Tôi muốn chạy một số mô phỏng đơn giản về sự tán xạ của các gói sóng khỏi các tiềm năng đơn giản trong một chiều.

Có những cách đơn giản để giải quyết số lượng TDSE một chiều cho một hạt không? Tôi biết rằng, nói chung, cố gắng sử dụng các phương pháp ngây thơ để tích hợp các phương trình vi phân từng phần có thể nhanh chóng kết thúc trong thảm họa. Do đó tôi đang tìm kiếm các thuật toán

• ổn định về số lượng,
• rất đơn giản để thực hiện hoặc có các triển khai thư viện mã dễ truy cập,
• chạy hợp lý nhanh, và hy vọng
• tương đối đơn giản để hiểu.

Tôi cũng muốn chỉ đạo các phương pháp quang phổ tương đối rõ ràng, và đặc biệt là các phương pháp ít hơn nhiều so với việc giải phương trình Schrödinger độc lập với thời gian như bình thường. Tuy nhiên, tôi sẽ quan tâm đến các phương pháp phổ giả sử dụng B-splines hoặc whatnot. Nếu phương pháp có thể có tiềm năng phụ thuộc vào thời gian thì đó chắc chắn là một phần thưởng.

Tất nhiên, bất kỳ phương pháp nào như vậy sẽ luôn có một số nhược điểm, vì vậy tôi muốn nghe về những phương pháp đó. Khi nào nó không hoạt động? Cạm bẫy phổ biến là gì? Những cách nào nó có thể được đẩy, và những cách nào nó có thể không?

Phương trình Schroedinger là một cách hiệu quả một phản ứng-khuếch tán phương trình

$$i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\nabla^2\psi+V\psi\tag{1}$$ (tất cả các hằng số là 1). Khi nói đến bất kỳ phương trình vi phân từng phần, có hai cách để giải nó:

1. Phương pháp ngầm định (adv: bước thời gian lớn & ổn định vô điều kiện, disadv: yêu cầu người giải ma trận có thể cung cấp dữ liệu xấu)
2. Phương pháp rõ ràng (adv: dễ thực hiện, disadv: yêu cầu dấu thời gian nhỏ để ổn định)

Đối với các phương trình parabol (tuyến tính theo và bậc 2 theo x ), phương pháp ngầm thường là lựa chọn tốt hơn. Lý do là điều kiện ổn định cho phương pháp tường minh đòi hỏi d t ∝ d x 2 , sẽ rất nhỏ. Bạn có thể tránh vấn đề này bằng cách sử dụng phương pháp ngầm, không có giới hạn như vậy trong bước thời gian (mặc dù trong thực tế, bạn thường không làm cho nó quá lớn vì bạn có thể mất một số vật lý). Những gì tôi mô tả tiếp theo là phương pháp Crank-Nicolson , một sơ đồ ngầm chính xác thứ hai (không gian & thời gian).$t$$x$$dt\propto dx^2$

Khởi đầu

Để giải quyết PDE một cách tính toán, bạn cần phải phân biệt nó (làm cho các biến vừa với lưới). Đơn giản nhất là một lưới hình chữ nhật, Cartesian. Ở đây, đại diện cho chỉ số thời gian (và luôn luôn là một siêu tập lệnh) và j là chỉ số vị trí (luôn luôn là một chỉ mục). Bằng cách sử dụng một khai triển Taylor cho biến vị trí phụ thuộc, phương trình (1) trở thành i ψ n + 1 j - ψ $n$$j$ Trong trường hợp chúng tôi đã giả định rằngV=V(x). Điều xảy ra tiếp theo là một nhóm các chỉ số không gian và thời gian (bạn có thể muốn kiểm tra lại toán học):

