thuộc vào ứng dụng của bạn.

• Có thể cải thiện độ chính xác bằng cách kết hợp nhiều hình ảnh của cùng một đối tượng.

Để làm điều này với cùng độ chính xác mà các nhà thiên văn học chuyên nghiệp thực hiện sẽ thực sự khó khăn. Nó sẽ đòi hỏi bạn phải có đặc tính cực kỳ chính xác về các biến dạng do ống kính của bạn tạo ra và sự không hoàn hảo trong cảm biến của máy ảnh. Tuy nhiên, có lẽ bạn không cần mức độ chính xác đó. Bạn nên cho rằng ống kính của mình không gây ra hiện tượng méo hình lớn (đây là một giả định tốt cho ống kính chất lượng) và cảm biến máy ảnh của bạn khá gần với lưới hoàn toàn thông thường (đây là một giả định rất tốt cho thậm chí là một máy ảnh giá rẻ).

Tất cả những gì còn lại là để thực hiện chuyển đổi tọa độ mô tả hướng của máy ảnh, tức là hướng nó được chỉ và mức độ mà nó được xoay.

Những gì bạn đang tìm kiếm sau đó, được gọi là một phép biến đổi affine , hoặc một bản đồ affine. Đây chỉ là một tên ưa thích cho một ma trận mà theo đó bạn sẽ nhân các tọa độ pixel của mình để có được tọa độ thiên văn. Trong trường hợp bản đồ affine, phép biến đổi này có thể bao gồm bất kỳ mức độ xoay, tỷ lệ, cắt và dịch thuật nào.

Ý nghĩa của thành phần xoay là khá rõ ràng. Yếu tố tỷ lệ mô tả đơn giản là bao nhiêu bầu trời được bao phủ bởi mỗi pixel theo RA / Dec. Shear là một phép biến đổi sẽ làm cho hình ảnh của hình chữ nhật trở thành hình bình hành, nhưng không nên có bất kỳ hiệu ứng này trong hình ảnh của các vật thể ở vô cực (như các ngôi sao). Cuối cùng, đơn giản thành phần dịch thuật thêm phần bù vào tài khoản cho thực tế là pixel (x = 0, y = 0) trong hình ảnh của bạn có thể không tương ứng với (RA = 0, Dec = 0).

Vì bạn có 3 ngôi sao tham chiếu trong hình ảnh của mình, bạn có đủ thông tin để tính toán mối quan hệ giữa tọa độ pixel và RA / Dec mà bạn đang tìm kiếm. Điều này sẽ được thực hiện bằng cách phù hợp với bình phương tối thiểu tuyến tính (không phải bình phương tối thiểu phi tuyến tính như đã đề cập ở trên) để xác định các giá trị của các thành phần ma trận phù hợp nhất với tọa độ pixel của bạn với RA / Dec đã biết của các sao tham chiếu. Khi ma trận được thiết lập, bạn có thể áp dụng nó cho tọa độ pixel của các ngôi sao khác để lấy RA / Dec của chúng.

Mặc dù tôi có thể làm điều này tương đối dễ dàng, nhưng tôi không may làm thế nào để giúp bạn làm điều đó. Nó sẽ liên quan đến một số kỹ năng toán học vượt quá phạm vi của ảnh.SE. Tôi là một kỹ sư quang học, nhưng tôi không phải là một nhiếp ảnh gia; phần mềm tôi sẽ sử dụng cho phần mềm này được thiết kế cho các kỹ sư để thực hiện tính toán số nặng, và thực sự không phải là một công cụ chụp ảnh. Có thể có cách để làm điều này bằng cách sử dụng các gói phần mềm hướng đến các nhiếp ảnh gia, nhưng tôi không biết về chúng.