Tính toán đa thức đặc trưng của ma trận thưa thớt thực

9

Cho một ma trận thưa thớt chung với ~~m << n~~ (hiệu chỉnh: ) các phần tử khác không (thường là ). là chung theo nghĩa là nó không có thuộc tính cụ thể (ví dụ: độ chính xác dương) và không có cấu trúc (ví dụ như dải) được giả định. $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ $m \ll n^2$ $m \in {\cal O}(n)$ $A$

Một số phương pháp số tốt để tính đa thức đặc trưng hoặc đa thức tối thiểu của gì? $A$

linear-algebra algorithms sparse-matrix

3

Âm thanh như bạn muốn tính toán tất cả các giá trị riêng. Tại sao bạn muốn đa thức và bạn muốn nó thể hiện như thế nào? Cơ sở đơn trị là cực kỳ điều hòa, do đó các hệ số có thể không thể được tính toán ổn định trong số học chính xác hữu hạn.

— Jed Brown

@JedBrown thêm một suy ngẫm. Trong câu trả lời của tôi cho câu hỏi này, tôi đã đưa ra một phương pháp đại số để đảo ngược một ma trận, vốn nổi tiếng trong đại số máy tính (ví dụ ma trận trên các vòng và trường giao hoán). Tôi muốn biết nếu tôi có thể sử dụng nó cho ma trận số. Xin lưu ý rằng, đối với mục đích câu hỏi này, tôi quan tâm đến các phương pháp số để tìm đa thức đặc trưng / tối thiểu hơn là nghịch đảo.

1

$O(n^3)$

Ý tưởng này khá đơn giản: ma trận giảm dần về dạng bình thường Frobenius bằng các phép biến đổi tương tự "giống như loại bỏ Gaussian". Nếu bạn không tìm thấy thông tin tôi có thể làm cho thuật toán phức tạp hơn.

— faleichik
nguồn

1

Bạn có thể sử dụng một phương pháp số như QR Factorization hoặc Power Method và các thực tế của nó (công suất nghịch đảo, v.v.) để tính toán các giá trị riêng của ma trận chung của bạn. Sau đó, bạn có thể tính đa thức đặc trưng của mình bằng cách nhân tử hóa như: (- 1) (- )2) ... (- λn) = 0 trong đó λi là các giá trị riêng được tính toán. Dưới đây là một bài trình bày ngắn về sức mạnh và phương pháp QR:

Sức mạnh QR

— hóa học
nguồn

0

$m \ll O(n^2)$ $m \ll O(n)$ $n$ $O(m)$

— Wolfgang Bangerth
nguồn

m ≪ n^{2},

$m \ll n^2,$

m \in O (n)

$m \in {\cal O}(n)$