$$i\frac{\psi^{n+1}_j-\psi_j}{dt} = -\frac12\left(\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-2\psi_j^{n+1}+\psi_{j-1}^{n+1}}{dx^2}+\frac{\psi_{j+1}^{n}-2\psi_j^{n}+\psi_{j-1}^{n}}{dx^2}\right) \\ +\frac12\left(V_j\psi_j^{n+1} +V_j\psi_j^n\right)$$ $V=V(x)$ Phương trình này có dạng (A0A-00⋯Một+Một0Một-0⋯0Một+Một0Một-⋯⋮⋮⋮⋱⋮)(ψ n + 1 0 ψ n + 1 1 ⋮ψ n + 1 J - 1 )= $$\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j+1}^{n+1}+\left(i-\frac{dt}{dx^2}-\frac12V_j\right)\psi_j^{n+1}+\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j-1}^{n+1}=\\ i\psi_j^n-\frac12\frac{dt}{dx^2}\left(\psi_{j+1}^n-2\psi_j^n+\psi_{j-1}^n\right)+\frac12V_j\psi_j^n\tag{2}$$ Trong đó được gọi là một ma trận ba đường chéo và cómột giải pháp nổi tiếng! (cộng ví dụ làm việc, trong đó có một bằng văn bản của tôi). Phương pháp rõ ràng cào ra toàn bộ phía bên trái (hoặc tôi nên nói dòng trên cùng?) Của phương trình (2) ngoại trừthuật ngữiψ n + 1 j . $$\left(\begin{array}{ccccc}A_0 & A_- & 0 & 0 &\cdots\\ A_+ & A_0 & A_- & 0 &\cdots\\ 0 & A_+ & A_0 & A_- &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n+1} \\ \psi_1^{n+1}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n} \\ \psi_1^{n}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n}\end{array}\right)$$ $i\psi_j^{n+1}$

Các vấn đề

Vấn đề lớn nhất mà tôi đã tìm thấy với các phương thức ngầm là chúng phụ thuộc rất nhiều vào các điều kiện biên. Nếu bạn có các điều kiện biên được xác định / thực hiện kém, bạn có thể nhận được các dao động giả trong các ô có thể dẫn đến kết quả xấu (xem bài đăng SciComp của tôi về một chủ đề tương tự). Điều này dẫn đến việc thực sự có độ chính xác bậc 1 trong không gian, thay vì thứ 2 mà sơ đồ của bạn phải đưa ra.

Các phương thức ngầm cũng được cho là khó song song, nhưng tôi chỉ sử dụng chúng cho các phương trình nhiệt 1D và không cần hỗ trợ song song, vì vậy tôi không thể xác minh cũng như từ chối yêu cầu.

Tôi cũng không chắc bản chất phức tạp của hàm sóng sẽ ảnh hưởng đến các tính toán như thế nào. Công việc mà tôi đã thực hiện sử dụng các phương trình động lực học Euler và do đó hoàn toàn có thật với cường độ không âm.

Tiềm năng phụ thuộc thời gian

Nếu bạn có tiềm năng phụ thuộc thời gian phân tích (ví dụ ), thì bạn chỉ cần sử dụng thời gian hiện tại, t , cho V j trên RHS của (2) và thời gian trong tương lai, t + d t , trên LHS. Tôi không tin rằng điều này sẽ tạo ra bất kỳ vấn đề nào, nhưng tôi chưa kiểm tra điều này nên tôi cũng không thể xác minh hoặc từ chối khía cạnh này.$V\propto \cos(\omega t)$$t$$V_j$$t+dt$

Lựa chọn thay thế

Có một số lựa chọn thay thế thú vị cho phương pháp Crank-Nicolson. Đầu tiên là phương pháp "siêu bước thời gian". Trong phương pháp rõ ràng này, bạn thực hiện bước thời gian ( ) và sử dụng rễ của đa thức Chebyshev để có được một bộ tối ưu hóa thời gian bước nhanh chóng tổng hợp để d t nhanh hơn làm d t / N bước N lần (hiệu quả là bạn nhận được Δ T = N 2 d t để mỗi bước N tiến bạn N d $dt\propto dx^2$$dt$$dt/N$$N$$\Delta T=N^2dt$$N$$Ndt$đúng giờ). (Tôi sử dụng phương pháp này trong nghiên cứu của mình vì bạn có một "thông lượng" được xác định rõ từ ô này sang ô khác được sử dụng để hợp nhất dữ liệu từ bộ xử lý này sang bộ xử lý khác, sử dụng sơ đồ Crank-Nicolson mà tôi không thể thực hiện được).

