Galerkin không liên tục: Ưu điểm và nhược điểm của Nodal vs Modal

Có hai cách tiếp cận chung để biểu diễn các giải pháp trong phương pháp galerkin không liên tục: nốt và phương thức.

1. Phương thức : Các giải pháp được đại diện bởi số tiền của hệ số phương thức nhân với một tập hợp các đa thức, ví dụ như nơi φ i là thường trực giao đa thức, ví dụ như Legendre . Một lợi thế của điều này là các đa thức trực giao tạo ra ma trận khối chéo.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$\phi_i$

2. Nodal : Các tế bào bao gồm nhiều nút mà trên đó giải pháp được xác định. Tái thiết của ô sau đó dựa trên việc khớp một đa thức nội suy, ví dụ trong đó là một đa thức Lagrange. Một lợi thế của điều này là bạn có thể định vị các nút của mình tại các điểm cầu phương và nhanh chóng đánh giá các tích phân.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$$l_i$

Trong bối cảnh ứng dụng song song có cấu trúc / không cấu trúc 3D quy mô lớn, phức tạp ( - DOF) với các mục tiêu linh hoạt, rõ ràng khi thực hiện và hiệu quả, các ưu điểm và nhược điểm so sánh của từng phương pháp là gì?10 $10^6$$10^9$

Tôi chắc chắn đã có tài liệu tốt ở ngoài đó, vì vậy nếu ai đó có thể chỉ cho tôi một thứ gì đó cũng tuyệt vời.

Sự cân bằng dưới đây áp dụng như nhau cho DG và cho các phần tử quang phổ (hoặc các phần tử hữu hạn -version).$p$

$p$

Các cơ sở nút đơn giản hóa định nghĩa về tính liên tục của phần tử, đơn giản hóa việc thực hiện các điều kiện biên, tiếp xúc và tương tự, dễ dàng hơn để vẽ và dẫn đến tốt hơn$h$tính độc hại trong các toán tử rời rạc (do đó cho phép sử dụng các chất làm mịn / tiền xử lý ít tốn kém hơn). Nó cũng đơn giản hơn để định nghĩa các khái niệm được sử dụng bởi người giải, chẳng hạn như các chế độ cơ thể cứng nhắc (chỉ sử dụng tọa độ nút) và để xác định các toán tử chuyển lưới nhất định như phát sinh trong các phương thức multigrid. Sự rời rạc nhúng cũng có sẵn để tiền điều kiện, mà không cần thay đổi cơ sở. Sự rời rạc của nút có thể sử dụng hiệu quả phương trình bậc hai (như với các phương pháp phần tử quang phổ), và sự tích hợp dưới mức tương ứng có thể tốt cho việc bảo tồn năng lượng. Khớp nối giữa các phần tử cho các phương trình bậc nhất là sperer cho các cơ sở nút, mặc dù các cơ sở phương thức khác thường được sửa đổi để có được độ thưa thớt như nhau.

Tôi tò mò muốn xem một số câu trả lời cho câu hỏi này, nhưng bằng cách nào đó không ai bận tâm trả lời ...

Về văn học, tôi thực sự thích cuốn sách Phương pháp yếu tố quang phổ / hp cho Động lực học tính toán (hiện tại cũng có phiên bản bìa mềm rẻ hơn) và cả cuốn sách Heraaven và Warburton . Hai điều này đi vào khá nhiều chi tiết sẽ giúp bạn thực hiện các phương pháp. Cuốn sách của Canuto, Hussaini, Quarteroni và Zang mang tính lý thuyết nhiều hơn. Cuốn này cũng có tập thứ hai "Phương pháp quang phổ: Tiến hóa thành hình học phức tạp và ứng dụng cho động lực học chất lỏng".

Tôi không làm việc với các phương pháp DG và tôi không phải là một chuyên gia để đánh giá các lợi thế của nốt so với phương thức. Cuốn sách của Karniadakis & Sherwin tập trung nhiều hơn vào các phương pháp với việc mở rộng phương thức liên tục . Trong loại phương thức này, bạn có nghĩa vụ phải sắp xếp lại các chế độ theo hai yếu tố lân cận theo cách sao cho các chế độ tương ứng trên giao diện khớp với nhau để duy trì tính liên tục của việc mở rộng toàn cầu. Ngoài ra, việc áp đặt các điều kiện biên đòi hỏi phải chú ý thêm vì các chế độ của bạn không được liên kết với một vị trí cụ thể trên ranh giới.

Tôi hy vọng ai đó quen thuộc với loại phương pháp này sẽ thêm chi tiết.