Phương thức chụp có phải là phương pháp số chung duy nhất để giải các ODE giá trị biên phi tuyến không?

Trong thời gian tôi lang thang ở Mathicala.se , tôi dần nhận thấy rằng một loại vấn đề giải phương trình vi phân nào đó đang "gây rắc rối" cho chúng ta mọi lúc, đó là vấn đề giá trị biên (BVP) của phương trình vi phân thông thường phi tuyến (ODEs).

Các phương pháp chụp , được sử dụng bởi các Mathematica chức năngNDSolve , có vẻ là phương pháp duy nhất mà người dùng của Mathematica.SE biết. Đôi khi nó hoạt động tốt , nhưng trong nhiều trường hợp (theo cảm nhận cá nhân của tôi) , nó đau để tìm một đoán ban đầu thích hợp .

Đó thường là trường hợp mà một dự đoán thích hợp không thể được tìm thấy. Dưới đây là một ví dụ khiến tôi đăng câu hỏi này.

Vì thế, phương pháp chụp có phải là phương pháp số chung duy nhất để giải quyết BVP của ODE phi tuyến không?

Nếu vậy, có một cách tốt để có được một dự đoán ban đầu thích hợp?

Nếu không, những gì thay thế? Nếu có thể, xin vui lòng đưa ra một số giới thiệu hoặc liên kết cho người giải quyết hiện có thực hiện các lựa chọn thay thế này.

Có phải phương pháp chụp là phương pháp số chung duy nhất để giải quyết BVP của ODE (s) phi tuyến?

Không.

Hầu hết các phương pháp khác bao gồm ba phần:

1. Sự rời rạc . Điều này có thể được thực hiện với sự khác biệt hữu hạn, khối lượng hữu hạn, các phần tử hữu hạn (Galerkin hoặc collocation), phương pháp quang phổ, v.v. Điều này làm giảm vấn đề từ một chiều vô hạn thành một hệ phương trình hữu hạn của các phương trình đại số phi tuyến.
2. Một người giải phi tuyến . Thông thường đây là phương pháp kiểu Newton, nghĩa là bạn tuyến tính hóa vấn đề cục bộ và tính toán một bản cập nhật. Điều này làm giảm vấn đề thành một chuỗi các hệ thống đại số tuyến tính.
3. Một bộ giải tuyến tính .

Không giống như chụp, các phương pháp này dễ dàng được khái quát hóa cho các vấn đề elip ở kích thước cao hơn. Nếu bạn đọc bất kỳ cuốn sách giới thiệu về phương pháp số, bạn sẽ tìm thấy một mô tả về một số phương pháp loại này. Đối với một bộ giải hiện có, xem ví dụ MATLAB bvp4c.

Những phương pháp này vẫn đòi hỏi một dự đoán ban đầu. Dự đoán ban đầu tốt thường dựa trên một số hiểu biết cụ thể cho vấn đề. Tôi tin rằng không có một kỹ thuật chung để tìm ra những dự đoán ban đầu tốt cho các BVP tùy ý. Bạn nên nhớ rằng các BVP phi tuyến có thể có nhiều giải pháp và giải pháp nào bạn đạt được sẽ phụ thuộc vào dự đoán ban đầu của bạn.

Không có nó không phải là. Ngoài ra còn có

• chụp nhiều
• xắp đặt
• sự khác biệt hữu hạn
• lặp lại điểm cố định

và có lẽ một số nữa.