EDIT Một điều cần lưu ý là phương pháp này là thứ tự chính xác theo thời gian, nhưng nếu bạn sử dụng phương pháp Runge-Kutta 2 kết hợp, nó sẽ cung cấp cho bạn sơ đồ chính xác thứ 2 theo thời gian.

Cái khác được gọi là một hướng rõ ràng xen kẽ . Phương pháp này đòi hỏi bạn phải có các điều kiện biên đã biết và được xác định rõ. Sau đó, nó tiến hành giải phương trình bằng cách sử dụng đường biên trực tiếp trong tính toán (không cần áp dụng nó sau mỗi bước). Điều xảy ra trong phương pháp này là bạn giải quyết PDE hai lần, một lần trong lần quét lên và một lần trong lần quét xuống. Việc sử dụng quét lên trong khi những ứng dụng quét xuống ∂2

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j-1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j+1}^n}{dx^2}$$ cho phương trình khuếch tán trong khi các thuật ngữ khác sẽ giữ nguyên. Bước thời giann+1sau đó được giải quyết bằng cách lấy trung bình hai lần quét định hướng. $$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j-1}^n}{dx^2}$$ $n+1$

Đầu những năm 90, chúng tôi đã tìm kiếm một phương pháp để giải quyết TDSE đủ nhanh để thực hiện hoạt hình trong thời gian thực trên PC và đã tìm thấy một phương pháp rõ ràng, ổn định, đơn giản đáng kinh ngạc được mô tả bởi PB Visscher trong Máy tính trong Vật lý : " Thuật toán rõ ràng nhanh cho phương trình Schrödinger phụ thuộc vào thời gian ". Ghi chú Visscher rằng nếu bạn chia hàm sóng thành phần thực và phần ảo, , SE sẽ trở thành hệ thống:$\psi=R+iI$

$$\begin{eqnarray}\frac{dR}{dt}&=&HI \\ \frac{dI}{dt}&=&-HR \\ H&=&-\frac{1}{2m}\nabla^2+V\end{eqnarray}$$

$R$$I$$R$$0,\Delta t,2\Delta t,...$$I$$0.5\Delta t, 1.5\Delta t,...)$

$$R(t+\frac{1}{2} \Delta t)=R(t-\frac{1}{2} \Delta t)+\Delta t HI(t)$$

$$I(t+\frac{1}{2} \Delta t)=I(t-\frac{1}{2} \Delta t)-\Delta t HR(t)$$

$$\nabla^2\psi(r,t)=\frac{\psi(r+\Delta r,t)-2\psi(r,t)+\psi(r-\Delta r,t)}{\Delta r^2}$$

$\Delta t$

Xác định mật độ xác suất là

$$P(x,t)=R^2(x,t)+I(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)I(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)$$

$$P(x,t)=R(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)R(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)+I^2(x,t)$$

làm cho thuật toán đơn nhất, do đó bảo toàn xác suất.

Với đủ tối ưu hóa mã, chúng tôi có thể có được hình ảnh động rất đẹp được tính toán trong thời gian thực trên máy 80486. Học sinh có thể "rút ra" bất kỳ tiềm năng nào, chọn tổng năng lượng và xem sự tiến hóa theo thời gian của gói gaussian.

