Đây không phải là một câu trả lời thực sự, mà là một sự mở rộng về tính toán các mẫu nhiễu xạ từ câu trả lời của @ whuber .
Đầu tiên, chúng ta có tích phân nhiễu xạ. Hàm U p mô tả biên độ phức tạp trong mặt phẳng quan sát ở khoảng cách ( x p , y p ) từ trục quang và khoảng cách L z từ nguồn (một số loại vật thể nhiễu xạ, ví dụ như lỗ kim, khẩu độ camera, v.v. ) U s là hàm mô tả biên độ phức tạp trong mặt phẳng nguồn; đối với một lỗ kim cực nhỏ, bạn có thể sử dụng hàm delta dirac . Biến thứ ba trong U s là 0 vì để thuận tiện, chúng ta nói đối tượng nhiễu xạ là gốc của hệ tọa độ. Các biến x svà y s trong sổ sách đối số của nó cho thực tế rằng đối tượng có thể có một số kích thước trong mặt phẳng x x y .
Điều này có thể trông không giống như một tích phân khủng khiếp như vậy, nhưng cả k và r sp đều chỉ là ký hiệu cho một cái gì đó lớn hơn:
Tích hợp một hàm với một gốc với các số hạng vuông trong nó cả trong tử số của e và mẫu số là một tích phân rất khó chịu thực sự.
Người ta đơn giản hóa tích phân bằng cách loại bỏ các căn bậc hai bằng cách sử dụng biểu diễn chuỗi nhị thức và cắt bớt các số hạng bậc cao hơn. Các Fraunhofer thể thiếu giữ khi người ta cần 2 điều kiện; các thiếu Fresnel là khi người ta cần 3 điều kiện. Có một số nuanuce để chứng minh điều đó, nhưng nó nằm ngoài phạm vi của điều này.
Khi chúng ta bắt đầu thao tác những thứ này để có các tích phân nhiễu xạ Fresnel và Fraunhofer, chúng ta nhận được ba đại lượng.
Nếu NFD * ( θ d ) 2 << 1, tích phân Fresnel là hợp lệ. Nếu đó là sự thật và Nfs << 1, tích phân Fraunhofer giữ.
Hai tích phân là:
Fresnel:
Fraunhofer:
Ở đâu
,
và ν x và ν y là kích thước của nguồn theo một chiều nhất định chia cho bước sóng ánh sáng nhân với khoảng cách đến nguồn. Thông thường nó sẽ được viết ν s = d / ( λx s ).
Để trả lời câu hỏi của @ whuber về lý do tại sao bạn có thể cần cái này hay cái kia, mặc dù những gì Wikipedia nêu ra, đòi hỏi một chút suy nghĩ.
Nhận xét "ở mặt phẳng tiêu cự của ống kính hình ảnh ..." có lẽ được lấy từ sách giáo khoa, và hàm ý là nguồn gốc của nhiễu xạ (tức là lỗ kim, khe, bất cứ điều gì - những phương trình này không phù hợp với hình học của nguồn) là rất xa. Thật không may, ống kính không chỉ có thể ở bất kỳ khoảng cách nào và gần hơn so với tích phân Fraunhofer cho phép, mà nhiễu xạ cũng bắt nguồn từ bên trong hệ thống ống kính cho máy ảnh.
Mô hình chính xác cho nhiễu xạ từ khẩu độ của máy ảnh là một n -sided khẩu độ ( n là # lưỡi khẩu độ trong ống kính) được chiếu sáng bởi một nguồn điểm tại vị trí của điều trong hình ảnh sản xuất mô hình starburst.
Khi các vật thể ở rất xa (một vài mét sẽ ổn), các nguồn điểm hoạt động như thể chúng là sóng phẳng và các dẫn xuất được thực hiện trên Wikipedia là ổn.
Ví dụ, khẩu độ cho ống kính gauss 50 mm kép nằm trong khoảng 40 ~ 60 mm từ mặt phẳng hình ảnh. Nó được chụp bằng một vài thấu kính phía sau điểm dừng vật lý đến một khoảng cách lớn hơn khoảng cách đó (đây là vị trí của đồng tử thoát), nhưng đồng tử thoát không phải là nơi có chức năng U s ( x s , y s , 0) trung tâm!
Đối với ánh sáng khẩu độ 500nm và bán kính 1 mm, chúng ta có thể kiểm tra xem tích phân Fraunhofer có hợp lệ không. Nó bằng (0,001) 2 / (500 * 10 -9 * 50 * 10 -3 ) hoặc 40, là >> 1 và tích phân Fraunhofer không hợp lệ. Đối với ánh sáng khả kiến, miễn là điểm dừng khẩu độ theo thứ tự milimet từ máy dò, Nfs sẽ không bao giờ ở bất cứ đâu gần 1, chứ đừng nói là nhỏ hơn nhiều.
Các phương trình này có thể khác một chút so với các phương trình trên Wikipedia; Tôi sẽ tham khảo OPT 261, Can thiệp & Nhiễu xạ tại Viện Quang học của Đại học Rochester do giáo sư Vamivakas giảng dạy. Các phương trình trong Quang học của Hecht nên khá giống nhau. Các phương trình dành cho biên độ phức tạp , để có được Irradiance (còn gọi là cường độ hoặc độ sáng), bạn sẽ lấy bình phương độ lớn của kết quả.
