Giải thích cơ bản về chức năng hình dạng

Tôi mới bắt đầu học FEM trên cơ sở có cấu trúc chặt chẽ hơn so với những gì tôi từng làm trong các khóa học đại học. Tôi đang làm điều này bởi vì, mặc dù thực tế là tôi có thể sử dụng "FEM" trong phần mềm thương mại (và phi thương mại khác), tôi muốn thực sự hiểu các kỹ thuật ngầm hỗ trợ phương pháp này. Đó là lý do tại sao tôi đến đây với điều đó, ít nhất là đối với người dùng có kinh nghiệm về kỹ thuật, câu hỏi cơ bản.

Bây giờ tôi đang đọc một cuốn sách khá phổ biến (tôi nghĩ) và "thân thiện với kỹ sư" có tên là "Phương pháp phần tử hữu hạn - Những điều cơ bản" từ Zienkwicz. Tôi đã đọc cuốn sách này từ trang đầu tiên nhưng tôi chưa thể hiểu khái niệm về chức năng hình dạng theo cách Zienkwicz giải thích nó.

Những gì tôi biết từ những điều tôi đã đọc là ma trận "Độ cứng", ma trận liên quan đến ẩn số với kết quả ( in: A k = b ), có các thành phần từ "mối quan hệ giữa các nút" và nếu "mối quan hệ" đó thay đổi, (nghĩa là nếu chúng ta thay đổi nó thành nội suy bậc cao), ma trận độ cứng đó sẽ thay đổi, bởi vì mối quan hệ giữa các nút thực hiện.$A$$Ak=b$

Nhưng trong cuốn sách này, định nghĩa khá mờ đối với tôi, bởi vì trong một số điểm, nó nói rằng bạn có thể tùy ý chọn hàm như, tức là ma trận danh tính:

Giải thích duy nhất tôi tìm thấy là trong blog này , nhưng nó vẫn chưa quá rõ ràng đối với tôi. Vì vậy, ai đó có thể cho tôi một lời giải thích đơn giản về hình dạng của functon là gì và làm thế nào để "đặt nó" vào ma trận độ cứng?

Tôi luôn tìm thấy cách tiếp cận để mô tả các phương pháp phần tử hữu hạn tập trung vào hệ thống tuyến tính rời rạc và làm việc lạc hậu một cách không cần thiết. Theo cách khác, rõ ràng hơn nhiều, ngay cả khi điều đó liên quan đến một chút ký hiệu toán học ngay từ đầu (mà tôi sẽ cố gắng giữ ở mức tối thiểu).

$A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$$u_h \in V_h$$Au_h = f$$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

Theo cách tiếp cận kỹ thuật đối với FEM trong Cơ học kết cấu, cách trình bày, bạn sẽ mất cảm giác rằng bạn đang giải các phương trình vi phân từng phần .

Chúng cho bạn thấy những ma trận này, chúng gắn một số ý nghĩa vật lý và theo tôi điều này dẫn bạn đến việc phát triển một trực giác vật lý đáng ngờ cho lĩnh vực này.

Có thể hữu ích khi nghĩ về chủ đề mà nó liên quan đến hình học. Giải pháp cho vấn đề giá trị biên cho PDE là một số hình dạng. VI Arnol từng nói ca ngợi những thành tựu của Newton trong lĩnh vực này, để diễn giải - ông đã làm một điều kỳ diệu bằng cách tạo ra trường phương trình vi phân bằng cách cho phép chúng ta cải tổ các vấn đề của khoa học tự nhiên thành các vấn đề hình học của các đường cong trong mặt phẳng và bề mặt trong không gian.

Trong FEM, bạn tính gần đúng giải pháp (trong FD và FVM, bạn xấp xỉ phương trình quản lý).

Nhập vào Vladimir Gligorievich Galerkin. BG Galerkin đã nói gì?

Anh nói: Tôi muốn bạn, không thể tạo ra các phần dư với các hàm cơ bản giống như vậy, bạn đã sử dụng để tạo ra giải pháp. Giáo dục

(PS Câu chuyện này hoàn toàn không có thật và tôi kêu gọi độc giả của mình tìm một lời giải thích tốt hơn về phương pháp (Bubnov-) Galerkin, nếu nó tồn tại.)

Các hàm cơ bản, hoặc các hàm dùng thử là những hàm mà bạn sử dụng để xây dựng giải pháp. Bạn sử dụng chúng để ước tính hình dạng của giải pháp.

$Ku=f$

$Ku=f$

Điều quan trọng nhất cần biết về "các hàm hình dạng" là chúng mô tả cách (các) biến phụ thuộc mà bạn muốn tính toán (ví dụ: chuyển vị) thay đổi như một hàm của tọa độ không gian của phần tử (ví dụ x và y) theo một số tham số vô hướng.

Thông thường các hàm hình dạng là các đa thức đơn giản và các tham số vô hướng là các giá trị của các biến phụ thuộc tại các nút phần tử.

Việc hình thành các phương trình phần tử hữu hạn sử dụng các hàm hình dạng này đòi hỏi một vài khái niệm cơ bản khác như thiết lập "dạng yếu" của phương trình vi phân từng phần mà bạn đang cố gắng giải.