$x$$t$

Những gì bạn đang làm là một phiên bản trá hình của Phương pháp truyền tia để truyền quang qua ống dẫn sóng có tiết diện khác nhau (tương tự như tiềm năng thay đổi theo thời gian), vì vậy cũng rất hữu ích khi tìm kiếm điều này.

Cách tôi nhìn vào SSFM / BPM như sau. Nền tảng của nó là công thức sản phẩm Trotter của lý thuyết Lie:

$$\tag{1}\lim\limits_{m\to\infty}\left(\exp\left(\mathcal{D}\,\frac{t}{m}\right)\,\exp\left(\mathcal{V}\,\frac{t}{m}\right)\right)^m = \exp((\mathcal{D+V}) t)$$

$x-y$$x-y-z$$\psi(x,y,z)$$t$$N$$\Psi$$1024\times1024$$N=1024^2=1\,048\,576$

$$\tag{2}\mathrm{d}_t \Psi = K\Psi = (\mathcal{D+V}(t)) \Psi$$

$K = \mathcal{D+V}$$N\times N$$\mathfrak{u}(N)$$\Psi$$\exp(K\,t)$. (Tôi đã hút$i\hbar$ yếu tố vào $K = \mathcal{D+V}$trên RHS để tôi có thể nói chuyện dễ dàng hơn theo thuật ngữ lý thuyết Lie). Cho kích thước của$N$, môi trường sống tự nhiên của các nhà khai thác $\mathfrak{U}(N)$ is a thoroughly colossal Lie group so PHEW! yes I am still talking in wholly theoretical terms!. Now, what does $\mathcal{D+V}$ look like? Still imagining for now, it could be thought of as a finite difference version of $i\,\hbar\,\nabla^2/(2\,m) - i\hbar^{-1}V_0 + i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t_0))$, where $V_0$ is some convenient "mean" potential for the problem at hand.

We let:

$$\tag{3}\begin{array}{lcl}\mathcal{D} &=& i\frac{\hbar}{2\,m} \nabla^2 - i\hbar^{-1}V_0\\ \mathcal{V}&=&i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t))\end{array}$$

Why I have split them up like this will become clear below.

The point about $\mathcal{D}$ is that it can be worked out analytically for a plane wave: it is a simple multiplication operator in momentum co-ordinates. So, to work out $\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$, here are the first three steps of a SSFM/BPM cycle:

1. Impart FFT to dataset $\Psi$ to transform it into a set $\tilde{\Psi}$ of superposition weights of plane waves: now the grid co-ordinates have been changed from $x,\,y,\,z$ to $k_x,\,k_y,\,k_z$;
2. Impart $\tilde{\Psi}\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \tilde{\Psi}$ by simply multiplying each point on the grid by $\exp(i\,\Delta t (V_0-k_x^2+k_y^2+k_z^2)/\hbar)$;

3. Impart inverse FFT to map our grid back to $\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

   .Now we're back in position domain. This is the better domain to impart the operator $\mathcal{V}$ of course: here $\mathcal{V}$ is a simple multiplication operator. So here is your last step of your algorithmic cycle:

4. Impart the operator $\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{V}) \Psi$ by simply multiplying each point on the grid by the phase factor $\exp(i\,\Delta t\,(V_0-V(x,y,z,t))/\hbar)$

....and then you begin your next $\Delta t$ step and cycle over and over. Clearly it is very easy to put time-varying potentials $V(x,y,z,t)$ into the code.

So you see you simply choose $\Delta t$ small enough that the Trotter formula (1) kicks in: you're simply approximating the action of the operator $\exp(\mathcal{D+V}\,\Delta t)\approx\exp(\mathcal{D}\,\Delta t)\,\exp(\mathcal{V}\,\Delta t)$ and you flit back and forth with your FFT between position and momentum co-ordinates, i.e. the domains where $\mathcal{V}$ and $\mathcal{D}$ are simple multiplication operators.

Notice that you are only ever imparting, even in the discretised world, unitary operators: FFTs and pure phase factors.

