Làm thế nào để áp đặt điều kiện biên trong các phương pháp sai phân hữu hạn

Tôi có một vấn đề khi tôi muốn sử dụng xấp xỉ chênh lệch trung tâm bậc cao:

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

cho phương trình Poisson

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$ trong một miền vuông trong đó các điều kiện biên là:

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

Khi tôi muốn lấy giá trị của các điểm bên trong của miền, xem xét xấp xỉ này một số điểm phụ thuộc vào các điểm bên ngoài của ranh giới. Ví dụ: cần có giá trị một điểm nằm ngoài ranh giới. Ai có thể vui lòng giúp tôi trong trường hợp này? $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference

— sư tử
nguồn

Tôi đoán bạn đang sử dụng điều kiện biên dirichlet, đúng không?

— Paul

Vui lòng nêu các điều kiện biên mà bạn muốn áp đặt.

— David Ketcheson

Có lẽ chìa khóa là trong việc sử dụng các điều kiện biên để có được các ràng buộc liên quan đến các giá trị đó. Tôi không thể mở rộng vì tôi chưa bao giờ cố gắng giải quyết số lượng PDE, nhưng ý tưởng này hoạt động cho ODE. Bất cứ ai có thể xác nhận điều này?

— astrojuanlu

Với các phương pháp bậc cao, có thể khó đảm bảo tính ổn định của phương thức bằng cách điền vào các ô ma theo cách này. Điều đó nói rằng, các vấn đề elip thường dễ tha thứ hơn từ trải nghiệm của tôi, vì vậy bạn có thể thoát khỏi nó.

— Jeremy Kozdon

Liona, bạn có thể chỉnh sửa câu hỏi của bạn và thêm các điều kiện biên ở đó, tốt hơn nhiều so với đưa chúng vào bình luận.

— David Ketcheson

Câu trả lời:

Bạn có thể muốn xem xét các phương pháp khác nhau hữu hạn tổng hợp (SBP). Ken Mattsson đã thực hiện rất nhiều công việc về các phương pháp này. Nơi tốt để bắt đầu là ở đây (hệ số không đổi) và ở đây (hệ số biến).

Về cơ bản cách thức hoạt động của các phương pháp này là chúng là các phương pháp trung tâm tiêu chuẩn trong nội địa và chuyển sang một phía gần ranh giới. Một phần quan trọng của công nghệ SBP, là sự chuyển đổi sang một phía là sự ổn định của phương pháp đối với các vấn đề phụ thuộc thời gian có thể được chứng minh ngay cả sau khi đưa vào các điều kiện biên. (Điều này là có thể bởi vì các toán tử tự "xác định" một quy tắc, bắt chước tích hợp một cách riêng biệt bởi các bộ phận.)

Bạn nói rằng bạn đang xem phương trình của Poisson, tôi không hoàn toàn chắc chắn làm thế nào các điều kiện biên được bao gồm ổn định với các toán tử SBP và phương trình elip. Tôi có một đồng nghiệp đã chơi với những vấn đề này về hình elip và dường như cho thấy nó không thực sự quan trọng với những gì bạn làm.

— Jeremy Kozdon
nguồn

Có những loại giấy nến khác mà bạn có thể sử dụng để có được độ chính xác bậc cao gần các điểm biên. Stprint hiện tại của bạn có dạng:

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

Nhưng, bạn cũng có thể sử dụng một stprint khác gần ranh giới như thế này:

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

để tính giá trị tại . Lưu ý rằng các hệ số trong stprint thứ hai sẽ khác với các hệ số trong công thức đầu tiên. $u_{1,1}$

Tương tự, bạn có thể tính gần đúng giá trị ở ranh giới ngược lại bằng một công thức tương tự.

— Paul
nguồn

Cảm ơn câu trả lời của bạn, tuy nhiên làm thế nào tôi có thể tính giá trị tại

khi tôi chỉ sử dụng một loại phương pháp xấp xỉ chênh lệch? (tức là có thể chính xác rằng nó được sử dụng các loại xấp xỉ khác nhau ở những nơi khác nhau không?)

u_{1, 1}

$u_{1,1}$

— Liona

Làm thế nào tôi có thể có được các hệ số?

— Liona

Để hiểu làm thế nào để rút ra các công thức khác biệt hữu hạn, một tài liệu tham khảo tốt là Chương 1 của cuốn sách của Leveque: facemony.washington.edu/rjl/fdmbook . Nó lên tới chuỗi Taylor và một chút đại số.

— David Ketcheson

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$

-4

xin vui lòng xem giấy fdm của tôi mà bạn có thể xác định vị trí trong nghiên cứu dưới tên của tôi david Edwards jr. nếu bạn có thắc mắc tôi sẽ rất vui lòng giúp đỡ.

yêu

— yêu
nguồn

Đơn giản chỉ cần đưa ra hướng dẫn cho mọi người để tìm kiếm ở nơi khác không phải là một câu trả lời hữu ích. Tối thiểu, bạn nên cung cấp một bản tóm tắt câu trả lời ở đây và cung cấp một liên kết để biết thêm chi tiết. Hơn nữa, nhiều người trong chúng ta không đồng ý với cách ResearchGate được chạy và do đó tránh mọi tương tác với trang web đó, khiến bạn không thể xem bài viết của mình bằng phương pháp được đề xuất.

— Doug Lipinski

Vui lòng sửa lại câu trả lời của bạn để bao gồm một bản tóm tắt về bất kỳ nền tảng nào bạn nghĩ là cần thiết để trả lời câu hỏi. Câu trả lời có nghĩa là tương đối khép kín; việc giới thiệu người đọc để tìm kiếm một bài báo không phải là độc lập và ít hữu ích hơn nhiều so với việc cung cấp một bản tóm tắt nội dung của nó.

— Geoff Oxberry