Làm thế nào tôi có thể tính toán một cơ sở cho một đại số Lie ma trận cho một bộ máy phát hữu hạn?

Với một thiết lập tùy ý của (số) ma trận phức tạp vuông , Tôi quan tâm đến việc tính toán đại số Lie ma trận thực được tạo ra bởi , gọi nó là . Đó là, tôi muốn có một cơ sở cho nơi được định nghĩa đệ quy như $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{L_\mathcal{A}}$

L_{A} = s p a n_{R} {B : B \in \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}}

$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$

C_{k}

$\mathcal{C}_k$

và

cho

C_{1} = A

$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$

C_{k + 1} = {[X, Y] : X, Y \in \cup_{j = 1}^{k} C_{j}}

$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$

k \geq 1

$k\geq 1$

Tính toán này đưa ra trong lý thuyết điều khiển (lượng tử).

Hiện nay tôi đang sử dụng một phương pháp được tìm thấy ở đây mà tìm kiếm chỉ thông qua khung Lie lặp đi lặp lại (tức là những người có dạng ), và được đảm bảo chấm dứt. Tuy nhiên, tôi muốn biết liệu có phương pháp nào khác (nhanh hơn) không. Có lẽ sử dụng căn cứ P. Hall? Có lẽ là một thuật toán đệ quy? Ngôn ngữ mặc định của tôi tại thời điểm này là Matlab. $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$

linear-algebra matlab basis-set

— Ian Hincks
nguồn

Tôi đoán rằng máy phát điện ban đầu của bạn là Hermiti. Điều này có đúng không? Nếu vậy, tôi sẽ tưởng tượng bước đầu tiên sẽ là so sánh các không gian điện tử của các máy phát điện, vì các cổ góp chỉ là khác không khi các giao diện khác nhau.

— Jack Poulson

@JackPoulson Vâng, người A đến từ người Hamilton, và Hermiti cũng vậy (không phải Hermiti vì họ được nhân với i trong phương trình của Schroedinger). Tôi không chắc tại sao đây là bước đầu tiên tốt. Sẽ không tính toán các cổ góp và kiểm tra xem liệu chúng có khác không nhanh hơn so với giao tiếp với eigenspaces không?

— Ian Hincks

Đối với một mức độ của cổ góp, có lẽ là có. Nhưng có một vụ nổ tổ hợp khi bạn bắt đầu xem xét một số mức độ của cổ góp. Tôi không biết về một thuật toán, nhưng thường thì nên khai thác càng nhiều cấu trúc càng tốt. Tôi sẽ suy nghĩ cẩn thận về việc bạn có biết bất kỳ thuộc tính nào khác liên quan đến máy phát điện của bạn không.

— Jack Poulson

Liên kết này mô tả cách thực hiện việc này bằng cách sử dụng căn cứ P. Hall.

$A - p(A)$ $A$ $p$

— Erik P.
nguồn

@EricP Cảm ơn các liên kết, rất hữu ích. Tôi chỉ nhìn thấy các căn cứ của P. Hall trong bối cảnh đại số Lie miễn phí, mà tôi không nắm vững được, và tôi rất vui khi biết rằng trực giác của tôi về việc loại bỏ các giao hoán phụ thuộc tuyến tính là chính xác. Số chính xác là điều tôi rất lo lắng. Ý bạn là tôi nên so sánh định mức của p (A) với định mức của A? Và rằng điều này sẽ ổn định hơn so với việc so sánh định mức của Ap (A) với 0?

— Ian Hincks

‖ A - p (A) ‖

$\Vert A - p(A) \Vert$

‖ A ‖

$\Vert A \Vert$

R^{n^{2}}

$\mathbb{R}^{n^2}$

n^{2} \times k

$n^2 \times k$