One point you do need to be careful of is that as your $\Delta t$ becomes small, you must make sure that the spatial grid spacing shrinks as well. Otherwise, suppose the spatial grid spacing is $\Delta x$. Then the physical meaning of the one discrete step is that the diffraction effects are travelling at a velocity $\Delta x/\Delta t$; when simulating Maxwell's equations and waveguides, you need to make sure that this velocity is much smaller than $c$. I daresay like limits apply to the Schrödinger equation: I don't have direct experience here but it does sound fun and maybe you could post your results sometime!

A second "experience" point with this kind of thing - I'd be almost willing to bet this is how you'll wind up following your ideas. We often have ideas that we want to do simple and quick and dirty simulations but it never quite works out that way! I'd begin with the SSFM as I've described above as it is very easy to get running and you'll quickly see whether or not its results are physical. Later on you can use your, say Mathematica SSFM code check the results of more sophisticated code you might end up building, say, a Crank Nicolson code along the lines of Kyle Kanos's answer.

---

Error Bounds

The Dynkin formula realisation of the Baker-Campbell-Hausdorff Theorem:

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2 + \cdots\right)$$ converging for some $\Delta t>0$ shows that the method is accurate to second order and can show that:

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t^3)\right)$$

You can, in theory, therefore use the term $\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right)$ to estimate the error and set your $\Delta t$ accordingly. This is not as easy as it looks and in practice bounds end up being instead rough estimates of the error. The problem is that:

$$\frac{\Delta t^2}{2}[\mathcal{D},\,\mathcal{V}] = -\frac{i\,\Delta t^2}{2\,m}\,\left(\partial_x^2 V(x,\,t) + 2 \partial_x V(x,\,t)\,\partial_x\right)$$

and there are no readily transformed to co-ordinates wherein $[\mathcal{D},\,\mathcal{V}]$ is a simple multiplication operator. So you have to be content with $\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) \approx e^{-i\,\varphi\,\Delta t^2}\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right)$ and use this to estimate your error, by working out $\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right) \,\psi$ for your currently evolving solution $\psi(x,\,t)$ and using this to set your $\Delta t$ on-the-fly after each cycle of the algorithm. You can of course make these ideas the basis for an adaptive stepsize controller for your simulation. Here $\varphi$ is a global phase pulled out of the dataset to minimise the norm of $\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2$; you can of course often throw such a global phase out: depending on what you're doing with the simulation results often we're not bothered by a constant phase global $\exp\left(\int \varphi\,\mathrm{d}t\right)$.

A relevant paper about errors in the SSFM/BPM is:

Lars Thylén. "The Beam Propagation Method: An Analysis of its Applicability", Optical and Quantum Electronics 15 (1983) pp433-439.

Lars Thylén thinks about the errors in non-Lie theoretic terms (Lie groups are my bent, so I like to look for interpretations of them) but his ideas are essentially the same as the above.

I can recommend using the finite-difference time-domain (FDTD) method. I even wrote a tutorial some time back that should answer most of your questions:

J. R. Nagel, "A review and application of the finite-difference time-domain algorithm applied to the Schrödinger equation," ACES Journal, Vol. 24, No. 1, February 2009

I have some Matlab codes that run nicely for 1D systems. If you have experience with FDTD doing electromagnetics, it works great for quantum mechanics as well. I can post my codes if you're interested.

Basically, it just operates on the wavefunctions directly by splitting the derivatives up into finite differences. It is kind of similar to the Crank-Nicholson scheme, but not exactly. If you are familiar with FDTD from electromagnetic wave theory, then FDTD will be very intuitive when solving the Schrodinger equation.

The most straightforward finite difference method is fast and easy to understand, but is not unitary in time - so probability is not conserved. Crank-Nicholson-Crout averages the forward and backward finite difference methods to produce a hybrid implicit/explicit method that is still pretty easy to understand and to implement and is unitary in time. This site explains the method well, provides pseudocode, and gives the relevant properties:

http://www.physics.utah.edu/~detar/phycs6730/handouts/crank_nicholson/crank_nicholson/ Note: There is a - sign missing from the LHS of equation one of this link, which propagates throughout the page.

