Có cải tiến phương pháp tính toán biểu thức sau đây không?

đã cho một ma trận đối xứng và một ma trận tùy ý và một vectơ , có thể tính biểu thức sau trong thời gian không? $Y \in \mathbb{R}^{n \times n}$ $X \in \mathbb{R}^{n \times n}$ $v \in \mathbb{R}^{n \times 1}$ $O(n^2)$

d i a g (X^{T} Y X) \cdot v

$diag(X^TYX) \cdot v$

nơi trả về một ma trận với các yếu tố đường chéo chính của nó tương đương với những người của và off-đường chéo yếu tố bằng 0, và là chuyển vị của . $diag(X)$ $n \times n$ $X$ $X^T$ $X$

— John Smith
nguồn

Nhận xét nhanh: là vô ích: câu hỏi tương đương với "có thể tính trong không?". Tôi không biết câu trả lời, nhưng tôi đoán là không .

v

$v$

diag (X^{T} Y X)

$\operatorname{diag}(X^TYX)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Federico Poloni

Tôi nghĩ rằng có thể đóng vai trò nào đó trong việc giảm chi phí vì nếu chúng ta xem xét tính toán của , có thể tính toán với như sau: . Nhưng khi được sử dụng, tôi đánh giá cao ai đó có thể giúp tôi một tay.

v

$v$

(X^{T} Y X) v

$(X^T Y X) v$

O (n^{2})

$O(n^2)$

X^{T} (Y (X v))

$X^T (Y (X v))$

d i a g

$diag$

— John Smith

Đối với đường chéo , sản phẩm có thể được tính trong thời gian . Tôi cho rằng có thể cấu trúc sản phẩm vector có thể bị khai thác, nhưng tôi nghi ngờ điều đó. Nếu bạn có thể tính ma trận trong thời gian sao cho , thì chắc chắn, sản phẩm vectơ đó sẽ hữu ích.

D

$D$

D v

$Dv$

O (n)

$O(n)$

Z

$Z$

O (n^{2})

$O(n^{2})$

d i a g (X^{T} Y X) = X^{T} Y X - Z

$diag(X^{T}YX) = X^{T}YX - Z$

— Geoff Oxberry

Có vẻ khó tìm như vậy trong .

Z

$Z$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— John Smith

Tôi nhấn mạnh:

là vô dụng. Nếu bạn có một quy trình tính

trong thời gian

, thì bạn cũng có thể tính

trong thời gian

: chỉ cần chọn

là vectơ của tất cả những người. Việc giảm ngược lại cũng rõ ràng.

v

$v$

diag (X^{T} Y X) v

$\operatorname{diag}(X^TYX)v$

O (n^{2})

$O(n^2)$

diag (X^{T} Y X)

$\operatorname{diag}(X^TYX)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

v

$v$

— Federico Poloni

Hãy để tôi cố gắng giúp đỡ, nhưng xin vui lòng sửa chữa cho tôi nếu tôi sai bởi vì tôi chỉ lấy nó từ mũ của tôi:

Tôi sẽ chỉ mở rộng tính toán để giúp xem những gì đang xảy ra.

Hãy để chúng tôi viết $A = (X^TY)$

vì vậy bạn muốn tính cho mọi $\sum_k{a_{ik}x_{ki}\nu_i}$ $i$

và $a_{ik}=\sum_l{x_{li}y_{lk}}$

wich là. $\left(diag(X^TYX)⋅v\right)_i =\sum_k{\sum_l{x_{li}y_{lk}}x_{ki}\nu_i}$ $O(n^3)$

Bây giờ chúng ta hãy đưa ra giả thuyết: Vì là đối xứng nên . Trong tổng số, chỉ có sản phẩm cũng đối xứng với và . $Y$ $y_{lk}=y_{kl}$ $x_{li}x_{ki}$ $k$ $l$

Vì vậy, $\left(diag(X^TYX)⋅v\right)_i = 2\times\sum_k{\sum_{l>k}{x_{li}y_{lk}}x_{ki}\nu_i} + \sum_{k}{x_{ki}y_{kk}x_{ki}\nu_i}$

Đó là lần $n$ tính toán. Vì vậy, bạn có thể chia tính toán cho gầnnhưng không phải. $\frac{n(n+1)}{2}$ $2$ $n$

— Jean Mercat
nguồn