Dự đoán ban đầu cho các hệ thống tuyến tính nhiễu loạn

Giả sử bạn giải quyết một hệ thống tuyến tính bằng một phương pháp lặp, ví dụ: độ dốc liên hợp hoặc phép lặp Richardson. Sau đó, bạn cố gắng giải quyết một hệ thống tuyến tính hơi bị nhiễu trong ma trận và phía bên tay phải, giả sử, .˜ A ˜ u = ˜ $Au = f$$\tilde A \tilde u = \tilde f$

Liệu có ý nghĩa khi sử dụng giải pháp cũ làm giá trị bắt đầu cho phương pháp lặp không? "Làm cho ý nghĩa" có nghĩa là có một mức tăng đáng tin cậy trong thời gian chạy của phương pháp lặp. Tôi tự hỏi liệu điều này dẫn đến một sự cải thiện nói chung, như vậy nó có thể được coi là thực hành khuyên.$\tilde u_0 = u$

Một ứng dụng mà tôi có trong tâm trí đến từ các yếu tố hữu hạn thích ứng. Nếu chúng tôi đã tính toán một giải pháp trên một lưới thô, và muốn tìm một giải pháp trên một mạng lưới tốt hơn (mà có thể đã được tạo ra dựa theo một phương pháp thích nghi), giá trị khởi đầu cho bất kỳ thuật toán lặp có thể là kéo dài lên lưới tốt hơn. Tương tự, phương pháp Newton hoặc phép lặp Picard, liên quan đến giải pháp cho các vấn đề phi tuyến tính, có thể được "tăng cường" theo cách đó, nếu nó có ý nghĩa gì cả.~ u$u$$\tilde u$$u$

Chúng tôi đã thử điều này với các phần tử hữu hạn thích ứng trong đó chúng tôi đưa giải pháp trước đó lên lưới mới bằng phép nội suy. Nó chỉ ra rằng bắt đầu với vectơ này không có ảnh hưởng đáng chú ý đến số lần lặp CG. Nói cách khác, đối với phép lặp CG, một dự đoán ban đầu tốt chủ yếu là vô dụng.

Tất nhiên, tình huống hoàn toàn khác đối với các phương pháp phi tuyến (như phương pháp của Newton) khi nó hoàn toàn xứng đáng để thực hiện lần lặp cuối cùng trên lưới thô như dự đoán bắt đầu cho lưới tinh. Trong thực tế, người ta thường thực hiện 5-10 lần lặp trên lưới thô nhất, nhưng sau đó chỉ cần 1-2 lần lặp trên mỗi lưới tinh chế liên tiếp.

Tôi nghĩ rằng nó thực sự phụ thuộc vào số điều kiện của ma trận A. Nếu nó có số điều kiện lớn, thì việc gây nhiễu hệ thống từng chút một có thể tạo ra một giải pháp hoàn toàn khác. Đối với FEM thích ứng, nó phụ thuộc vào những gì bạn mong đợi hành vi của hệ thống (và rõ ràng là chất lượng của chính lưới). Nếu bạn mong đợi quá trình chuyển đổi khá trơn tru từ lưới thô sang lưới mịn, thì chúng ta nên mong đợi hệ thống nhiễu loạn sẽ có một giải pháp khá gần với hệ thống không bị xáo trộn. Nếu bạn có thể mong đợi những thay đổi đột ngột, không có gì đảm bảo thực sự về sự gần gũi của các hệ thống nhiễu loạn và không bị xáo trộn.