Where does the nonunitarity come from?

In a nut shell, solving the TDSE comes down to figuring out how to deal with

$| \psi(x,t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(x,0)\rangle$

which contains a differential operator in an exponential.

Applying a forward finite difference turns the differential operator into a tridiagonal matrix (converting the Reals to a grid) and the exponential into the first two terms of its Taylor series

$e^{-iHt}\approx1-iHt$

This discretization and linearization is what gives rise to the nonunitarity. (You can show that the tridiagonal matrix is not unitary by direct computation.) Combining the forward finite difference with the backward finite difference produces the approximation

$e^{-iHt}\approx \frac {1-\frac{1}{2} iHt} {1+\frac{1}{2} iHt}$

which, kindly, happens to be unitary (again you can show it by direct computation).

A few answers and comments here conflate confusingly the TDSE with a wave equation; perhaps a semantics issue, to some extent. The TDSE is the quantized version of the classical non-relativistic hamiltonian

$$H=\frac{p^2}{2m} + V(x)= E.$$ With the rules $$p \rightarrow i\hbar\partial_x,\ \ E\rightarrow i\hbar\partial_t, \ \ x\rightarrow x,$$ (as discussed in chapter 1 of d'Espagnat, Conceptual foundations of quantum mechanics, https://philpapers.org/rec/ESPCFO), it therefore reads $$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{xx} + V(x)\right]\psi = i\hbar\partial_t\psi,$$ so it is clearly a diffusion-like equation. If one used the relativistic energy, which contains a E$^2$ term, then a wave-like equation such as $$\partial_{xx}\psi = \partial_{tt}\psi +\dots$$ would obtain (for V=0 for simplicity), such as the Pauli or Klein-Gordon equations. But that is, of course, a completely different matter.

Now, back to the TDSE, the obvious method is Crank-Nicolson as has been mentioned, because it is a small-time expansion that conserves the unitarity of the evolution (FTCS, e.g., does not). For the 1-space-D case, it can be treated as a matrix iteration, reading

$$\vec{\psi}^{n+1}=({\cal I} + \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})^{-1} ({\cal I} - \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})\vec{\psi}^{n}$$ with ${\cal I}$ the identity matrix and $$H_{jk}=(\tilde{H})_{jk}=\frac{-\hbar^{2}}{2m}\left[\frac{\delta_{j+1,k}+\delta_{j-1,k}-2\delta_{jk}}{h^{2}}\right]+V_{j}\delta_{jk}.$$ (Details e.g. in Numerical methods for physics, http://algarcia.org/nummeth/nummeth.html, by A. L. Garcia). As most clearly seen in periodic boundary conditions, a space-localized $\psi$ spreads out in time: this is expected, because the initial localized $\psi$ is not an eigenstate of the stationary Schroedinger equation, but a superposition thereof. The (classical massive free particle) eigenstate with fixed momentum (for the non-relativistic kinetic operator) is simply $\psi_s=e^{ikx}/\sqrt{L}$, i.e. fully delocalized as per Heisenberg principle, with constant probability density 1/L everywhere (note that I am avoiding normalization issues with continuum states by having my particle live on a finite, periodically repeated line). Using C-N, the norm $$\int |\psi|^2 dx$$ is conserved, thanks to unitarity (this is not the case in other schemes, such as FTCS, e.g.). Incidentally, notice that starting from an energy espression such as $$cp=E$$ with $c$ fixed, you'd get $$ic\hbar\partial_x=i\hbar\partial_t$$ i.e. the advection equation, which has no dispersion (if integrated properly with Lax-Wendroff methods), and your wavepacket will not spread in time in that case. The quantum analog is the massless-particle Dirac equation.