Tại sao hình dạng của các yếu tố hữu hạn quan trọng?

Tôi đã sử dụng FEA được vài năm rồi, nhưng sử dụng và sử dụng đúng cách là hai điều khác nhau, yếu tố an toàn không phải là giải pháp cho mọi thứ. Tôi có cảm giác tôi sẽ không sử dụng nó đúng trừ khi tôi có câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi đó:

Tôi nhận thức được các yếu tố phải gần với hình dạng lý tưởng của chúng (chỉ dựa trên Jacobian?) Để có kết quả chính xác .. Nhưng tại sao? Vì tôi hiểu nó xuất phát từ một phép biến đổi tọa độ, trừ khi hai vectơ của phần tử trở thành colinear, kết quả không chính xác cho dù hình dạng của nó là gì?

Một câu trả lời từng bước dựa trên một ví dụ minh họa (phân phối ứng suất tùy ý) sẽ rất lý tưởng, đặc biệt là đây là một câu hỏi tương đối phổ biến (nhưng không bao giờ trả lời tốt từ những gì tôi đã thấy).

Giới thiệu tốt về các vấn đề về chất lượng hình dạng yếu tố và dễ giải pháp, với hình ảnh, là "Yếu tố hữu hạn tuyến tính tốt là gì? Nội suy, điều hòa, dị hướng và đo lường chất lượng" của Jon Shewchuk

http: //www.cs.ber siêu.edu / ~ jrs / con / eljj.pdf

Bạn nói đúng, Jacobian sẽ không thể đảo ngược trừ khi bạn có các phần tử colinear / coplanar, tức là các phần tử suy biến. Nhưng đây là trường hợp khi bạn có số học chính xác. Trong các chương trình FEM thực tế, bạn sử dụng số học dấu phẩy động và sau đó, bạn có thể có Jacobian gần như bằng không. Có thể, bạn vẫn có thể đảo ngược ma trận hoặc , nhưng lỗi sẽ tích lũy trong toàn bộ mô hình của bạn. Cuối cùng ... nhận được một ma trận điều hòa.$2\times2$$3\times3$