Hiệu quả của việc tách rời một hệ thống PDE được ghép nối

Tôi đã hỏi một câu hỏi tương tự trước đây nhưng có lẽ nó quá cụ thể để bất cứ ai thực sự trả lời. Dưới đây là một chút tổng quát hơn của một câu hỏi mà tôi đang đấu tranh. Hãy xem xét hệ thống sau:

∂ u

$$-\nabla\cdot(D_{1}(u_{2})\nabla u_{1}) = \nabla\cdot\mathbf{f}_{1}(u_{2})$$ $$\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{f}_{2}(u_{1},u_{2}) - \nabla\cdot(D_{2}(u_{2})\nabla u_{2}) = 0$$

giả sử một tập hợp các BC chung: D i ∇ u i ⋅ n = u i , N

$$u_{i} = u_{i,D}, \;\;\;\text{on}\;\Gamma_{D}$$ $$D_{i}\nabla u_{i}\cdot\mathbf{n} = u_{i,N}, \;\;\;\text{on} \;\Gamma_{N}$$

Sử dụng DGFEM cho các phân biệt không gian và Euler ngược cho đạo hàm thời gian. Chúng tôi tách ra như thế này:

1. Giải quyết bằng : u k 2 - ∇ ⋅ ( D 1 ( u k 2 ) ∇ u k + 1 1 ) = ∇ ⋅ f 1 ( u k 2$u_{1}^{k+1}$$u_{2}^{k}$

   $$-\nabla\cdot(D_{1}(u_{2}^{k})\nabla u_{1}^{k+1}) = \nabla\cdot\mathbf{f}_{1}(u_{2}^{k})$$

2. Giải quyết cho bằng : u k + 1 1 ∂ u $u_{2}^{k+1}$$u_{1}^{k+1}$

   $$\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{f}_{2}(u_{1}^{k+1},u_{2}^{k},u_{2}^{k+1}) - \nabla\cdot(D_{2}(u_{2}^{k+1})\nabla u_{2}^{k+1}) = 0$$

Phương pháp của Newton được sử dụng để xử lý sự phi tuyến tính.

Trong ví dụ cụ thể mà tôi đang xem, tôi có

$$\mathbf{f}_{2}(u_{1},u_{2}) = u_{2}(-\nabla u_{1} + u_{2}\nabla u_{2})$$

vì thế

$$\mathbf{f}_{2}(u_{1}^{k+1},u_{2}^{k},u_{2}^{k+1}) = u_{2}^{k+1}(-\nabla u_{1}^{k+1} + u_{2}^{k}\nabla u_{2}^{k})$$

Vấn đề là việc đánh giá tại và thực sự làm rối tung giải pháp của tôi về đến điểm mà phương pháp của Newton không hội tụ theo phương trình bậc hai và tôi không quan sát sự hội tụ chính xác của các lỗi phân tách. Ban đầu tôi muốn đánh giá tại để phần vectơ, có thể được coi là một hằng số tại mỗi lần lặp Newton. Nếu không, nó sẽ phải được thêm vào điều khoản thứ hai, điều mà tôi muốn tránh làm.$\mathbf{f}_{2}$$u_{1}^{k+1}$$u_{2}^{k}$$u_{2}^{k+1}$$\mathbf{f}_{2}$$u_{2}^{k}$$-\nabla u_{1}^{k+1} + u_{2}^{k}\nabla u_{2}^{k}$

Để kiểm tra mã của tôi, tôi đang sử dụng phương pháp giải pháp sản xuất. Để thử nghiệm, tôi đang tự xem xét phương trình thứ hai và đánh giá bằng cách sử dụng chính xác giải pháp và có, không có vấn đề ở đây. Phương pháp của Newton hội tụ theo phương pháp bậc hai, tôi đang quan sát sự hội tụ chính xác của lỗi phân tách, v.v. vì vậy tôi khá chắc chắn rằng lỗi ở đây nằm ở sự tách rời chứ không phải sự rời rạc.$\mathbf{f}_{2} = \mathbf{f}_{2}(u_{1,\text{exact}}^{k+1}, u_{2}^{k+1}, u_{2,\text{exact}}^{k+1}) = u_{2}^{k+1}(-\nabla u_{1,\text{exact}}^{k+1} + u_{2,\text{exact}}^{k+1}\nabla u_{2,\text{exact}}^{k+1})$

Đây có phải là hiệu suất tối ưu trong kịch bản đầu tiên được mong đợi cho việc tách rời? Tôi biết việc tách rời sẽ giới hạn bước thời gian, nhưng tôi khá chắc chắn rằng tôi đang thực hiện bước thời gian đủ nhỏ.