Có rất nhiều "chủ nghĩa thần bí" không cần thiết liên quan đến phương pháp phần tử hữu hạn, vì vậy tôi khuyến khích cách tiếp cận của bạn là cố gắng tìm hiểu kỹ về các nguyên tắc cơ bản.

Bài giảng của tôi là trong bài giảng 4 tại http://www.math.tamu.edu/~bangerth/ideo.html . Cụ thể, nó cung cấp cho bạn ý tưởng về lý do tại sao chúng tôi chọn các chức năng mũ mà chúng tôi thường sử dụng khi chúng tôi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn - cụ thể là vì chúng dẫn đến khái niệm quan trọng về độ thưa thớt, mặc dù nhiều lựa chọn khác về chức năng cơ bản đã được giá trị như nhau.

Mọi phần tử đã liên kết với nó một mô hình chuyển vị biểu thị sự biến đổi của biến trường (biến phụ thuộc) theo các hệ số tổng quát và các biến độc lập (x, y, z), ví dụ: 1D u (x) = a0 + a1x cho 2 tuyến tính gật đầu phần tử u (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 cho 3 phần tử bậc hai gật đầu, v.v. Ở đây ai s là các hệ số tổng quát Sau đó chúng ta loại bỏ ai s và biểu thị sự biến đổi của biến trường theo các hàm hình dạng và giá trị nút của biến trường. vd: u (x) = N1 u1 + N2 u2 Hàm liên quan đến sự biến đổi của biến trường với giá trị nút của biến trường được gọi là NỀN TẢNG SHAPE FUNCTION. Số lượng các hàm hình dạng sẽ phụ thuộc vào số lượng nút và số lượng biến trên mỗi nút. Do đó, các chức năng hình dạng có thể được xem như là các chức năng, biểu thị sự đóng góp của từng giá trị nút tại các điểm bên trong của phần tử. Đối với một phần tử hai nút Tại nút 1, đóng góp của N1 là sự thống nhất & của N2 bằng không.

Tại nút 2, sự đóng góp của N2 là sự thống nhất & của N1 bằng không.

Tại điểm giữa của phần tử, cả hai nút có trọng số hoặc ảnh hưởng bằng nhau. Vì vậy, các hàm hình dạng không chỉ cho biết biến số trường thay đổi như thế nào đối với phần tử mà còn ảnh hưởng đến từng giá trị nút của biến trường có tại các điểm bên trong của phần tử. Chúc bạn học vui vẻ :)

Tôi cũng đã giải thích các hàm hình dạng chi tiết hơn ở đây: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

Nó giải thích từng bước một cách trực quan về cách thức hoạt động của phương pháp Rayleigh-Ritz. Viết bài viết này cuối cùng đã giúp tôi hiểu được các chức năng hình dạng.

theo sự hiểu biết của tôi .. các hàm hình dạng không có gì ngoài mối quan hệ giữa các biến trường và các điểm nút.

Giả sử rằng trái đất của chúng ta đang bị áp lực với các tải trọng bên ngoài và trái đất của chúng ta sẽ bị phá vỡ. bằng phương pháp phân tích, chúng tôi sử dụng nhiều công thức và phát hiện ra rằng tại một số phần (như giả định lục địa châu Á), trái đất sẽ bị phá vỡ. Sử dụng phương pháp FEM, chúng tôi chia trái đất thành các quốc gia, tiểu bang và thành phố khác nhau, chúng tôi chia lưới từng thành phố và cuối cùng tham gia tất cả các thành phố để tạo thành một quả địa cầu gọi là trái đất. chức năng hình dạng là chìa khóa cung cấp một cầu nối giữa các thành phố có lưới để tạo thành một tiểu bang và quốc gia và cuối cùng là toàn cầu. nó là liên kết kết nối lưới. Một khi điều này được thực hiện tải được áp dụng và vị trí chính xác có thể được tìm thấy nơi bắt đầu crack và điều đó có thể được tăng cường.

Hy vọng điều này đã giúp bạn.

Theo những gì tôi hiểu về các chức năng hình dạng là, đó là về việc kết nối các tọa độ nút hình học với chuyển vị Element với một chức năng hình dạng tương tự.

Hãy xem xét trường hợp 1D. Một thanh có 2 nút ở cuối.

Khi tôi kết nối phần tử này với tọa độ nút của nó, tôi có thể tìm ra sự dịch chuyển tại bất kỳ điểm nào trong phần tử này với sự trợ giúp của hàm nội suy.

Vì vậy, về cơ bản các hàm hình dạng là các xấp xỉ mà chúng ta làm để tìm biến dạng tại bất kỳ điểm nào trong không gian một cách đáng khen ngợi.

Các hàm hình dạng là các hàm liên quan đến sự dịch chuyển tại bất kỳ điểm nào trên phần tử với sự dịch chuyển của các nút của phần tử. Biểu đồ của hàm hình dạng so với các điểm trên phần tử hiển thị "hình dạng" bị biến dạng của phần tử và do đó hàm hình dạng tên.