Hoàn toàn khớp với bình phương tối thiểu

Bất cứ ai cũng có thể đề xuất một phương pháp cho vấn đề bình phương nhỏ nhất sau đây:

tìm để thu nhỏ: , trong đó R là đơn vị (xoay vòng) ma trận.$R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$$\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \min$$R$

Tôi có thể nhận được một giải pháp gần đúng bằng cách thu nhỏ $\sum\limits_{i=0}^N (Ax_i - b_i)^2 \rightarrow \min$ (tùy ý $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ ), lấy ma trận $A$ và:

• điện toán SVD: $A = U \Sigma V^T$ , bỏ $\Sigma$ và xấp xỉ $R \approx U V^T$
• tính toán phân cực: $A = U P$ , giảm đối xứng chỉ theo tỷ lệ (và xác định dương trong trường hợp của tôi) $P$ và xấp xỉ $R \approx U$

Tôi cũng có thể sử dụng phân tách QR, nhưng nó sẽ không phải là đẳng cự (sẽ phụ thuộc vào sự lựa chọn của hệ tọa độ).

Có ai biết một cách để làm điều này, ít nhất là xấp xỉ, nhưng với xấp xỉ tốt hơn so với hai phương pháp trên?

Vấn đề được gọi là vấn đề của Wahba , một thuật toán cho nó được gọi là thuật toán Kabsch và phổ biến hơn về sau được gọi là phương pháp Davenport q . Nó rõ ràng được sử dụng và nghiên cứu trong ngành hàng không để xác định định hướng thủ công. Có rất nhiều đánh giá về các phương pháp.

Coi chừng rằng sự phù hợp nhất có thể bao gồm sự phản ánh.

Phương pháp Kabsch tính toán ma trận hiệp phương sai 3x3 và loại bỏ thuật ngữ (phản xạ modulo, thường được tính bằng cách phủ định cột cuối cùng của trong SVD). Rất đơn giản để khái quát cho số lượng kích thước khác.$\Sigma$$U$

Phương pháp q Davenport thường được quảng cáo là thuật toán thực tế đầu tiên, có lẽ ai đó có thể nhận xét tại sao. Nó cũng xây dựng một ma trận hiệp phương sai 3x3, nhưng sau đó tham số hóa ma trận xoay như là một hàm của bậc bốn, và vấn đề trở thành vấn đề của việc tính toán hàm riêng eigenvalue của ma trận 4 x 4 đối xứng.

(Một số) các triển khai số phổ biến nhất được gọi là QUEST và FOMA . Các phương pháp này thường là một biến thể của chủ đề tính toán giá trị riêng tối đa bằng cách viết ra và tối ưu hóa đa thức đặc trưng (một tứ phân vị) và giải quyết nó một cách phân tích (các tính toán khá liên quan, đi qua các công thức Kardano) hoặc với phép lặp Newton.

Schuster cũng đã phát triển và phân tích một số biến thể thuật toán lặp.