Những lợi ích tương đối của việc sử dụng Adams-Moulton so với thuật toán Adams-Bashforth là gì?

Tôi đang giải quyết một hệ thống gồm hai PDE được ghép nối theo hai chiều không gian và theo thời gian tính toán. Vì các đánh giá chức năng rất tốn kém, tôi muốn sử dụng phương pháp nhiều bước (khởi tạo bằng Runge-Kutta 4-5).

Phương pháp Adams-Bashforth sử dụng năm đánh giá chức năng trước đó có lỗi toàn cầu là (đây là trường hợp trong bài viết Wikipedia được tham chiếu bên dưới) và yêu cầu một đánh giá chức năng (mỗi PDE) mỗi bước.s = $O(h^5)$$s=5$

Mặt khác, phương pháp Adams-Moulton yêu cầu hai đánh giá chức năng cho mỗi bước: một cho bước dự đoán và một cho bước sửa lỗi. Một lần nữa, nếu năm đánh giá chức năng được sử dụng, lỗi toàn cục là . ( trong bài viết Wikipedia)s = $O(h^5)$$s=4$

Vậy lý do đằng sau việc sử dụng Adams-Moulton so với Adams-Bashforth là gì? Nó có một lỗi của cùng một thứ tự, cho hai lần số lượng đánh giá chức năng. Theo trực giác nó có ý nghĩa rằng một phương pháp dự đoán-sửa chữa nên được thuận lợi, nhưng ai đó có thể giải thích điều này một cách định lượng?

Tham khảo: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Adams.E2.80.93Bashforth_methods

Phương pháp Adams-Moulton ổn định hơn đáng kể. Sự tương tự được sử dụng khi tôi được dạy về sự khác biệt cũng giống như phép ngoại suy và phép nội suy. Nội suy tương đối an toàn về số lượng. Phép ngoại suy có thể nổ tung nếu bạn có một tiệm cận hoặc một số tính năng kỳ lạ khác.

Ví dụ, giải ode

với y ( 0 ) = $y'(t) = -y(t)$$y(0) = 1$

sử dụng phương pháp thứ 3 Adams-Bashforth thực sự trở nên không ổn định hơn khi dấu thời gian bị giảm. Bằng cách thêm bước sửa lỗi, bạn sẽ tránh được nhiều bất ổn này. Một biểu đồ của các vùng ổn định cho hai phương thức được hiển thị ở đây:

Cốt truyện lấy từ Nghệ thuật tính toán khoa học của Gregory Baker và Edward Overman. là eigenvalue của ODE của bạn, h là timestep. Lưu ý rằng λ có thể phức tạp, vì vậy các lô đang ở trên đồng bằng phức tạp. Nếu λ h ở trong không gian ổn định, ode sẽ hội tụ. Nếu nó ở bên ngoài, cuối cùng sự tích hợp thời gian sẽ trở nên không ổn định. Lưu ý rằng để ổn định, tất cả các giá trị riêng của ODE hoặc hệ thống ODE của bạn phải nằm trong vùng ổn định.$\lambda$$h$$\lambda$$\lambda h$