Làm thế nào các wavelet có thể được áp dụng cho PDE?

Tôi muốn tìm hiểu làm thế nào các phương pháp wavelet có thể được áp dụng cho PDE, nhưng tiếc là tôi không biết một tài nguyên tốt để tìm hiểu về chủ đề này.

Dường như nhiều giới thiệu về wavelet tập trung vào lý thuyết nội suy, ví dụ, lắp ráp một tín hiệu bằng sự chồng chất của một vài sóng nhỏ. Các ứng dụng cho PDE đôi khi được đề cập, mà không đi sâu hơn vào chủ đề đó. Tôi quan tâm đến các bài viết tóm tắt hay cho những người đã xem WFT nhưng không có thêm kiến ​​thức nào về chủ đề đó. Tất nhiên, một bản tóm tắt tốt sẽ được xen kẽ, nếu bạn nghĩ rằng điều đó có thể được thực hiện.

Tôi đặc biệt quan tâm đến việc có ấn tượng loại câu hỏi thường xuất hiện. Ví dụ, tôi biết rằng các phần tử hữu hạn thường được áp dụng cho PDE trên miền giới hạn với ranh giới Lipschitz, đó là những câu hỏi điển hình trong việc chọn không gian ansatz (tuân thủ, không tuân thủ, hình học và tổ hợp), cách thiết lập lý thuyết hội tụ ( Trên thực tế, lý thuyết Galerkin không nên quá khác biệt đối với Wavelets) và tôi có một số trực giác mà những điều toán học là khả thi trong việc triển khai. Quan điểm mắt của một con chim trên Wavelets cho PDE sẽ rất hữu ích cho tôi.

Wavelets có các thuộc tính xấp xỉ đa độ phân giải đẹp, nhưng không đặc biệt phổ biến để giải quyết các PDE. Các lý do phổ biến nhất được trích dẫn là khó áp đặt các điều kiện biên, xử lý bất đẳng hướng không được phân bổ, đánh giá các thuật ngữ phi tuyến và hiệu quả.

Wavelets là người đầu tiên thu được kết quả hội tụ mạnh cho các phương pháp thích nghi hoàn toàn (xem Cohen, Dahmen và DeVore 2001 và 2002 ). Tuy nhiên, lý thuyết quan trọng này đã nhanh chóng được Binev, Dahmen và DeVore (2004) tiếp tục chứng minh một kết quả tương tự đối với các phương pháp phần tử hữu hạn thích ứng phổ biến hơn cho các vấn đề PDE truyền thống ở kích thước vừa phải. Các cơ sở của Wavelet là phổ biến cho các vấn đề chiều cao hơn, chẳng hạn như các phương pháp tenor thưa thớt cho PDEs ngẫu nhiên Schwab và Gittelson (2011) và cuộc thảo luận này .

Các toán tử vi phân đã giới hạn số điều kiện khi được biểu thị trong các cơ sở sóng con và tiền điều kiện với Jacobi (do đó các phương pháp Krylov hội tụ trong một số lần lặp không đổi độc lập với độ phân giải). Điều này có liên quan đến các phương pháp đa cấp phân cấp của Yserentant (1984), Bank, Dupont và Yserentant (1988) và các phương pháp khác. Lưu ý rằng các phương pháp đa bội nhân có các đặc tính hội tụ vượt trội so với các phương thức cộng. Một chu trình V đa biến tiêu chuẩn về cơ bản tương đương với Gauss-Seidel đối xứng tiêu chuẩn trong cơ sở sóng con với thứ tự thông thường. Lưu ý rằng đây hiếm khi là cách tốt nhất để thực hiện, đặc biệt là song song.

$\mathcal H$

Các toán tử vi sai tương đối đắt hơn để đánh giá trong các cơ sở sóng con và có thể khó thiết lập các thuộc tính bảo tồn mong muốn. Một số tác giả (ví dụ Vasilyev, Paolucci và Sen 1995) sử dụng các phương pháp sắp xếp thứ tự và sử dụng giấy nến khác biệt hữu hạn để đánh giá các dẫn xuất và các thuật ngữ phi tuyến. Nếu việc mở rộng wavelet bị chặn (thường tốt cho hiệu quả tính toán), các phương thức này trở nên rất giống với AMR có cấu trúc khối.

Tôi đề nghị Beylkin và Keizer (1997) là một giới thiệu thực tế để giải quyết các PDE bằng sóng con. Các MADNESS code được dựa trên các phương pháp này. Nó có hỗ trợ cho các ranh giới chìm (xem Reuter, Hill và Harrison 2011 ), nhưng không có cách nào hiệu quả để biểu diễn các lớp ranh giới trong hình học phức tạp. Phần mềm thường được sử dụng cho các vấn đề hóa học trong đó hình học không phải là vấn đề đáng lo ngại.

Để phân tích tổng quát về sóng con, tôi đề nghị cuốn sách năm 2003 của Cohen . Nó trình bày một khung phân tích trong đó giải pháp liên tục được thao tác cho đến khi bạn muốn đánh giá nó với độ chính xác nhất định, tại đó cơ sở sóng con được đánh giá là cần thiết.