Tính toán hiệu quả của nghịch đảo căn bậc hai ma trận

Một vấn đề phổ biến trong thống kê là tính toán nghịch đảo căn bậc hai của ma trận xác định dương đối xứng. Điều gì sẽ là cách hiệu quả nhất của máy tính này?

Tôi đã xem qua một số tài liệu (mà tôi chưa đọc) và một số mã R ngẫu nhiên ở đây , mà tôi sẽ sao chép ở đây để thuận tiện

# function to compute the inverse square root of a matrix
fnMatSqrtInverse = function(mA) {
  ei = eigen(mA)
  d = ei$values
      d = (d+abs(d))/2
      d2 = 1/sqrt(d)
      d2[d == 0] = 0
      return(ei$vectors %*% diag(d2) %*% t(ei$vectors))
}

Tôi không hoàn toàn chắc chắn tôi hiểu dòng d = (d+abs(d))/2. Có cách nào hiệu quả hơn để tính toán nghịch đảo căn bậc hai ma trận không? Hàm R eigengọi LAPACK .

Mã mà bạn đã đăng sử dụng phân tách eigenvalue của ma trận đối xứng để tính . $A^{-1/2}$

Tuyên bố

d = (d + abs (d)) / 2

có hiệu quả lấy bất kỳ mục tiêu cực nào trong d và đặt nó thành 0, trong khi chỉ để lại các mục không âm. Nghĩa là, bất kỳ giá trị riêng âm nào của đều được xử lý như là 0. Về lý thuyết, các giá trị riêng của A đều không âm, nhưng trong thực tế, người ta thường thấy các giá trị riêng âm nhỏ khi bạn tính giá trị riêng của một giá trị xác định dương. ma trận hiệp phương sai gần như số ít. $A$

Nếu bạn thực sự cần nghịch đảo của căn bậc hai ma trận đối xứng của và nhỏ một cách hợp lý (không lớn hơn 1.000 bằng 1.000), thì điều này cũng tốt như bất kỳ phương pháp nào bạn có thể sử dụng. $A$$A$

Trong nhiều trường hợp, thay vào đó, bạn có thể sử dụng hệ số Cholesky của nghịch đảo của ma trận hiệp phương sai (hoặc thực tế là giống nhau, yếu tố Cholesky của chính ma trận hiệp phương sai). ma trận dày đặc và hiệu quả hơn rất nhiều (cả về thời gian tính toán và lưu trữ bắt buộc) cho ma trận lớn và thưa thớt. Do đó, việc sử dụng hệ số Cholesky trở nên rất mong muốn khi lớn và thưa thớt. $A$

Theo kinh nghiệm của tôi, phương pháp Higham Newton của Higham hoạt động nhanh hơn nhiều (xem Chương 6 về Chức năng của ma trận của N. Higham). Trong ghi chú ngắn này của tôi có các ô so sánh phương pháp này với các phương pháp đặt hàng đầu tiên. Ngoài ra, các trích dẫn cho một số cách tiếp cận căn bậc hai ma trận khác được trình bày, mặc dù chủ yếu là phép lặp Newton cực có vẻ hoạt động tốt nhất (và tránh thực hiện các tính toán eigenvector).

% compute the matrix square root; modify to compute inverse root.
function X = PolarIter(M,maxit,scal)
  fprintf('Running Polar Newton Iteration\n');
  skip = floor(maxit/10);
  I = eye(size(M));
  n=size(M,1);
  if scal
    tm = trace(M);
    M  = M / tm;
  else
    tm = 1;
  end
  nm = norm(M,'fro');

  % to compute inv(sqrt(M)) make change here
  R=chol(M+5*eps*I);

  % computes the polar decomposition of R
  U=R; k=0;
  while (k < maxit)
    k=k+1;
    % err(k) = norm((R'*U)^2-M,'fro')/nm;
    %if (mod(k,skip)==0)
    %  fprintf('%d: %E\n', k, out.err(k));
    %end

    iU=U\I;
    mu=sqrt(sqrt(norm(iU,1)/norm(U,1)*norm(iU,inf)/norm(U,inf)));
    U=0.5*(mu*U+iU'/mu);

   if (err(k) < 1e-12), break; end
  end
  X=sqrt(tm)*R'*U;
  X = 0.5*(X+X');
end

Tối ưu hóa mã của bạn:

Tùy chọn 1 - Tối ưu hóa mã R của bạn:
a. Bạn có thể apply()một chức năng dđó sẽ cả hai max(d,0)và d2[d==0]=0trong một vòng lặp.
b. Hãy thử hoạt động ei$valuestrực tiếp.

Tùy chọn 2 - Sử dụng C ++:
Viết lại toàn bộ chức năng trong C ++ với RcppArmadillo. Bạn vẫn có thể gọi nó từ R.