Làm thế nào để toán tử dấu gạch chéo MATLAB giải cho ma trận vuông?

Tôi đã so sánh một vài mã của tôi với mã MATLAB "chứng khoán". Tôi ngạc nhiên với kết quả.

Tôi đã chạy một mã mẫu (Ma trận thưa thớt)

n = 5000;
a = diag(rand(n,1));
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('Inv(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

Các kết quả :

    For a\b
    Elapsed time is 0.052838 seconds.

    For LU
    Elapsed time is 7.441331 seconds.

    For Conj Grad
    Elapsed time is 3.819182 seconds.

    Inv(A)*B
    Elapsed time is 38.511110 seconds.

Đối với ma trận dày đặc:

n = 2000;
a = rand(n,n);
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('For INV(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

Các kết quả:

For a\b
Elapsed time is 0.575926 seconds.

For LU
Elapsed time is 0.654287 seconds.

For Conj Grad
Elapsed time is 9.875896 seconds.

Inv(A)*B
Elapsed time is 1.648074 seconds.

Làm thế quái nào là một \ b tuyệt vời như vậy?

Trong Matlab, lệnh '\' gọi một thuật toán phụ thuộc vào cấu trúc của ma trận A và bao gồm các kiểm tra (chi phí nhỏ) trên các thuộc tính của A.

1. Nếu A thưa thớt và có dải, sử dụng một bộ giải dải.
2. Nếu A là ma trận tam giác trên hoặc dưới, sử dụng thuật toán thay thế ngược.
3. Nếu A đối xứng và có các yếu tố đường chéo dương thực sự, hãy thử hệ số nhân Cholesky. Nếu A thưa thớt, sử dụng sắp xếp lại trước để giảm thiểu điền vào.
4. Nếu không có tiêu chí nào ở trên được đáp ứng, hãy thực hiện hệ số tam giác tổng quát bằng cách sử dụng loại bỏ Gaussian với trục xoay một phần.
5. Nếu A thưa thớt thì sử dụng thư viện UMFPACK.
6. Nếu A không vuông, sử dụng thuật toán dựa trên yếu tố QR cho các hệ thống không xác định.

Để giảm chi phí, có thể sử dụng lệnh linsolve trong Matlab và tự mình chọn một người giải quyết phù hợp trong số các tùy chọn này.

Nếu bạn muốn xem những gì a\blàm cho ma trận cụ thể của bạn, bạn có thể thiết lập spparms('spumoni',1)và tìm ra chính xác thuật toán mà bạn ấn tượng. Ví dụ:

spparms('spumoni',1);
A = delsq(numgrid('B',256));
b = rand(size(A,2),1);
mldivide(A,b);  % another way to write A\b

sẽ xuất

sp\: bandwidth = 254+1+254.
sp\: is A diagonal? no.
sp\: is band density (0.01) > bandden (0.50) to try banded solver? no.
sp\: is A triangular? no.
sp\: is A morally triangular? no.
sp\: is A a candidate for Cholesky (symmetric, real positive diagonal)? yes.
sp\: is CHOLMOD's symbolic Cholesky factorization (with automatic reordering) successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's numeric Cholesky factorization successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's triangular solve successful? yes.

vì vậy tôi có thể thấy rằng "\" đã kết thúc bằng cách sử dụng "CHOLMOD" trong trường hợp này.

Đối với các ma trận thưa thớt, Matlab sử dụng UMFPACK cho \hoạt động "", trong ví dụ của bạn, về cơ bản chạy qua các giá trị của a, đảo ngược chúng và nhân chúng với các giá trị của b. Tuy nhiên, đối với ví dụ này, bạn nên sử dụng b./diag(a), nhanh hơn rất nhiều.

Đối với các hệ thống dày đặc, toán tử dấu gạch chéo ngược phức tạp hơn một chút. Một mô tả ngắn gọn về những gì được thực hiện khi được đưa ra ở đây . Theo mô tả đó, trong ví dụ của bạn, Matlab sẽ giải quyết a\bbằng cách sử dụng thay thế ngược. Đối với ma trận vuông tổng quát, phân rã LU được sử dụng.

Theo nguyên tắc thông thường, nếu bạn có một ma trận thưa thớt có độ phức tạp hợp lý (nghĩa là, nó không phải là khuôn tô 5 điểm nhưng thực tế có thể là một sự rời rạc của các phương trình Stokes mà số lượng các số khác không trên mỗi hàng là lớn hơn 5), sau đó một bộ giải trực tiếp thưa thớt như UMFPACK thường đánh bại một bộ giải Krylov lặp nếu vấn đề không lớn hơn khoảng 100.000 ẩn số.

Nói cách khác, đối với hầu hết các ma trận thưa thớt do sự rời rạc 2d, một người giải trực tiếp là sự thay thế nhanh nhất. Chỉ đối với các vấn đề 3d mà bạn nhanh chóng nhận được hơn 100.000 ẩn số thì việc sử dụng một bộ giải lặp lại là điều bắt buộc.