Bước tiếp theo tôi sẽ thực hiện là tách và ném vào thuật ngữ thứ tự thứ hai. Điều này sẽ có lợi thế là làm cho công thức trở nên rõ ràng hơn vì phần rõ ràng duy nhất sẽ là việc sử dụng trong thuật ngữ đối lưu.$\mathbf{f}_{2}$$u_{2}\nabla u_{2}$$u_{1}^{k+1}$

Tôi đã không thể tìm thấy nhiều tài liệu về hiệu ứng tách rời sẽ hội tụ, vì vậy nếu có ai có thể chỉ cho tôi đi đúng hướng hoặc đưa ra một số lời khuyên, điều đó sẽ rất tuyệt.

Đây chắc chắn là những gì được gọi là sơ đồ chia tách và rất phổ biến trong quang học phi tuyến cũng như mô phỏng lượng tử, một ví dụ là phương trình dirac nhưng bạn cũng có thể thực hiện nó trên PDES phi tuyến '.

Tôi nghĩ rằng vấn đề bạn gặp phải là bạn giải quyết cho trước tiên về , khi bạn thực sự nên giải quyết cho về , (nếu bạn muốn sử dụng sơ đồ hướng gió trong (2).$u_1^{k+1}$$u_2^k$$u_1^{k+1}$$u_2^{k+1}$

Để thấy điều này, lưu ý rằng phương trình đầu tiên là tuyến tính theo , với các hệ số và độ không đồng nhất chỉ phụ thuộc vào . Vì vậy, 'về nguyên tắc' (có thể rất khó khăn), bạn có thể tìm thấy giải pháp cho từ phương trình đầu tiên (1), về mặt phân tích theo hàm Greens (cũng có thể phụ thuộc vào ) được xác định bằng LHS của một. I E. hãy là RHS của (1) và và để cho thỏa mãn và các điều kiện biên cho , sau đó$u_1$$u_2$$u_1$$u_2$$Lu_1$$f=\nabla \cdot f_2(u_2)$$G(x;u_2)$$LG=\delta(x-s)$$u_1$

$u_1=\int_{\Omega} G((x-s);u_2)fds$

Vì vậy, bạn đã giảm tập hợp được ghép thành phương trình vi phân tích phân cho (2). Tuy nhiên, bây giờ hãy xem điều gì xảy ra nếu bạn muốn thực hiện sơ đồ hướng gió cho , bạn thấy rằng phụ thuộc vào .$u_2^{k+1}$$u_1^{k+1}$$u_2^{k+1}$

Chắc chắn có sự linh hoạt mặc dù trong việc tách hoặc tách này mặc dù điều đó có thể tạo ra một sơ đồ đẹp trong phương trình của bạn. Có thể tìm thấy một giới thiệu thú vị về việc chia tách trong bối cảnh mà bạn quan tâm trong Chương 13 'Chia tách và anh em họ của Phương pháp phổ biến Boyd' Ch Quashev và Fourier '.

Hi vọng điêu nay co ich

Thật khó để nói mà không biết chính xác những gì PDE bạn đang giải quyết; Điều đó nói rằng, một vài nơi có thể nhìn là

1. Đối với các hệ thống tuyến tính được ghép nối , phương pháp Uzawa và Lagrangian tăng cường là ví dụ về các sơ đồ chia tách chung. Có những kết quả đã biết liên quan đến sự hội tụ của các phương pháp này dựa trên phổ của các khối và phần bù Schur của hệ thống khối ghép (xem Bramble et al, về giải quyết các vấn đề về điểm yên ngựa).
2. Có rất nhiều tài liệu về các phương pháp phân tách khác nhau cho các PDE. Mặc dù phần lớn được xây dựng cho các vấn đề tuyến tính, có lý thuyết sử dụng rộng rãi cho việc mở rộng các phương trình phi tuyến - ví dụ, ít nhất là đối với các PDE phi tuyến điều khiển các dòng khuếch tán đối lưu và dòng chảy không thể nén, các sơ đồ phân tách / chiếu có lịch sử khá phong phú .

Một suy nghĩ là các giải pháp cho các PDE tách rời có thể hoặc không thể gần với các giải pháp của các hệ thống được ghép hoàn chỉnh. Do đó, chỉ giải một phương trình "chính xác" với Newton có thể không mua cho bạn nhiều hơn (hoặc có thể tệ hơn) chỉ đơn giản là thực hiện một lần lặp Newton duy nhất và cập nhật cả hai giải pháp (nghĩa là thực hiện một bước ngầm nhỏ, sau đó cập nhật lại và , thay vì giải quyết Newton cho và riêng biệt ở mỗi bước ngầm). Nhưng một lần nữa, tôi không chắc về điều này.$u_1$$u_2$$u_1$$u_2$