Kiểm tra nếu một ma trận là bán xác định dương

Tôi có một danh sách ${\cal L}$ các ma trận đối xứng mà tôi cần kiểm tra tính bán chính xác dương (tức là giá trị riêng của chúng là không âm.)

Nhận xét ở trên ngụ ý rằng người ta có thể làm điều đó bằng cách tính toán các giá trị riêng tương ứng và kiểm tra xem chúng có phải là âm không (có lẽ phải quan tâm đến các lỗi làm tròn.)

Việc tính toán giá trị bản địa khá tốn kém trong kịch bản của tôi nhưng tôi nhận thấy rằng thư viện mà tôi đang sử dụng có một bài kiểm tra khá nhanh về độ chính xác dương (nghĩa là, nếu giá trị riêng của ma trận là hoàn toàn dương.)

Do đó ý tưởng sẽ được, mà đưa ra một ma trận $B \in {\cal L}$ , một bài kiểm tra nếu $B + \epsilon I$ là tích cực nhất định. Nếu không thì $B$ không phải là bán xác định dương, nếu không, người ta có thể tính giá trị riêng của $B$ để đảm bảo rằng nó thực sự là bán xác định dương.

Câu hỏi của tôi bây giờ là:

Có cách nào trực tiếp và hiệu quả hơn để kiểm tra xem một ma trận có bán xác định dương hay không, với điều kiện là một thử nghiệm hiệu quả cho độ chính xác dương được đưa ra?

Định nghĩa làm việc của bạn về "semidefinite tích cực" hay "xác định tích cực" là gì? Trong số học dấu phẩy động, bạn sẽ phải chỉ định một số loại dung sai cho điều này.

$A$$\lambda=-1.0$$10^{30}$$\lambda=-1.0$

$-\epsilon \left| \lambda_{\max} \right|$$\lambda_{\max}$

Thật không may, tính toán tất cả các giá trị riêng của một ma trận khá tốn thời gian. Một cách tiếp cận khác thường được sử dụng là ma trận đối xứng được coi là xác định dương nếu ma trận có hệ số Cholesky trong số học dấu phẩy động. Tính toán hệ số Cholesky là một trật tự có độ lớn nhanh hơn so với tính toán giá trị bản địa. Bạn có thể mở rộng điều này thành semidefinitility tích cực bằng cách thêm một bội số nhỏ của danh tính vào ma trận. Một lần nữa, có vấn đề mở rộng. Một cách tiếp cận nhanh là thực hiện chia tỷ lệ đối xứng của ma trận sao cho các phần tử đường chéo là 1.0 và thêm vào đường chéo trước khi tính toán hệ số Cholesky. $\epsilon$

Bạn nên cẩn thận với điều này, bởi vì có một số vấn đề với cách tiếp cận. Ví dụ, có những trường hợp và xác định theo định nghĩa theo nghĩa là chúng có các thừa số Cholesky dấu phẩy động, nhưng không có hệ số Cholesky. Do đó, tập hợp "ma trận xác định tích cực Cholesky factorizable tích cực" không phải là lồi! B ( A + B ) /$A$$B$$(A+B)/2$

• Kerr, TH, ma trận thử nghiệm cho các ví dụ rõ ràng và ứng dụng tạo ra nhu cầu , Tạp chí hướng dẫn , kiểm soát và động lực học của AIAA , Vol. 10, Số 5, trang 503-506, Tháng Chín-Tháng Mười, 1987.

• Kerr, TH, trên những sai lầm của bài kiểm tra về ma trận bán nguyệt tích cực , Tạp chí hướng dẫn, kiểm soát và động lực học của AIAA , Vol. 13, số 3, trang 571-572, tháng 5-6. 1990. (như đã xảy ra trong phần mềm Điều hướng & Theo dõi mục tiêu trong những năm 1970 và 1980 bằng cách sử dụng các mẫu tương phản)

• Kerr, TH, những sai lầm trong thử nghiệm tính toán tính chính xác của ma trận / tính chính xác của ma trận , giao dịch của IEEE trên hệ thống hàng không vũ trụ và điện tử , Vol. 26, Số 2, tr. ]