Đánh giá các tích phân dao động với nhiều thời kỳ độc lập và không có dạng đóng

Hầu hết các phương pháp cho tích phân dao động mà tôi biết về việc xử lý các tích phân có dạng trong đó lớn.

\int f (x) e^{Tôi ω x} d x

$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$

ω

$\omega$

Nếu tôi có một tích phân có dạng trong đó là các hàm dao động có gốc chỉ được biết xấp xỉ, nhưng một số dạng không có được biết đến, với tần số toàn khác nhau (và - độc lập theo chiều dọc), vậy tôi có thể đánh giá tích phân này như thế nào?

\int f (x) g_{1} (x) \dots g_{n} (x) d x,

$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$

g_{k}

$g_k$

g_{k} (x) ~ e^{Tôi ω_{k} x}

$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$

ω_{k}

$\omega_k$

Q

$\mathbb{Q}$

Không giống như trong trường hợp của , các tích phân đa thức không được biết đến, vì vậy tôi không thể xây dựng một bộ nội suy đa thức cho và tích hợp các nội suy chính xác. $e^{i\omega x}$ $\int x^a \prod g_k(x)$ $f(x)$

Trong vấn đề chính xác của tôi, là các hàm Bessel và và vùng tích hợp là . Phương pháp tôi đang sử dụng bây giờ là tổng hợp các đóng góp tích phân trong các khoảng giữa các gốc cho đến một số bị cắt , sau đó sử dụng khai triển tiệm cận cho cho lớn . Độ phức tạp thời gian của thuật toán này là theo cấp số nhân theo vì nó liên quan đến việc mở rộng sản phẩm , mỗi trong số đó có một số thuật ngữ tiệm cận, cho $g_k$ $J_0(\omega_k x)$ $f(x)=x^\alpha$ $[0,\infty)$ $[x_{k-1},x_k]$ $M$ $g_k(x)$ $x$ $n$ $g_1\ldots g_n$ $r$ $r^n$ tổng số điều khoản; cắt tỉa các điều khoản quá nhỏ không làm giảm thời gian chạy đủ để làm điều này khả thi cho lớn . $n$

Câu trả lời heuristic không nghiêm ngặt, đề xuất và tài liệu tham khảo đều được chào đón.

quadrature

— Kirill
nguồn

Câu trả lời:

Tôi đã làm việc trên các tích phân đơn giản hơn, nơi có các điểm của pha tĩnh. Tôi tìm thấy hai phương pháp hoạt động khá tốt.

Một là giới thiệu hệ số giảm xóc theo cấp số nhân phụ thuộc vào chức năng pha, một loại độ nhớt nhân tạo nếu bạn muốn.

Một kỹ thuật khác (trong đó có nhiều điểm của pha.) Đã được mô tả trong:

Tuck, EO, Collins, JL và Wells, WH, "Trên sóng tàu và quang phổ của chúng", Tạp chí Nghiên cứu Tàu, trang 11, 2121, 1971.

Phương pháp đó áp dụng các yếu tố phân rã theo cấp số nhân cho tích phân nơi nó trở nên dao động nhanh khỏi chỉ số. điểm pha, nhưng để nguyên vẹn thương hiệu ở nơi không.

Đó là ý tưởng của tôi!

— Lysistrata
nguồn

Cảm ơn bạn, nhưng tôi không hoàn toàn thấy nó sẽ hoạt động như thế nào trong trường hợp này. Đối với một điều, không có điểm nào của pha tĩnh trên đường thẳng thực và các đóng góp từ dao động có ý nghĩa đối với giá trị cuối cùng, vì vậy không được làm ẩm.

— Kirill

Miễn là bạn có các giá trị chính xác cho các gốc (hoặc cực trị) của phần dao động của tích phân của bạn, phương pháp của Longman (như tôi đã mô tả trong câu trả lời này ) vẫn được áp dụng. Tất cả những gì bạn phải làm là đánh giá một loạt các tích phân với các khoảng giữa các gốc bằng phương pháp bậc hai yêu thích của bạn và coi các tích phân này là các số hạng của một số chuỗi xen kẽ. Sau đó, bạn có thể sử dụng bất kỳ số phương thức gia tốc hội tụ nào (Euler, Levin, Weniger, v.v.) để "tổng hợp" chuỗi xen kẽ này.

Ví dụ, trong câu trả lời math.SE này , tôi đã đánh giá một tích phân vô hạn có phần dao động là sản phẩm của hai hàm Bessel.

— JM
nguồn

Sẽ không có vấn đề gì khi rễ cây cách đều nhau (tất cả các thời kỳ là không hợp lý và độc lập)? Tại sao bạn lại tin tưởng gia tốc hội tụ cho một chuỗi bất thường như vậy?

— Kirill

Cách đây một thời gian, tôi muốn đánh giá tích phân đến một nghìn chữ số và nếu tôi nhớ chính xác phương trình dao động thực sự là điều đầu tiên tôi thử. Tôi không nhớ kết quả, nhưng tôi không nghĩ nó hoạt động tốt vào thời điểm đó.

— Kirill

"Tại sao bạn lại tin tưởng gia tốc hội tụ cho một chuỗi bất thường như vậy?" - Tôi sẽ không tin tưởng chỉ một máy gia tốc, tho. Nhưng, nếu ít nhất ba máy gia tốc khác nhau mang lại cho tôi kết quả nhất quán, tôi nghĩ rằng các chữ số tôi nhận được ít nhất là hợp lý. FWIW, tôi đã sử dụng Longman cho các tích hợp vô hạn của các sản phẩm chức năng Bessel và tôi chưa bao giờ thất vọng, đặc biệt là khi sử dụng phép biến đổi của Weniger làm máy gia tốc.

— JM

x^{a} e^{b x}

$x^a e^{b x}$

Nếu bạn có thể thực hiện mở rộng Fourier (tổng quát), thì chắc chắn.

— JM