Tôi có một khái niệm rất cơ bản về số học khoảng (IA), nhưng nó dường như là một nhánh rất thú vị của khoa học tính toán cả về lý thuyết và thực tế. Rõ ràng là các ứng dụng rõ ràng được xác minh tính toán và các vấn đề không chính đáng, nhưng điều này quá trừu tượng. Vì có rất nhiều người tham gia vào các tính toán ứng dụng ở đây, tôi tò mò về các vấn đề trong thế giới thực khó giải quyết hoặc không thể giải quyết được nếu không có IA .
Câu trả lời:
Câu trả lời này một phần đáp ứng với nhận xét của JackPoulson (vì nó dài) và một phần trả lời câu hỏi.
Số học khoảng là một thủ tục tính toán để đưa ra các giới hạn nghiêm ngặt về số lượng tính toán, chỉ theo nghĩa là phần mở rộng khoảng của hàm có giá trị thực trong một khoảng bao quanh hình ảnh của hàm đó trong cùng khoảng đó. Không tính toán bất cứ điều gì, số học khoảng không thể cung cấp cho bạn cái nhìn sâu sắc về yếu tố nào ảnh hưởng đến sai số trong phép tính, trong khi các định lý trong cuốn sách của Higham và những người khác cung cấp cho bạn cái nhìn sâu sắc về các yếu tố ảnh hưởng đến sai số, với chi phí giới hạn yếu. Cấp, giới hạn thu được bằng cách sử dụng số học khoảng cũng có thể yếu, do vấn đề được gọi là phụ thuộc , nhưng đôi khi chúng mạnh hơn nhiều. Chẳng hạn, giới hạn khoảng thu được bằng cách sử dụng gói tích hợp COZY Infinitychặt chẽ hơn nhiều so với các loại giới hạn lỗi bạn sẽ nhận được khi tích hợp số từ kết quả của Dahlquist (xem Hairer, Wanner và Nørsett để biết chi tiết); những kết quả này (tôi đặc biệt đề cập đến các Định lý 10.2 và 10.6 trong Phần I) cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn về các nguồn lỗi, nhưng các giới hạn là yếu, trong khi các giới hạn sử dụng COZY có thể bị thắt chặt. (Họ sử dụng một số thủ thuật để giảm thiểu các vấn đề phụ thuộc.)
Tôi ngần ngại sử dụng từ "bằng chứng" khi mô tả số học khoảng thời gian nào. Có những bằng chứng liên quan đến số học khoảng, nhưng tính toán kết quả bằng cách sử dụng số học khoảng với làm tròn bên ngoài thực sự chỉ là một phương tiện ghi sổ để ràng buộc một cách bảo thủ phạm vi của hàm. Tính toán số học khoảng không phải là bằng chứng; chúng là một cách để tuyên truyền sự không chắc chắn.
Theo như các ứng dụng, ngoài công việc của Stadtherr trong kỹ thuật hóa học, số học khoảng cũng đã được sử dụng để tính giới hạn cho các thí nghiệm chùm hạt (xem công trình của Makino và Berz, được liên kết với trang web COZY Infinity), chúng đã được được sử dụng trong tối ưu hóa toàn cầu và các ứng dụng thiết kế kỹ thuật hóa học (trong số các ứng dụng khác) của Barton (liên kết là một danh sách các ấn phẩm), thiết kế tàu vũ trụ và tối ưu hóa toàn cầu (trong số những thứ khác) của Neumaier (một lần nữa, liên kết là một danh sách các ấn phẩm ), tối ưu hóa toàn cầu và giải quyết phương trình phi tuyến của Kearfott (một danh sách các ấn phẩm khác) và để định lượng không chắc chắn (nhiều nguồn khác nhau; Barton là một trong số đó).
Cuối cùng, từ chối trách nhiệm: Barton là một trong những cố vấn luận án của tôi.
Số học khoảng cho bạn một bằng chứng với sự chặt chẽ toán học.
Những ví dụ điển hình về các ứng dụng thực tế là công việc của Mark Stadtherr và nhóm nghiên cứu của ông. Cụ thể, tính toán cân bằng pha và tính ổn định được giải quyết thành công bằng các phương pháp khoảng.
Một bộ sưu tập điểm chuẩn tuyệt vời, có tham khảo nền tảng vật lý của họ, có tại trang web ALIAS .
Một tính năng khác của số học khoảng và khái quát hóa của nó là cho phép khám phá thích nghi miền của hàm. Do đó, nó có thể được sử dụng để mô hình hóa, xử lý và kết xuất hình học thích ứng, chỉ để lấy các ví dụ từ đồ họa máy tính.
Các phương pháp khoảng đã xuất hiện trong một số bằng chứng gần đây về các định lý toán học cứng như sự tồn tại của sự hỗn loạn trong bộ thu hút Lorenz và Giả thuyết Kepler. Xem http://www.cs.utep.edu/interval-comp/kearfottP Phổ.pdf để biết các ứng dụng này và các ứng dụng khác.
Interith arithologists rất hữu ích cho các thuật toán hình học. Các thuật toán hình học như vậy lấy đầu vào là một tập hợp các đối tượng hình học (ví dụ: tập hợp các điểm) và xây dựng cấu trúc dữ liệu tổ hợp (ví dụ: tam giác) dựa trên mối quan hệ không gian giữa các điểm. Các thuật toán này phụ thuộc vào một số lượng nhỏ các hàm, được gọi là 'vị ngữ', lấy đầu vào là một số đối tượng hình học cố định và trả về một giá trị riêng biệt (thường là một trong số 'ở trên, được căn chỉnh, bên dưới'). Các vị từ như vậy thường tương ứng với dấu hiệu của một yếu tố quyết định tọa độ của điểm.
Sử dụng số dấu phẩy động tiêu chuẩn là không đủ, vì nó có thể không tính toán chính xác dấu của định thức và thậm chí tệ hơn, trả về kết quả không liên tục (nghĩa là nói rằng A ở trên B VÀ B ở trên A, do đó làm cho thuật toán tạo ra một lộn xộn thay vì lưới!). Sử dụng một cách có hệ thống đa độ chính xác (như trong thư viện Đa chính xác Gnu và phần mở rộng MPFR của nó cho các số dấu phẩy động đa độ chính xác) hoạt động nhưng gây ra một hình phạt hiệu suất đáng kể. Khi vị từ hình học là dấu hiệu của một cái gì đó (như trong hầu hết các trường hợp), sử dụng khoảng thời gian cho phép người ta thực hiện một phép tính nhanh hơn, và sau đó chỉ khởi chạy phép tính đa độ mở rộng hơn nếu không có khoảng cách.
Cách tiếp cận như vậy được sử dụng trong một số mã hình học tính toán lớn (ví dụ CGAL).